第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法ppt课件.ppt

3.1 拟合曲线,通过观察或测量，得到一组离散数据,1,结束,插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接近原函数。拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合,第3章 曲线拟合的最小二乘法,结束,数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原函数,(x)为近似函数,(xi,f(xi)(i=1,n)为数据点,要求选择(x)使,当(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.,2,插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法,为最小.,3.2 线性拟合和二次拟合函数,1.线性拟合,已知数据点为,由求极值的方法得矩阵方程拟合曲线的法方程组,用直线 作为近似曲线,均方误差为,3,4,由此可出求系数,拟合直线为,2.二次拟合函数,已知数据点为,用二次函数,作为近似拟合曲线,均方误差为,最小。,由求极值的方法得法方程：,由此可出求系数,拟合曲线为,5,6,例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。,解 首先作平面散点图如下：,x,y,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,7,从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式 进行拟合。,8,用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。,最小二乘拟合多项式为：,3 非线性曲线转化为线性拟合:,例3:已知数据为,求一个形如 y=aebx的经验公式(a,b为常数).,解:两边取对数得：,9,10,解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912由A=lna,即得a=eA=11.436 9所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x,11,3.3 解矛盾方程组,1.矛盾方程组,已知数据点为,作拟合直线,若直线 通过点(xi,yi),则,否则,12,矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）,其矩阵形式为：,13,14,为法方程。,15,即法方程。,定理（1）AX=b的法方程 恒有解；（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为 ATAx*=ATb.证明(略),16,一般形式为：,矛盾方程组的矩阵形式为：,简化为,结束,其法方程为：,17,由此求出拟合多项式的系数。,例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式,结束,18,解：,解得：,拟合曲线为：,