欢迎来到三一办公! | 帮助中心 三一办公31ppt.com(应用文档模板下载平台)
三一办公
全部分类
  • 办公文档>
  • PPT模板>
  • 建筑/施工/环境>
  • 毕业设计>
  • 工程图纸>
  • 教育教学>
  • 素材源码>
  • 生活休闲>
  • 临时分类>
  • ImageVerifierCode 换一换
    首页 三一办公 > 资源分类 > PPT文档下载  

    数值分析03函数逼近与计算ppt课件.ppt

    • 资源ID:2082017       资源大小:2.89MB        全文页数:101页
    • 资源格式: PPT        下载积分:16金币
    快捷下载 游客一键下载
    会员登录下载
    三方登录下载: 微信开放平台登录 QQ登录  
    下载资源需要16金币
    邮箱/手机:
    温馨提示:
    用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)
    支付方式: 支付宝    微信支付   
    验证码:   换一换

    加入VIP免费专享
     
    账号:
    密码:
    验证码:   换一换
      忘记密码?
        
    友情提示
    2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,就可以正常下载了。
    3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
    4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰。
    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    数值分析03函数逼近与计算ppt课件.ppt

    第三章,函数逼近与计算,一、问题的提出,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下,求出计算量最小的近似式,这就是函数逼近要解决的问题。,1 引 言,用简单的函数,近似地代替函数,近似代替又称为逼近,,称为被逼近的函数,,两者之差,,是计算数学中,最基本的概念和方法之一。,称为逼近函数,,函数,二、函数逼近问题的一般提法:,对于函数类,中给定的函数,,要求在另一类较简单的且便于计算的函数类,中寻找一个函数,,使,与,之差在某种度量意义下最小。,注:本章中所研究的函数类,通常为区间,上的连续函数,记做,;而函数类,通常是代数多项式或三角多项式。,的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。,三、常用的度量标准:,(一)最佳一致逼近,若以函数f(x)和P(x)的最大误差,作为度量误差 f(x)P(x)“大小”的标准,在这种意义下,(二)最佳平方逼近:,采用,作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平方逼近或均方逼近。,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,设函数,是区间,对于任意,,如果存在多项式,,使不等式,则称多项式,在区间,上一致逼近(或均匀逼近)于函数,定义,上的连续函数,,给定的,成立,,。,所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间,上的连续函数,,要求一个代数多项式,使得,其中,,代表由全体代数多项式构成的集合。,称为最佳一致逼近多项式,二、最佳一致逼近多项式的存在性,定理 1(维尔斯特拉斯定理)若f(x)是区间a,b上的连续函数,则对于任意 0,总存在多项式 P(x),使对一切a x b 有,上的最佳一致逼近,在,能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个,表示由所有次数不超过n的代数多项式构成的线性空间。,空间中的最佳一致逼近问题。,意义下:,,使得,其中,,这就是,三、,3 最佳一致逼近多项式,一、最佳一致逼近多项式的存在性,定理2(Borel定理),对任意的,二、相关概念,1、偏差,定义,上的偏差。,则称,为,与,在,注:,,,集合,记作,,它有下界0。,显然,,若,的全体组成一个,2、最小偏差,则称,若记集合的下确界为,为,在,上的最小偏差。,定义,3、偏差点,定义,设,若在,上有,则称,是,的偏差点。,若,若,则称,则称,为“正”偏差点。,为“负”偏差点。,4、交错点组,若函数,定义,在其定义域的某一区间,个点,上存在,使得,则称点集,为函数,在区间,上的一个交错点组,,称为交错点组的点。,点,三、,上的最佳一致逼近的特征,引理3.1,是区间,上的连续函数,,是,的n次最佳一致逼近多项式,,存在正负偏差点。,则,设,必同时,定理 3(Chebyshev定理),是区间,上的连续函数,,设,则,是,的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是:,在区间,上存在一个至少由,组。,个点组成的交错点,推论1,是区间,上的连续函数,,是,的n次最佳一致逼近多项式,,在,内存在且保号,,在区间,个点组成的交错点组,,端点,都在交错点组中。,上恰好存在一个由,设,若,则,且两,推论2,推论3,四、一次最佳逼近多项式,1、推导过程,设,,且,在,内不变号,,要求,在,上的一次最佳一致逼近多项式,由推论1,,在,上恰好有3个点构成的交错,且区间端点,属于这个交错点组,,组,,设另一个交错点为,则,解得,即,即,2、几何意义,?,3、举例,求 在 上的最佳一次逼近多项式。,解:,由 可算出,故,解得,由,得,于是得,的最佳一次逼近多项式为,故,误差限为,(*),在(*)式中若令,则可得一个求根的公式,五、Chebyshev多项式及其应用,(1)定义,称,为n次Chebyshev多项式.,注,It is very important,令,则,而,故 为关于 的 次代数多项式。,(2)性质,正交性:,由 Tn(x)所组成的序列 Tn(x)是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。,且,递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式:,奇偶性:,切比雪夫多项式,当 为奇数时为奇函数;,为偶数时为偶函数。,在区间-1,1上有 个不同的零点,Tn(x)在-1,1上有n+1个不同的极值点,使Tn(x)轮流取得最大值 1 和最小值-1。,切比雪夫多项式的极值性质,Tn(x)的最高次项系数为 2n-1(n=1,2,)。,在-1x 1上,在首项系数为1的一切n次多项式中,与零的偏差最小,且其偏差为,即,对于任何,有,该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.,注:,区间 上的最小零偏差多项式,(3)应用,多项式的降阶(最小零偏差问题),在所有次数为 的多项式中求多项式,在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。,使其,最小零偏差多项式问题。,这一问题被称为,不失一般性,可设 的首项系数为1,,有界闭区间为.,所讨论的,对一般区间,,可先将 换为,,考虑 在 上的逼近,再将 换回,,得到。,最后,寻求最小零偏差多项式 的问题,求 的 次最佳一致逼近多项式的问题。,事实上等价于,即求 使其满足:,注:在 上首项系数为1的最小零偏差多项式为。,设,为,上的,次多项式,,要求 在 上的不超过 次的最佳一,致逼近多项式。,?,由于首项系数为1的 次Chebyshev多项式,无穷范数最小,,故有,于是,例1 设f(x)=4x42xx8x-5/2,|x|1.求f(x)在-1,1中的3次最佳一致逼近元p3(x).,解 由f(x)的表达式可知b,首项系数为1的4次 Chebyshev多项式为 T4(x)xx1/8.由(1)式得 p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2xx8x-3.,注:对区间为a,b的情形,先作变换 x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后对变量为t的多项式用(1)式求得pn(t),然后再作(2)式的反变换得到a,b上的最佳一致逼近多项式.,近似最佳一致逼近多项式,设,且存在,阶连续导数,如何在 上确定互异的插值节点,使得 的 次插值多项式的余项最小?,由插值余项定理,次插值多项式 的余项为,其中,,其估计式为:,因此,要使余项达到最小,只需使,尽可,能小。,是一个首项系数为1的 次多项式,,故由Chebyshev多项式的性质,,只要取,即可。,而,故只需取 为 次Chebyshev多项式的零点,,即,注意到,注:,4 最佳平方逼近,一、内积空间,1、定义,称二元函数 为内积。,设 为(实)线性空间,对 中每一对元素,在 上定义了内积是指,都有一实数,记为 与之对应,,且这个对应满足:,(2),(1),(3),(4),则称 为内积空间,,2、内积的性质,设 是一内积空间,则对任意的,有,(1)柯西许瓦兹不等式:,(2)三角不等式:,3、两种重要的内积空间,n维欧氏空间,内积就是两向量的数量积,即,连续函数空间,内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算,即,或,4、权函数的定义,设(x)定义在有限或无限区间a,b上,如果具有下列性质:,(1)对任意x a,b,(x)0;,(2)积分 存在,(n=0,1,2,);,(3)对非负的连续函数g(x)若,则在(a,b)上g(x)0。,称满足上述条件的(x)为a,b上的权函数。,5、Euclid范数及其性质,定义,设,称为,的Euclid范数。,则称量,性质,对于任何 下列结论成立:,1、,2、,3、,(Cauchy-Schwarz不等式),(三角不等式),(平行四边形定律),二、相关概念,1、距离,线性赋范空间中两元素 之间的距离为,连续函数空间 中,与 的距离即为,因此,中两点 与 之间的距离即为,也称为2-范数意义下的距离,2、正交,若 则称 与 正交。,连续函数空间 中,设,则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交。,进一步,设在a,b上给定函数系,若满足条件,则称函数系 是a,b上带权(x)的正交函数系。,若,特别地,当Ak 1时,则称该函数系为标准正交函数系。,若上述定义中的函数系为多项式函数系,则称之为a,b上带权(x)的正交多项式系。,并称 是 上,带权(x)的 次正交多项式。,3、正交化手续,一般来说,当权函数 及区间 给定以后,可以由幂函数系 利用正交化方法构造出正交多项式系。,4、正交多项式的性质,(1)是最高次项系数为1的 次多项式.,(2)任一 次多项式 均可表示为 的线性组合.,(3)当 时,且 与任一次数小于 的多项式正交.,(4)递推性,其中,这里,且都在区间 内.,(5),设,是在,上带权,项式序列,的正交多,则,的,个根都是单重实根,三、常用的正交多项式,1、第一类切比雪夫多项式,(1)定义,(2)性质,正交性:,切比雪夫多项式序列 Tn(x)是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。,且,递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式:,在区间-1,1上有 个不同的实零点,2、Legendre(勒让德)多项式,(1)定义,多项式,称为n 次勒让德多项式。,(2)性质,正交性,勒让德多项式序列 是-1,1上带权 的正交多项式序列。即,递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式:,奇偶性:,当n为偶数时,为偶函数;,当n为奇数时,为奇函数。,在区间-1,1内部存在n个互异的实零点。,的最高次项系数为,(5)在所有首项系数为1的 次多项式中,,多项式 在 上与零的平方误差最小。,勒让德,证明:,设 是任意一个最高项系数为1的 次多项式,,它可表示为,于是,当且仅当,时等号才成立,,即当 时平方误差最小。,3、其他常用的正交多项式,(1)第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式,定义:称,为第二类切比雪夫多项式。,相邻的三项具有递推关系式:,第二类切比雪夫多项式的性质:,(2)拉盖尔(Laguerre)多项式,定义:称多项式,为拉盖尔多项式。,是在区间0,+上带权 的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式:,拉盖尔多项式的性质:,(3)埃尔米特(Hermite)多项式,定义:称多项式,为埃尔米特多项式。,的正交多项式序列。,是区间(-,+)上带权,相邻的三项具有递推关系式:,埃尔米特多项式的性质:,四、内积空间上的最佳平方逼近,1函数系的线性关系,定义:,若函数,在区间 上连续,,如果关系式,当且仅当 时才成立,,函数在 上是线性无关的,否则称线性相关。,则称,是任意实数,则,并称 是生成集合的一个基底。,的全体是 的一个子集,记为,设 是 上线性无关的连,续函数,连续函数 在 上线性无关的 充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式,定理,其中,广义多项式,设函数系,线性无关,,则其有限项的线性组合,称为广义多项式。,对任意的,为 的最佳平方逼近元。,2、最佳平方逼近元的定义,设 为线性内积空间,,为 上 个,线性无关元,,记由 张成的 的子空间为,,即,定义,在 的子空间 中,,求 的在2-范数,意义下的最佳逼近元,,即求,使不等式,对任意 成立.,若满足上式的 存在,,称,3.平方最佳逼近元的存在性,定理1,设 为线性内积空间,,由线性无关组,张成的线性空间 为 的子空间,,存在 为 的最佳平方逼近元.,则对任意的,Remark:,线性内积空间 的子空间 的线性无关组,选取不同,,在 中求得的对 的最佳,平方逼近元 也不同,求解 的难易程度也不同。,4.最佳平方逼近元的充要条件,定理2,内积空间),为,的最佳平方逼近元的充要条件是:,(线性,与一切,正交。,其中,,为 的 个线性无关元。,REMARK:,定理2中所说的 与一切 正交,,与一切 的内积等于零,,是指,即,证:,必要性.,用反证法.,设 为 的最佳平方逼近元,,不与所有的 正交.,但,即存在,使得,则,令,所以 必须与一切 正交.,且,这说明 不是对 的最佳平方逼近元,,与假设条件矛盾,,充分性.,仍记 则对任意的,有,对任意 成立,即 为 的最佳平方逼近元。,所以,进而有,5.最佳平方逼近元的惟一性,定理3,线性内积空间 的子空间 中若存在对 的,最佳平方逼近元,则惟一.,6.最佳平方逼近元的求解,现假定线性内积空间 上的内积已定义,,并且 的,子空间的一组基底 也确定,,平方逼近元.,对具体的被逼近元,要求,为 的最佳,由最佳平方逼近元的充要条件,,若假定,则可以得出,其中,为待定系数。,恒等变形为,用矩阵式表示这个方程组为,此方程组称为法方程组。,若所选取的一组基底 满足,则称其为正交基,此时,五、函数的最佳平方逼近,1.对于给定的函数,要求函数,使,若这样的 存在,,上的最佳平方逼近函数。,则称为 在区间,特别地,若,则称,为,在,上的 次最佳平方逼近多项式。,求最佳平方逼近函数 的问题可归结为求它的系数 使多元函数,取得极小值。,由于 是关于 的二次函数,故利用多元函数取得极值的必要条件,可得,(k=0,1,2,n),得方程组,最小二乘!,如采用函数内积记号,方程组可以简写为,写成矩阵形式为,法方程组!,由于0,1,n线性无关,故Gn 0,于是上述方程组存在唯一解。,从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数,则必是,3.举例,求 在 中的最佳平方逼近元。,这是 上的最佳平方逼近问题.,解:,取,记,因为,且同样可求得,所以,关于,的法方程组为,解得,即,为,中对,的最佳平方逼近元。,4.函数按正交多项式展开,设,为,其中,上带权,的正交多项式系,,给定,若,为,在,上的 次最佳平方逼近多项式,,则由,正交多项式的性质,,即,例:,求,在,上的三次最佳平方逼近多项式。,解:,先计算,即,所以得,所以有,均方误差为,最大误差为,六、曲线拟合的最小二乘法,1.问题提出,已知测量数据:,要求简单函数,使得,总体上尽可能小。,称为“残差”,这种构造近似函数的方法称为曲线拟合;,合函数。,称为拟,注:,使,尽可能小的度量准则:,常见做法:,使 最小,较复杂,使 最小,不可导,求解困难,使 最小,线性拟合问题,|.|2 意义下的线性拟合,若记:,确定拟合函数,对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,m),使得,达到极小,这里 n m。,则,记,则E 实际上是 c0,c1,cn 的多元函数,在 E 的极值点处应有,于是,得到关于c1,c2,cn的方程组,法方程组(或正规方程组),(8),2、举例,给定 的一组数据,求拟合函数。,解:,作图可知所有点都分布在一条直线的附近,即拟合函数近似为一个线性函数,故可设,将数据带回,即可得拟合函数,3.用正交函数作最小二乘拟合,给定,与正交函数系,可利用正交化手续进行构造,则最小二乘拟合函数为:,

    注意事项

    本文(数值分析03函数逼近与计算ppt课件.ppt)为本站会员(牧羊曲112)主动上传,三一办公仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知三一办公(点击联系客服),我们立即给予删除!

    温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。




    备案号:宁ICP备20000045号-2

    经营许可证:宁B2-20210002

    宁公网安备 64010402000987号

    三一办公
    收起
    展开