第3节行列式按行列展开ppt课件.ppt

,第三节 行列式按行列展开,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,1、行列式按某一行（列）展开,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？,叫做元素 的代数余子式,例如,定义,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,三阶行列式 D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即第一张幻灯片,D=,或简写为,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,该行列式中有两行对应元素相等.,关于代数余子式的重要性质,#25.幻灯片 25,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。(降阶法）,按行（列）展开法（降阶法）,先利用行列式的性质将某行（列）尽可能较多地消成零，（最好只有一个非零元素），再按该行（列）展开,例1,注意：1、尽量选择1或-1所在的行或列，2、尽量选择0多的行列。,按第二列展开,按第二行展开,例2 计算行列式,解,用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。,=57,例3 已知4阶行列式,解,(方法1),(方法2),利用行列式的按列展开定理，简化计算.,它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有,例4 计算n阶行列式,解,解,例5 计算行列式,Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶。,解,按第一列展开,递推法,递推公式,练习,Hessenberg型行列式,将第1，2，n-1列分别加到第n列,例6:,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证明：,用数学归纳法,(1)当n=2时,结论成立。,(2)设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。,n-1阶范德蒙德行列式,证毕。,（考虑范德蒙德行列式）,2、拉普拉斯定理,定义：在n阶行列式D中，任意选取k行k列（kn），位于这些行列交叉点上的元素，按照原来的排列顺序组成一个k阶行列式，称为行列式D的一个k阶子式，记为N。在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的排列顺序所组成一个n-k阶行列式，称为k阶子式N的余子式，记作M。,若k阶子式在行列式D中的行标为,为N的代数余子式。,列标为,，则称,若选取第1行、第3行、第1列、第4列，就确定一个二阶子式。,二阶子式N的余子式为,二阶子式N的代数余子式为,定理4 在n阶行列式D中任取k行（1kn），由这k行元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D的值，即有,在拉普拉斯公式中，令k=1即为行列式按一行展开的公式。,例7 计算行列式,解,作业：P29 10（3）8（4）,思考题:,求第一行各元素的代数余子式之和,解:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,