第1章线性空间与线性变换总结ppt课件.ppt
同济大学数学系 2009-3-22,第1章 线性空间与线性变换,武汉理工大学理学院,1.1 线性空间的基本概念,2,定义：设 F 是复数的一个非空集合，若满足,1）F中包含0和1；,2）F对数的四则运算封闭,则称集合F是一个数域（field）,例子：,本教程所见数域都是实数域R或者是复数域C,线性空间的定义,3,定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a,b,g V,对于任意的a,b V,总有唯一的元素 g V,与之对应，称 g 为a 与b 的和，记作 g=a+b，且,4,对于任意的 l F 及任意的a V，总有唯一的元素,d V 与之对应，称d 为l与a 的积，记作 d=la，且,则称V 为数域 F 上的线性空间，称V 的元素为向量，,称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。,5,定义加法：,例1.实数域上全体 n 维向量的集合,定义数乘：,例2 实数域 R上的全体 mn 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rmn,Rmn是一个线性空间。,6,对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。,7,例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 Pxn,对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间,n-1次多项式的全体,例4,8,例5 在区间a,b上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性空间，记作Ca,b。,9,Ca,b是一个线性空间。,例6 正实数的全体 R+，在其中定义加法及乘数 运算为,验证 R+对上述加法与乘数运算构成线性空间,10,证明,11,所以 对所定义的运算构成线性空间,12,线性空间的性质,（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：,定义:设V 是一个线性空间，a1,a2,anV 若(1)a1,a2,an 线性无关，(2)aV,a 可由a1,a2,an 线性表示，a=x1a1+x2a2+xnan 则称a1,a2,an 为V 的一组基，称 x1,x2,xn为a 在基a1,a2,an 下的坐标，称 n 为V 的维数，记作 dimV=n。,14,维数，基与坐标,15,例1 设,16,自然基,17,例2 设,下的坐标。,18,19,下的坐标。,20,解：设,21,定理:设a1,a2,ar(1rn)是 n 维线性空间V 中的r个线性无关的向量，则存在V 中n-r个向量ar+1,an 使得a1,ar,ar+1,an 成为V 的基.,基的扩张定理,基变换与坐标变换,定义:设V 是一个线性空间，a1,a2,anV b1,b2,bnV 为V 的两组基，若,【基变换公式】,的,则 P 称为由基,到基,【基变换公式】,转移矩阵（或过渡矩阵），其中,25,例3 设,是,中的两组基，求由基,到基,的转移矩阵P；,26,基变换公式,P,定理:设V 是线性空间，a1,a2,an,b1,b2,bn 是V 的两组基，P 是由基a1,a2,an到b1,b2,bn 的 过渡矩阵，则,是由 x 到 y 的坐标变换公式，其中,28,29,例4 设,30,31,定义:设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集，若对于V 中的加法和数乘二种运算，W 是数域F 上的线性空间，则称W 是V 的子空间。,定理:设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集，若W 对于V 中的加法和数乘二种运算封闭，即,则称W 是V 的子空间。,1.2 子空间与维数定理,32,例1.实数域上 n 维向量的集合,例2.设A为mn 矩阵，向量的集合,例3.设V 是数域F上的线性空间，,V 的子空间,记作,则,定理:设V 是F上的线性空间，,为W1与 W2 的和，记作 W1+W2,定义:设W1,W2 是线性空间V 的子空间，称集合,称集合,为W1与 W2 的交，记作 W1 W2,定理:设W1,W2 是线性空间V 的子空间，则W1+W2 与,W1W2 都是V 的子空间。,称 W1+W2 为W1与 W2 的和空间，称 W1W2 为W1与 W2 的积空间。,例4.线性空间R3的子空间,求 Rx+Ry，Rx+Rxy 和Rx Rxy。,例题,例题,定理(维数公式):设V1,V2 是线性空间V 的子空间，则,维数公式,例5 设V1,V2 是n维线性空间V 的子空间，若,则V1,V2 中必有非零的公共向量。,子空间的直和,定义：设V1,V2 是线性空间V 的子空间，若对每个向量,aV1+V2 都有唯一的分解式,则称V1与V2 的和V1+V2是直和，记作 V1 V2。,例1.线性空间R3的子空间,求 Rx Ry，Rx Ryz。,定理：设V1,V2 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价,(2)向量 0 的分解式是唯一的；,(4)V1的一组基与V2 的一组基的简单并是V1+V2的基；,(1)V1与V2 的和V1+V2是直和;,(3)V1 V2=0;,(5)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。,例2.设,定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的,子空间W，使得V=U W。,称W 是U在V中的直和补。,1.3 线性空间的同构,同构的性质,同构保持线性关系不变。定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数.应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。,1.4 线性变换,定义 设V 为线性空间，V 上的变换 T:V V 若满足,则称 T 为 V 上的线性变换。,例1.设T 为R2上的线性变换，T:R2R2,T(a)=a（如图）,T 把向量 a 绕原点逆时针,旋转 q 角度变换为a。,称T为旋转 变换。,例2.设T 为R3上的线性变换，T:R3R3,例3.设T 为 上的线性变换，,其中矩阵A是 n 阶方阵.,线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则,线性变换的矩阵,定义 设 T 为 V 上的线性变换，a1,a2,an为 V 的基,A 称为T 在基 a1,a2,an 下的矩阵.,55,A,线性变换的核与像,56,例1.设 T 为 上的线性变换，求 T 在基,下的矩阵.,解：,例2.设 T 为R3上的变换，,下的矩阵.,(2)求 T 在基,(1)证明：T 为 R3上的线性变换；,(3)求T 的象和核,例已知 线性空间 定义映射 T：(1)证明T是V上的线性变换；(2)求V的一组基，使得T在这组基下的矩阵为对角阵。,不变子空间,定义:设V 是线性空间，W是V 的子空间，T 是V上的线性变换，若 aW,都有T(a)W,则称W是V的T不变空间。,例 设T 是线性空间V上的线性变换，则 ImT,KerT,是T 不变空间；,
