物理刚体运动ppt课件.ppt

4-1 刚体的平动、转动和定轴转动,1.刚体,刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。,2.平动和转动,刚体最简单的运动形式是平动和转动。,当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。,刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中各质点的位移相同。且在任何时刻，各质点的速度和加速度都相同。,所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。,刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。,3.刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。,特点：,(1)角位移，角速度和角加速度均相同；,(2)质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,角位移,角速度,角加速度,4.角速度矢量,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,例1:一飞轮转速n=1500r/min，受制动后均匀减速，经t=50 s后静止。（1）求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的速度；（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。,解:（1）设初角度为0方向如图所示，,0=21500/60=50 rad/s，,在t=50S 时刻=0，代入方程=0+t 得,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同；,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,边缘上该点的加速度 其中 的方向与 的方向相反，的方向指向轴心，的大小为,的方向几乎和 相同。,例2:一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量,1.刚体的角动量,图为以角速度绕定轴oz转动的一根均匀细棒。,把细棒分成许多质点，其中第i 个质点的质量为,当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为,它相对于o点的位矢为,则 对o点的角动量为：,从图中可以看出：,因此,对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿 轴的分量，叫做刚体绕定轴转动的角动量。,刚体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。,式中 叫做刚体对 轴的转动惯量，用J表示。,刚体转动惯量：,刚体绕定轴的角动量表达式：,2.刚体的转动动能,刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第i个质点的质量为，速度为,则该质点的动能为：,因此，整个刚体的动能,上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。,式中 是刚体对转轴的转动惯量，所以上式写为,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式,3.转动惯量的计算,按转动惯量的定义有,区别：,平动：平动动能,线动量,转动：转动动能,角动量,沿Z 轴分量为 对Z 轴力矩,对O 点的力矩：,4-3 力矩 刚体定轴转动定律,1.力矩,力不在转动平面内,注（1）在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,（2）,2.刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到,刚体定轴转动定律,讨论：,（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。,（3）J 和质量分布有关；,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,例1:一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1(T1=T1)，,物体2这边的张力为,T2、T2(T2=T2),因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,例2:一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解:因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,4-4 定轴转动的动能定理,1.力矩的功,当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。,力 对P 点作功：,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,2.定轴转动的动能定理,根据定轴转动定理,外力矩所做元功为：,则物体在 时间内转过角位移 时,总外力矩对刚体所作的功为：,刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,例1:如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮，r1=0.3m,r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。,解:（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得,皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为,由此得飞轮的角速度,这样飞轮的转动动能是,（2）若冲床冲断0.5mm厚的薄钢片需用冲力9.80104N，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？,这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为,由,求得此时间的角速度为,而飞轮的转速变为,解:先对细棒OA所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。,例2:一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。,在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg(l/2)cos，棒转过一极小的角位移d 时，重力矩所作的元功是,在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是,应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度00，下摆到竖直位置时的角速度为，按力矩的功和转动动能增量的关系式得,由此得,所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,4-6 刚体角动量和角动量守恒定律,1.定轴转动刚体的角动量定理,刚体定轴转动定理：,则该系统对该轴的角动量为：,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为、，,对于该系统还有,为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。,角动量定理的微分形式：,2.定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当 合外力矩为零时，其角速度恒定。,恒量,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,例1:一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过O的水平轴转动，如图。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行s而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能,零点，用表示棒这时的角速度,则,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。,这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则,（2）,式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由匀减速直线运动的公式得,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,亦即l6s；当取负值，则棒向右摆，其条件为,当取正值，则棒向左摆，其条件为,亦即l 6s,棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求结果为,(6),例2:图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J=2103kg.m2，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是=2kg/s。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,解:把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，,所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即,在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(=r)，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为,当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即,喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，故系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1，由此,即,例3:一长为l、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：分两个阶段进行考虑,其中,(1)子弹射入细杆时,子弹和细杆组成的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为,(1),(2)子弹随杆一起绕轴O 转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：,由机械能守恒，E=E0,代入q=300，得：,将上式与 联立，并代入J 值，得,例4：A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A 圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B 圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度w.,解：以两圆盘为系统，重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力，故系统角动量守恒。,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,