第11章随机振动 线性系统的随机响应ppt课件.pptx
第11章 线性系统对随机激励的响应Responses of Linear System to Random Excitation,李小珍 晋智斌 朱艳西南交通大学土木工程学院,主要内容,1、激励与响应的统计特性之间的关系 Relation between statistical property of excitation and response2、单自由度线性系统对于随机激励的响应 Responses of single DOF linear system to random excitation,主要内容,3、多自由度系统对随机激励的响应 Responses of multi-DOF system to random excitation,1、激励与响应的统计特性之间的关系Relation between statistical property of excitation and response,如图所示，对于随机输入和输出，线性系统的输入输出关系同样适用。也就是说，仍然可以利用脉冲响应函数或频率响应函数来描述系统的特性。Relation between input and output of the linear system is applied to random system,that is,impulse response function or frequency response function can be adopted to describe the characteristic of the random system.,1、激励与响应的统计特性之间的关系Relation between statistical property of excitation and response,但是，由于通常用统计性规律来描述随机过程，所以为了求解线性系统在稳态的随机激励下的响应特性，首先要建立线性系统的随机响应统计特性与输入的统计特性以及系统的传递特性三者之间的关系。However,statistical rules are used to define random process,so in order to obtain the properties of the responses about the linear system,it should be established that the relationship among the statistical characteristic of random responses,the statistical characteristic of input,and transmission properties of the system.,1、激励与响应的统计特性之间的关系Relation between statistical property of excitation and response,假定已知系统的动态特性（脉冲响应函数或频率响应函数）与随机过程激励的统计参数（主要是激励的均值、自相关函数 与功率谱密度函数），求响应过程的统计参数（主要是振动响应的均值、自相关函数 与功率谱密度函数），而不是具体计算系统对于各个激励样本的响应。Assuming the dynamic properties(impulse response function or frequency response function)and statistical parameter of the random stimulation(mainly is mean value of the stimulation,Self-correlation function and PSD)are known,it should be done to get the statistical parameter(mainly about the mean value of the dynamic response,Self-correlation function and PSD),instead of calculating particular responses to each random stimulation.,1单自由度线性系统对单个随机激励的晌应设质量弹簧阻尼系统受到随机力F(t)激励，动力学方程为,2、单自由度系统对于随机激励的响应Response of single DOF linear system to random excitation,系统的响应特性可用脉冲响应函数h(t)或复频响应函数 描述(图6.10)。写出杜哈梅积分形式的解，将积分的上下限扩展为 不影响结果，（6.3.2）若激励F(t)为平稳随机过程，则稳态响应也是平稳随机过程，其统计特性可计算如下。,图6.10 受单个随机激励的单自由度线形系统,(1)均值对式(6.3.2)求平均，并将求平均与积分的次序互换，导出 由于F(t)为平稳随机过程，有(6.3.4),则式(6.3.3)化作 上式中的积分可用 时的复频响应函数值H(0)表示。得到 即响应的均值与激励的均值只相差一个常值乘子H(0)。,当激励的静态分量为零时，响应的静态分量亦为零。今后为分析方便，只讨论激励力与响应的均值皆为零的情形。,(2)自相关函数用 表示积分变量，并交换求平均与积分求和的次序，导出(6.3.7)此积分仅依赖于时差 与时间t无关。,(3)激励与响应的互相关函数利用式(6.1.9)和(6.3.2)计算激励与响应的互相关函数，导出(6.3.8),即互相关函数等于激励的自相关函数与脉冲响应函数的卷积积分。当激励为理想白噪声时(6.3.9)其中 为激励的常值功率谱密度。代人式(6.3.8)，得到白噪声激励与响应的互相关函数为(6.3.10)利用此结果可从实验测得的 推算出系统的脉冲响应函数。,(4)自谱(6.3.11),注意到中括号内的积分即激励的自谱 且由式(2.5.22)导出(6.3.12)其中*号表示复数的共扼,代人式(6.3.11)后得到(6.3.13)此结果表明，根据激励谱 与系统的复频响应函数的幅频特性 即可求出响应谱。,(5)均方值计算响应的均方值，得到(6.3.14),当激励为理想白噪声时 等于常值，均方值为(6.3.15)其中积分 可查阅附录中的积分公式。,对于弱阻尼系统，其阻尼比，幅频特性曲线在固有频率 附近有很尖的峰值，则 有更尖的峰值。当激励谱 具有较平坦形状时，式(6.3.14)右端积分中对均方值 的贡献主要来自共振频率附近的小区间内，因此可近似地取固有频率 处的激励谱值 代替。,亦即近似地认为系统受到功率谱密度 的白噪声激励。从式(6.3.13)还可看出，即使激励谱 为较平坦的宽带，但响应谱 主要集中在 附近的窄带内。因此线性系统在实践中常起到窄带滤波器的作用。,(6)激励与响应的互谱对式(6.3.8)作傅里叶变换，得到(6.3.16),导出(6.3.17)此简洁结果表明互谱与激励谱之间通过复频响应函数相联系。从实验测得 与 之后，也可利用式(6.3.17)求出复频响应函数 所包含的幅频和相频的完整信息。而利用式(6.3.13)只能得到 的幅频特性，且在推导过程中未计入噪声的影响。式(6.3.17)在有噪声存在时其结果不变，因此关系式(6.3.17)比(6.3.13)更为有用。,在实践中常引入系统的激励与响应的谱相干函数，定义为(6.3.18),对于线性系统，将式(6.3.13)和(6.3.17)代入后，得到(6.3.19)因此系统为线性时，谱相干函数应等于1。如果测试得到的谱相干函数不等于1，则可能是系统内存在非线性因素，也可能是测试过程中存在噪声影响。,如果路面不平度的激励谱密度函数为，求车身振动响应的谱密度和均方值If the excitation spectral density function of road inequality is,find the spectral density of and mean square value of car body vibration response.,例题 Example,例题 Example,例6.3.1 一单自由度线性系统受到随机激励力F(t)作用(图6.11)。F(t)是均值为零、自谱为 的理想白噪声平稳过程。求系统响应的自相关函数、自谱、均方值和激励与响应的互相关函数及互谱。,图6.11 受随机激励的质量-弹簧系统,例题 Example,解：已知系统的脉冲响应函数为（a）,将白噪声自相关函数代人式(6.3.7)计算响应的自相关函数，得到（b）,将式(a)代入上式，积分得到（c）,由于自相关函数的偶函数性质，对于情形，可将上式中的代以，写作（d）此相关函数为幅值按负指数衰减的振荡曲线。,计算响应的均方值，得到（e）当响应的自相关函数不易求得时，也可利用式(6.3.15)计算响应的均方值，其中的积分可应用附录中的积分公式计算。,计算响应的自谱，得到（f）,利用式(6.3.8)计算激励与响应的互相关函数，得到（g）,利用式（6.3.17）计算激励与响应的互谱，得到（h）,2多自由度线性系统对单个随机激励的响应 以上对单自由度线性系统的讨论过程也适用于受单个激励 F(t)的多自由度线性系统(图6.12)。设系统的自由度为n，其第 i个广义坐标的响应统计特性与单自由度系统响应的统计特性表达式完全相同，只需相应地用对激励力F(t)的脉冲响应函数和复频响应函数进行计算。实践表明，在频率域内进行响应的统计特性分析要比时差域内的分析简单得多。,图6.12受单个随机激励的多自由度线性系统,例6.3.2 图6.13为一双层隔振系统，m为隔振对象的质量，为隔振器质量，弹簧和阻尼皆为线性。设基础位移激励是均值为零自谱为的理想白噪声。求振动传递率和隔振对象位移响应的均方值。,图6.13双层隔振系统,解：设绝对位移如图示，列出系统的动力学方程（a）,定义振动的传递率的平方为隔振对象输出量的自谱与输入量 的自谱 之比，即（b）,对于线性系统，利用式(6.3.13)从上式导出（c）为计算各复频响应函数，设输入量简谐变化各输出量为（d）,将各简谐函数代人方程组(a)，得到，的一组线性代数方程并解出（e）,其中（f）,且有（g）代人式(e)，(c)计算振动的传递率，得到（h）,隔振对象位移的均方值为（i）可利用附录中的积分表计算。,3 线性系统对多个随机激励的响应,3.1 脉冲晌应矩阵和幅频响应矩阵设n自由度的线性系统受到m个平稳随机激励(），讨论系统的响应问题(图6.14)。第i坐标的响应 对于沿第j坐标的激励的脉冲响应函数和复频响应函数分别为 和。,图6.14受多个随机激励的多自由度线性系统,它们分别构成脉冲响应矩阵和复频响应矩阵(6.4.1),由于有个坐标不受激励，因此可将原阶矩阵中相应的列略去,成为 阶矩阵，和互相构成傅里叶变换对，即有(6.4.2)(6.4.3)工程中常采用实验方法测出或,3.2 响应的统计特性 将和 排成列阵(6.4.4)分别表示系统激励和响应，则可进行与上节类似的分析，只须将标量以矩阵代替。,（1）相关矩阵n个响应的自相关和互相关函数为(6.4.5)以为元素构成的相关矩阵(6.4.6),将上式中的和以杜哈梅积分表示，用和作为积分变量，得到(6.4.7)进行与之类似的推倒，得到响应与激励的相关矩阵之间的关系式(6.4.8),(2)功率谱密度矩阵定义平稳随机过程的功率谱密度矩阵为相关矩阵的傅里叶变换，而后者为前者的逆变换，则对式(6.4.8)两边作傅里叶变换后，进行与式(6.3.11)类似的推导(6.4.9),得到响应与激励的功率谱密度矩阵之间的关系式(6.4.10)其中 为的共扼阵，即,(3)激励与响应的互相关矩阵n个响应与m个激励之间的互相关矩阵为(6.4.11),进行与式(6.3.8)类似的推导，(6.4.12)(6.4.13),(4)激励与响应的互谱密度矩阵定义激励与响应的互谱密度矩阵为互相关矩阵的傅里叶变换。对式(6.4.13)两边作傅里叶变换后，进行与式(6.3.16)类似的推导(6.4.14),得到互谱密度矩阵与激励的功率谱密度矩阵和系统的复频响应矩阵 之间的关系式(6.4.15),例6.4.1 以匀速v沿不平路面行驶的汽车简化为刚体，质量和对质心的转动惯量为m和，质心位置如图6.15所示，弹簧和粘阻系数 均已知，设路面高度沿路程s的变化为高斯随机场，汽车的前后轮着地高度和 的功率谱密度 为已知。求响应的功率谱密度矩阵。,图6.15 不平路面上的汽车,解：以汽车的质心垂直位移x和相对水平面的倾角为广义坐标，建立二自由度刚体微幅振动的动力学方程(a)(b),先计算系统的幅频响应，为此令(c)代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元线性代数方程组，解出(d),再令(e)代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元线性代数方程组，解出,其中(g),则得到复频响应矩阵(h)作为激励的前后轮高度变化 和 之 间具有相关性，(i),其中 为常值时差，则相关函数为(j)功率谱密度为(k),激励过程 和 有相同的自谱 由路面随机场导出。用同样步骤还可导出(l)(m),得到激励的功率谱密度矩阵(n)将式(h)和(n)代大式(6.4.10)，得到响应的功率谱密度矩阵(o),4 随机响应的模态分析法,1多自由度系统的随机晌应 除以上直接应用脉冲响应函数和复频响应函数求线性系统随机响应的方法以外，模态分析法是另一种求随机响应的有效方法。由于只有低阶模态对响应有显著影响，因此模态分析法对于自由度多的系统可明显减少计算工作量。,讨论受随机激励的n自由度线性系统，其动力学方程为(6.5.1)其中质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K可利用作以下变换(6.5.2),其中 为系统的振型矩阵，E为n阶单位阵，为本征值矩阵,为振型阻尼矩阵，亦假设为对角阵(6.5.3)(6.5.4),将坐标x变换为广义坐标(6.5.5)则动力学方程解耦为(6.5.6),包含n个独立的微分方程(6.5.7)可对每个方程利用杜哈梅积分计算随机响应，(6.5.8),写作矩阵形式(6.5.9)其中 为正则坐标下的脉冲响应矩阵。由于各方程相互独立，因此 为对角阵，(6.5.10),将式(6.5.9)变换至原坐标x(t)，积分变量 改作，得到(6.5.11)利用上式导出响应的相关矩阵(6.5.12),对上式两端进行傅里叶变换，经过推导，得到响应的功率谱密度矩阵(6.5.13)其中 是关于正则坐标的复频响应矩阵，为其共轭阵(6.5.14)利用式(6.5.13)可从已知的激励的功率谱矩 求出响应的功率谱矩阵。,对 作傅里叶逆变换，可得到响应的相关函数矩阵(6.5.15)当振动系统的阻尼较小且各固有频率差别较大时，可将式(6.5.13)中 的交叉乘积项予以忽略使计算简化。多自由度系统通常是低阶模态起主要作用，因此计算时只取几个低阶模态，仍可有较好的精度。,2连续系统的随机响应 以梁的弯曲振动为例说明连续系统的模态分析法。设均质等截面梁受到线性外阻尼作用，在动力学方程中增加与成比例的阻尼项，设c为粘阻系数（6.5.16）,设其中分布力f(x,t)为平稳随机过程。计算无阻尼情形的固有频率和正则化的模态函数，后者满足正交性条件。假设模态函数关于阻尼也存在类似的正交性（6.5.17）,应用模态分析法，将解y(x,t)写作模态函数的线性组合（6.5.18）代大方程(6.5.16)，导出广义坐标 的一组独立的动力学方程，（6.5.19）,其中广义力为（6.5.20）利用杜哈梅积分写出方程（6.5.19）的解，并计算平稳响应过程与之间的互相关函数，得到（6.5.21）,根据相关函数与谱密度函数之间、以及脉冲响应函数h(t)与复频响应函数 之间的傅里叶变换对关系式(6.5.15),导出（6.5.22）,再根据相关函数与谱密度函数 之间的傅里叶变换对关系(6.5.15)导出（6.5.23）利用式(6.5.18)和(6.5.22)计算梁上不同位置 和处的平稳响应过程与之间的互相关函数,得到（6.5.24）令上式中，即得到响应的自相关函数。再令=0，得到响应的均方值。,由上式还可得到与之间的互谱密度为（6.5.25）上式中出现的可利用式（6.5.20）计算。,设为载荷与之间的互谱密度，则有（6.5.26）,从而导出（6.5.27）,例6.5.2 一均质等截面简支梁，长度为,单位长度质量为，抗弯刚度为EI，粘阻系数为c，梁上作用一集中力F(t)，是均值为零的平稳正态白噪声过程，自谱为已知。求：梁上力作用点P处的挠度的功率谱密度和均方值(图10.16)。,图10.16受随机激励的简支梁,解：将集中力看作分布在附近很小一段梁上的分布力，即 则有（b）,(c)(d),利用式(6.5.25)计算P点处的挠度 的功率谱密度，得到（e）,简支梁的固有频率和正则化模态（f）,则系统的复频响应函数为（g）,代入式（e），得到（h）,P点处挠度的均方值可令式（6.5.24）中和，导出（i）,通常阻尼比 较小，若 与 离开较远，可略去积分中的交叉乘积项，近似写作（j）,利用附录中的积分公式，可得（k）,代入式（j）得到（l）,当 时，得到梁中点挠度的均方值为（m）,由于偶数阶模态相对梁中点为反对称，中点成为偶数阶模态的节点，因此只有奇数阶模态对响应的均方值作出贡献。由上式还可看出高阶模态对挠度均方值的影响迅速减小。,
