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复变函数,复数定义：,大小的不能比较大小,三种几何表示方法：点，向量，复球面,数学表示法 复数的运算 Z的n次方的计算,复变函数,3.复变函数一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合,可导的必要与充要条件,必要条件：四个偏导数存在：满足C-R条件：充分必要条件：1.四个偏导数连续2.满足C-R条件,解析函数的概念,定义：解析的充要条件：该区域内可导的充要条件处处成立,函数解析与可导、连续、极限的关系,解析函数的性质,1.C-R：2.判断一个函数是否解析,2.复变函数的积分,C分段光滑 在线段C上连续,定义式分解式,2.复积分的基本性质,1.2.3.,复积分的基本性质,4.5.,复通区域的科西定理,复积分的计算方法,1.定义式2.分解式：3.极坐标法：积分曲线为圆周时4.科西定理：,科西积分公式,二.科西公式的推论,高阶导数公式的说明,1.,2.,3.,围道积分计算总结,科西定理：科西公式：科西导数公式综合式（复连通区域导数公式）如：,例：计算其中为以为中心，为半径的正方向，为整数,解：的方程为,所以：,结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关,例：试沿区域内的圆弧计算的值,例：计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线,柯西定理的应用,由 的 积分之值，证明:证明:因为被积函数的奇点 在积分围道 外，故在 内 解析，因而有:,例：求下列积分（沿圆周正向）的值,柯西公式应用,应用举例例1问题：计算回路积分,分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1,解：由柯西公式,柯西公式应用,已知,求 的值,解：当|x|3时，由Cauchy公式有：,幂级数,收敛半径,例1.求解,泰勒级数,设f(z)在区域D解析，则在该区域内任意一点z=b的领域 含于D内，f(z)可以展开为唯一的幂级数：,b,基本函数的泰勒展开,例1.,例2.,例3.,泰勒级数,罗朗级数,上一致收敛,罗朗级数,C,展开方法,例4（1）以Z=0为中心进行罗朗展开（2）在环域Z-11中展开,例5,解析函数的孤立奇点,1.孤立奇点概念,孤立奇点的分类,孤立奇点的分类,孤立奇点的分类,孤立奇点的分类,孤立奇点的分类,例2,孤立奇点的分类,留数定理,在D内将孤立奇点分别用互不包含且互不相交的围线Ck围绕起来，而围线L包围了所有的奇点，应用复连通区域的科西积分定理得：,留数定理,无限远点的留数,留数定理,留数的计算方法,留数的计算方法,留数的计算实例,例2.,留数的计算实例,留数的计算实例,例3.,留数的计算实例,利用留数计算围道积分,例4,2.用留数定理计算实积分,例4,类型二：,：此处Zk为上半平面奇点，不包括下半平面奇点,例5,傅里叶变换,1,2：,数学模型的建立和边界条件,定解条件,定解条件,例2.,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值,定解条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值,例3.,物体冷却时放出的热量-与物体和外界的温度差（u-u0）成正比，其中u0为周围介质的温度。,定解条件,行波法,行波法解题思想：（也叫通解法，并不仅仅局限于求解波动方程）先求出通解 代入定解条件 求出定解,不同边界条件下的本征值问题,形式2,解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。令,带入方程：,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,分情况讨论：,1）,2）,3）令，为非零实数,特征值问题,特征值与特征函数,步骤2，叠加原理做出解的线性组合。,步骤3，其余的定解条件求出系数。,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,不同边界条件下的本征值问题,形式3,形式4,作业：分别求出本征值和本征函数=？,实根,求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,球函数,10.1.1 勒让德方程 勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,（10.1.1）,在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程,和球谐函数方程,（10.2）,(10.1.2)式的解,与半径,无关，故称为球谐函数,，或简称为球函数,球谐函数方程进一步分离变量，令,得到关于,的常微分方程,（10.1.3）,称为,阶连带勒让德方程.,令,和,把自变数从,换为,，则方程（19.1.3）可以化为下列,阶连带勒让德方程,形式的,（10.1.4）,若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，则,，即有,（10.1.5）,称为,阶勒让德（legendre）方程,同样若记,，,，则上述方程也可写为下列形式的,阶勒让德方程,(10.1.6),1012 勒让德多项式的表示,1.勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,（10.1.7）,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶勒让德多项式勒让德多项式也称为第一类勒让德函数,式（10.1.7）即为勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,（即为奇数）时，,则,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,（19.8）,（即为偶数）时，,则,含有常数项，即,（19.7）中,的那一项，所以,（19.9）,式中记号,而,因此，,10.2 勒让德多项式的性质,10.2.1 勒让德多项式的性质,1.勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,（i）,的,个零点都是实的，且在,内；,（ii）,的零点与,的零点互相分离,2.奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,（10.2.1）,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,3.勒让德多项式的正交性及其模,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(10.2.2),其中,当,时满足,，(10.2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(10.2.4),4.广义傅里叶级数,定理10.2.1 在区间-1,1上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数,（10.2.5）,其中系数,(10.2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(10.2.7),其中系数为,（19.2.8）,10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）,例10.2.1 将函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】根据（10.2.5）设,考虑到,，由(10.2.6)显然有,所以,例10.2.2 将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解】用直接展开法,令,，则由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面我们给出一般性结论：,结论1：设,为正整数，可以证明：,结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数,为奇函数，,则展开式（10.2.5）系数,若需展开的函数,为偶函数，则展开式（19.2.5）系数,例10.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,展开为广义傅里叶级数,【解】本例不必应用一般公式，事实上，,是三次多项式（注意,既非奇函数，也非偶函数），,设它表示为,
