第1章数字逻辑基础ppt课件.ppt
电子技术,（数字部分）,第1章 数字逻辑基础,1.1 数制1.2 几种常用的编码1.3 逻辑代数基础1.4 逻辑函数的化简,2,1.1 数制,1.1.1 十进制数1.1.2 二进制数1.1.3 八进制数和十六进制数1.1.4 不同数制间的转换,3,1.1.1 十进制数,数制就是人们计数的方式,十进制数是由09十个不同的数码组成的，所以计数的基数数是10，超过9的数必须用多位数表示，其计数规律是“逢十进一”。例如，十进制数369.12可以表示为,上式等号的右边为该数的按权展开，102、101、100、10-1和10-2分别为百位、十位、个位、十分位和百分位的权，位数越高权值越大。,4,任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。,(N)D=(Kn-1 K1 K0.K-1 K-m)D,=Kn-1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m,下标D表示十进制,5,6,1.1.2 二进制数,只由0、1两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值2i。,基数2，逢二进一,任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。,(N)B=(Kn-1 K1 K0.K-1 K-m)B,=Kn-1 2n-1+K121+K020+K-1 2-1+K-m 2-m,下标B表示二进制,7,1.1.3 八进制数和十六进制数,1.八进制数,八进制数中只有0,1,2,3,4,5,6,7八个数码，进位规律是“逢八进一”。各位的权都是8的幂。,一般表达式,八进制就是以8为基数的计数体制。,式中下标O表示八进制数，Ki代表第i位的数码（07），8i表示第i位的权值；m和n为正整数，分别表示八进制数的整数和小数部分的位数。则八进制数5703.6可表示为,8,十六进制数中只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六个数码，进位规律是“逢十六进一”。各位的权均为16的幂。,2.十六进制,一般表达式：,式中下标H表示十六进制数，Ki代表第i位的数码（09和A、B、C、D、E、F），16i表示第i位的权值；m和n为正整数，分别表示十六进制数的整数和小数部分的位数。则十六进制数FB8.A可表示为,9,常用数制对照表,01234567,89101112131415,00000001001000110100010101100111,10001001101010111100110111101111,01234567,01234567,1011121314151617,89ABCDEF,10,1.1.4 不同数制间的转换,一、二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数,1二进制数转换成十进制数,利用二进制数的一般表达式,即可将二进制数转换成十进制数。例如,11,2八进制数转换成十进制数,利用八进制数的一般表达式,即可将二进制数转换成十进制数。例如,3十六进制数转换成十进制数,利用二进制数的一般表达式,即可将二进制数转换成十进制数。例如,12,二、十进制数转换成二进制数,1十进制整数转换成二进制数,十进制数转换成二进制数：,整数部分小数部分,整数部分的转换,除2取余法：用二进制数的基数2去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位Kn-1。,13,解：根据上述原理，可将(173)D按如下的步骤转换为二进制数,由上得,例1.1.1 将十进制数(173)D转换为二进制数。,14,小数部分的转换,乘2取整法：十进制小数乘以二进制数的基数2，第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。,例1.1.2 将十进制小数0.8125转换成二进制数。解：根据“乘2取整法”,15,3二进制数与十六进制数相互转换,从低位到高位将整数部分每4位二进制数分为一组并代之以等值的十六进制数，同时从高位到低位将小数部分每4位数分为一组并代之以等值的十六进制数。若不足4位时，可在整数的最高位前和小数的最低位后补0构成4位。即可得到十六进制数。,例1.1.3 将二进制数111110.101011转换成十六进制数。,解：,若将十六进制数转换成二进制数，只需将十六进制数的每一位用等值的4位二进制数代替即可。,例1.1.4 将十六进制数,转换成二进制数。,解：,16,4二进制数与八进制数相互转换,将二进制数转换成八进制数，可将二进制数分为3位一组，再将每组的3位二进制数转换成等值的1位八进制数即可。,例1.1.5 将二进制数11110.10101转换成八进制数。,解：,若将八进制数转换成二进制数，只需将八进制数的每一位用等值的3位二进制数代替即可。,例1.1.6 将八进制数,转换成二进制数。,解：,17,5.十六进制的优点,1）与二进制之间的转换容易；,2）计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至(1111)B=(15)D；八进制可计至(7777)O=(2800)D；十进制可计至(9999)D；十六进制可计至(FFFF)H=(65535)D，即64K。其容量最大。,3）书写简洁。,18,1.2 几种常用的编码,1.2.1 二进制编码1.2.2 二十进制编码（BCD）1.2.3 其他编码,19,1.2.1 二进制编码,若所需编码的信息有N项，则需要的二进制数码的位数n应满足如下关系,例如4位二进制码可以表示16个不同的数码，表是常用的按8421权位排列的4位二进制编码表示的16个十进制数。,20,1.2.2 二十进制编码（BCD）,二十进制码就是用4位二进制数来表示1位十进制数中的09这10个数码，简称BCD码。,21,（2）各种编码的特点,余码的特点:当两个十进制的和是10时，相应的二进制正好是16，于是可自动产生进位信号,而不需修正.0和9,1和8,.6和4的余码互为反码,这对在求对于10的补码很方便。,有权码：编码与所表示的十进制数之间的转算容易 如(10010000)8421BCD=(90),22,对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：,（3）求BCD代码表示的十进制数,23,对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。例如：,（4）用BCD代码表示十进制数,24,1.2.3 其他编码,1.格雷码 格雷码又称循环码。从表中的4位格雷码编码表中可以看出格雷码的每一位的状态变化都按一定的顺序循环。如果从0000开始，最右边一位的状态按0110顺序循环变化，右边第二位的状态按00111100顺序循环变化，右边第三位按0000111111110000顺序循环变化。可见，自右向左，每一位状态循环中连续的0、1数目增加一倍。由于4位格雷码只有16个，所以最左边一位的状态只有半个循环，即0000000011111111。,25,与普通的二进制代码相比，格雷码的最大优点就在于当它按照编码顺序依次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化。这样在代码转换的过程中就不会产生过渡“噪声”。而在普通二进制代码的转换过程中，则有时会产生过渡噪声。例如，二进制代码0011转换为0100过程中，如果最右边一位的变化比其他两位的变化慢，就会在一个极短的瞬间出现0101状态，这个状态将成为转换过程中出现的噪声。而格雷码0010向0110转换过程中则不会出现过渡噪声。,26,2.美国信息交换标准代码（ASC）美国信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange，简称ASC码）是由美国国家标准化协会（ANSI）制定的一种信息代码，广泛地用于计算机和通信领域中。ASC码巳经由国际标准化组织（ISO）认定为国际通用的标准代码。ASC码是一组7位二进制代码（b7b6b5b4b3b2b1b0），共128个，其中包括表示09的十个代码，表示大、小写英文字母的52个代码，32个表示各种符号的代码以及34个控制码。,27,1.3 逻辑代数基础,1.3.1 基本逻辑运算1.3.2 复合逻辑运算1.3.3 逻辑函数的表达形式1.3.4 逻辑代数的运算公式和规则,28,1.3.1 基本逻辑运算,（一）逻辑变量,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。,（二）基本逻辑运算,逻辑与,逻辑或,逻辑非,29,逻辑表达式Y=AB=AB,与逻辑真值表,与逻辑关系表,与逻辑运算,开关A,开关B,灯Y,断 断断 合合 断,合 合,灭灭灭,亮,A,B,Y,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。,与逻辑运算规则为,30,或逻辑真值表,或逻辑关系表,或逻辑运算,开关A,开关B,灯Y,断 断,断 合合 断合 合,亮亮亮,灭,A,B,Y,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。,逻辑表达式Y=A+B,1,或逻辑运算规则为,31,非逻辑真值表,非逻辑关系表,非逻辑运算,开关A,灯Y,A,Y,当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,逻辑表达式 Y=A,或逻辑运算规则为,32,与非逻辑运算,Y=AB,或非逻辑运算,Y=A+B,与或非逻辑运算,Y=AB+CD,1.3.2 复合逻辑运算,33,A,B,Y,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,=1,异或运算,同或运算,34,1.3.3 逻辑函数的表达形式,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作,一、逻辑真值表 对于逻辑函数将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即为逻辑真值表，简称真值表。,例1.3.1 用真值表描述三个人表决，原则是少数服从多数。解：设三个人为A、B、C，同意为1，反对为0；表决结果为Y，通过为1，否决为0。真值表如表所示。,Y,0,0,1,0,1,1,1,0,35,二、逻辑函数表达式 将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数式。常见的逻辑函数表达式有与或例如,五种常用表达式,“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式,基本形式,36,三、逻辑图,将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图，如图所示。,37,四、波形图 如果将逻辑函数输人变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图，如图所示。这种波形图也称为时序图。,38,五、各种表示方法间的相互转换,1真值表与逻辑函数式的相互转换,由真值表写出逻辑函数式的一般方法：找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输人变量取值的组合。每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量。将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。,39,由逻辑式列出真值表只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代人逻辑式求出函数值，列成表，即可得到真值表。,解：先将输入变量A、B、C取值，然后进行或运算和与运算。真值表如表。,40,2逻辑函数式与逻辑图的相互转换 从给定的逻辑函数式转换为相应的逻辑图时，只要用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到所求的逻辑图了。,解：将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并依据运算优先顺序将这些图形符号连接起来，就得到了图所示的逻辑图。,41,从给定的逻辑图转换为对应的逻辑函数式时，只要从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，就可以在输出端得到所求的逻辑函数式了。,例1.3.5 已知逻辑函数的逻辑图如图所示，试求它的逻辑函数表达式。,解：根据图(a)所示逻辑图从输入到输出逐级逐个写出逻辑运算图形符号的逻辑关系式，如图(b)所示，最后可得逻辑函数表达式,42,3波形图与真值表的相互转换,在从已知的逻辑函数波形图求对应的真值表时，首先需要从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。,43,1.3.4 逻辑代数的运算公式和规则,一、逻辑代数基本公式,A+0=A A+1=1,A0=0 A1=A,A A=A A+A=A,A B=B A,A+B=B+A,(AB)C=A(BC),(A+B)+C=A+(B+C),A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),0-1律,互补律,重叠律,交换律,结合律,分配律,44,反演律,还原律,吸收律,A+A B=A A(A+B)=A,45,互补律,重叠律,46,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,由真值表得,证：利用真值表,1110,1110,1000,1000,47,例：,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,二、代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这就是所谓的代入定理。,48,1.4 逻辑函数的化简,1.4.1 代数法化简逻辑函数1.4.2 卡诺图法化简逻辑函数1.4.3 具有无关项的逻辑函数化简,49,分配律,吸收律,加法律,吸收律,分配律,分配律,50,逻辑电路所用门的数量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,51,与项最少，即表达式中“+”号最少。,每个与项中变量数最少，即表达式中“”号最少。,与门的输入端个数少,1.4.1 代数法化简逻辑函数,代数法化简的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。,52,并项法:,吸收法：,A+AB=A,消去法：,配项法：,53,例 已知逻辑函数表达式为,要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：,54,解：,55,1.4.2 卡诺图法化简逻辑函数,1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。,代数法化简在使用中遇到的困难：,56,一、最小项和逻辑函数的最小项表达式,n个变量有2n个最小项，记作mi。,3个变量有23（8）个最小项。,m0,m1,000,001,0,1,n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,1.最小项,最小项,二进制数,十进制数,编号,57,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项,最小项的性质：,同一组变量取值：任意两个不同最小项的乘积为0，即mimj=0(ij)。,全部最小项之和为1，即,58,2逻辑函数的最小项表达式 若逻辑函数的与或表达式中的每一个乘积项均为最小项，则称这一与或表达式为最小项表达式。例如,=m7m6m3m5,59,例 将,化成最小项表达式,a.去掉非号,b.去括号,60,二、逻辑函数的卡诺图表示法 将变量的全部最小项相应地写入一个特定的方格图内，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的方格图称为n变量的卡诺图。,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,（1）n个逻辑变量的函数，卡诺图有2n个方格，对应2n个最小项。,（2）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。,（3）相邻有邻接和对称两种情况。,特点：,61,1.已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。,2.若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,3.函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,用卡诺图表示逻辑函数,例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示该逻辑函数。,1,1,1,1,例：用卡诺图表示该逻辑函数,1,1,1,1,62,三、用卡诺图化简逻辑函数,1合并最小项的原则,若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。,63,2、卡诺图化简法的步骤,（1）将函数化为最小项之和的形式。（2）画出表示该逻辑函数的卡诺图。（3）找出可以合并的最小项，即相邻的最小项。（4）画出包围相邻最小项最多的最小项矩形组。不同的最小项矩形组允许重复包围相同的最小项，但不同的最小项矩形组中必须含有不同的最小项。（5）选取化简后的乘积项。选取的原则是：这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应复盖卡诺图中所有的1）。所用的乘积项数目最少。也就是可合并的最小项组成的矩形组数目最少。每个乘积项包含的因子最少。也就是每个可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项。,64,例1.4.12：用卡诺图化简逻辑函数,1,1,说明一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。,65,例：用卡诺图化简逻辑函数,化简得,66,1.4.3 具有无关项的逻辑函数化简,一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,在分析某些具体的逻辑函数时，输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制称为约束项。,在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。,我们将约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。这里所说的“无关”是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可以写入也可以删除。,67,具有无关项逻辑函数的化简,约束项：,任意项：,输出的结果是任意的。,不允许输入变量的取值组合出现。,常用符号“”、“d”或“”表示。,例如红绿交通灯信号,红灯A,绿灯B,车F,0 0,0 11 0,10,可行可停,1 1,不允许,任意项,约束项,利用无关项化简逻辑函数,(1)填函数的卡诺图时，在无关项对应的格内填任意符号“”。,处理方法：,(2)化简时可根据需要，把无关项视为“1”也可视为“0”，使函数得到最简。,约束项和任意项统称无关项。,68,例：用卡诺图将逻辑函数Y化为最简与或表达式。,化简得,无关项可0可1，以使函数最简。,69,
