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数学物理方法,2016/2-6,什么是数学物理方法需要的基础知识:微积分,ODE学习方法(总结各种方法的优缺点),CH1 典型方程的定解问题1)数学模型的建立2)定解问题3)线性PDE,1)数学模型的建立,弦振动方程与波动方程热传导方程稳态方程,设一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,在外力作用下让其做微小的横振动,研究其振动规律.方程的推广(空气阻力,弹性阻力,外力)高维情形(鼓振动,声波,电磁波),设绝热管中充满不流动的液体,考虑液体的温度关于空间和时间的变换规律.方程的推广(热源,热汇)高维情形(导热体),稳态方程,拉普拉斯方程(平衡态,与时间无关)方程的推广(泊松方程),2)定解问题,定解条件具体的定解问题,为什么需要定解条件定解条件有哪些如何得到定解条件具体的定解问题及其物理含义,3)线性方程,线性算子,线性方程的定义叠加原理简单二阶线性PDE的分类,什么是线性方程齐次/非齐次方程齐次/非齐次边界条件两个叠加原理非齐次问题的线性拆分,二阶线性PDE的形式为什么要对其分类通过具体例子学习如何对其分类(两个变量,多个变量),CH2 FOURIER级数方法1)FOURER级数及其收敛性2)齐次方程,齐次边界条件的解法(分离变量法)3)特征值问题(特征函数展开法)4)非齐次方程(齐次化原理)5)非齐次边界条件6)物理意义,共振现象,1)Fourer级数及其收敛性,Fourier级数,Euler-Fourier系数点点收敛平方可积空间中的收敛性函数系在平方可积空间中的完备性,2)齐次方程,齐次边界条件的解法(分离变量法),3)特征值问题,特征值问题的简单算例一般的Sturm-Liouville问题的结论特征函数展开法,常用特征问题 齐次边界条件,4)非齐次方程,特征函数展开法求解非齐次问题非齐次ODE的解法(欧拉待定函数法,常数变易法,齐次化原理)非齐次PDE的齐次化原理(热方程,波动方程),复习:二阶常系数非齐次ODE特解的求法,(1).待定函数法f(x)具有特殊形式时,上述方程特解的求法.这里的特殊形式是指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函数、多项式,或这些函数的某种组合.,(2)常数变易法将齐次方程通解中的常 数变为函数代入。,证明上述猜测的结论(一阶ODE)推广到二阶ODE初值问题推广到热方程推广到波动方程,5)非齐次边界条件,构造满足非齐次边界条件的辅助函数特殊情况下,可将PDE和B.C.同时齐次化,6)物理意义,共振现象,以弦振动方程为例说明分离变量法的物理意义共振现象,用特征函数展开法化为ODE问题:,