导数与函数的单调性、极值、最值课件.ppt

第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值,第十一节 导数与函数的单调性、,导数与函数的单调性、极值、最值课件,1.函数的单调性与导数的关系（1）函数y=f(x)在（a，b）内可导,常数函数,1.函数的单调性与导数的关系常数函数,（2）单调性的应用若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调，则y=f(x)在该区间上_.,不变号,（2）单调性的应用不变号,2.函数的极值（1）极大值在包含x0的一个区间（a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极大值点，其函数值_为函数的极大值.,小于或等于,点x0,f(x0),2.函数的极值小于或等于点x0f(x0),（2）极小值在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极小值点，其函数值_为函数的极小值._与_统称为极值，_与_统称为极值点.,大于或等于,点x0,f(x0),极大值,极小值,极大值点,极小值点,（2）极小值大于或等于点x0f(x0)极大值极小值极大值点极,（3）导数与极值,（3）导数与极值x(a,x0)x0(x0,b)f(x)+,3.函数极值与最值的求法(1)求可导函数y=f(x)极值的步骤：求出导数f(x)；解方程f(x)=0；对于方程f(x)=0的每一个解x0，分析f(x0)在x0左、右两侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：若f（x）在x0两侧的符号“_”，则x0为极大值点；若f（x）在x0两侧的符号“_”，则x0为极小值点；若f（x）在x0两侧的符号_，则x0不是极值点.,左正右负,左负右正,相同,3.函数极值与最值的求法左正右负左负右正相同,（2）求函数在闭区间a,b上的最值可分两步进行：求y=f(x)在(a,b)内的_；将函数y=f(x)的各极值与区间a,b端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_为最大值，_为最小值.,极值,最大的一个,最小的一个,（2）求函数在闭区间a,b上的最值可分两步进行：极值最大,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(),判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.,【解析】（1）错误.f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件(2)错误一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小.,【解析】（1）错误.f(x)0能推出f(x)为增函数，反,(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案：(1)(2)(3)(4)(5),(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为,1函数f(x)ln xax(a0)的递增区间为()（A）（B）（C）（D）(-,a)【解析】选A.由 得 f(x)的递增区间为,1函数f(x)ln xax(a0)的递增区间为(,2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()（A）(a，b)（B）(a，c)（C）(b，c)（D）(ab，c)【解析】选A.f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，b0.,2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x,3.函数f(x)=x3-3x,x(-1,1)()（A）有最大值，但无最小值（B）有最大值，也有最小值（C）无最大值，也无最小值（D）无最大值，但有最小值【解析】选C.f(x)=3x2-3,x(-1,1),f(x)0,f(x)在(-1,1)上是减少的，故f(x)无最大值，也无最小值.,3.函数f(x)=x3-3x,x(-1,1)(),4已知f(x)x3ax在1，)上是增加的，则a的最大值是()（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选D.f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.,4已知f(x)x3ax在1，)上是增加的，则a的,5已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是()（A）(0,1)（B）(1,0)(0,1)（C）(1，)（D）(，1)(1，)【解析】选C.令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，),5已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f,考向 1 利用导数研究函数的单调性【典例1】（1）（2012辽宁高考）函数 的递减区间为()（A）(-1,1（B）(0,1（C）1,+)（D）(0,+),考向 1 利用导数研究函数的单调性,（2）（2012北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,（2）（2012北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1,【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y0求解.(2)利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.【规范解答】（1）选B.由-1x1，且x0，又函数的定义域为(0,+),故递减区间为(0,1.,【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y0求解.,（2）f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得解得a=b=3.,（2）f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，,令 令F(x)=0，得a0,x10得，或由F(x)0得，递增区间是递减区间为,令,【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)当a0时，在区间（-，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a0时，函数的递增区间是 递减区间为当 即0a2时，f(x)+g（x）在(-，-1)上为增加的；当 即2a6时，f(x)+g（x）在上是增加的，在 上是减少的；,【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x),当 即a6时，f(x)+g（x）在 上是增加的，在 上是减少的，在 上是增加的.综上，当0a2时，f(x)+g(x)在(-,-1)上是增加的;当2a6时，f(x)+g(x)在 上是增加的，在上是减少的;当a6时，f(x)+g(x)在 上是增加的，在 上是减少的，在 上是增加的.,当 即a6时，f(x)+g（x）在,【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法（1）方法一：确定函数y=f(x)的定义域；求导数y=f(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递减区间,【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法,（2）方法二:确定函数y=f(x)的定义域;求导数y=f(x)，令f(x)=0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根;把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性,（2）方法二:确定函数y=f(x)的定义域;,【变式备选】（1）函数y=xln x的递减区间是_【解析】令y0，解得又x0，y=xln x的递减区间是答案：,【变式备选】（1）函数y=xln x的递减区间是_,(2)已知函数 且f（-1）=0,试用含a的代数式表示b；求f(x)的单调区间.【解析】依题意，得f(x)=x2+2ax+b,由f(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1.由得故f(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1),令f(x)=0，则x=-1或x=1-2a,(2)已知函数 且f（-,(i)当a1时，1-2a-1,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：由此得，函数f(x)的递增区间为(-,1-2a)和(-1,+)，递减区间为(1-2a,-1).,(i)当a1时，1-2a-1,x(-,1-2a)(,(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f(x)0恒成立，且仅在x=-1处f(x)=0，故函数f(x)的递增区间为R.(iii)当a1时，1-2a-1，同理可得函数f(x)的递增区间为(-,-1)和(1-2a,+)，递减区间为(-1,1-2a).综上：当a1时，函数f(x)的递增区间为(-,1-2a)和(-1,+)，递减区间为(1-2a,-1)；当a=1时，函数f(x)的递增区间为R；当a1时，函数f(x)的递增区间为(-,-1)和(1-2a,+)，递减区间为(-1,1-2a).,(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f(x)0恒成,考向 2 已知函数的单调性求参数的范围【典例2】（1）若函数y=a(x3-x)的递减区间为 则a的取值范围是()（A）a0（B）-1a0（C）a1（D）0a1(2)（2013厦门模拟）若函数f(x)=x3-ax2+1在1,2上是减少的，求实数a的取值范围,考向 2 已知函数的单调性求参数的范围,【思路点拨】(1)由y0的解集为 确定a的取值范围.(2)先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解【规范解答】(1)选A.当 时，因为函数y=a(x3-x)在 上是减少的，所以y0，即a0，经检验a=0不合题意，a0,【思路点拨】(1)由y0的解集为 确,(2)f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).方法一：由f(x)在1,2上减少知f(x)0，即3x2-2ax0在1,2上恒成立,即 在1,2上恒成立故只需 故a3综上可知，a的取值范围是3,+).,(2)f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).,方法二：当a=0时，f(x)0,故y=f(x)在(-，+)上为增函数，与y=f(x)在1,2上减少不符，舍去当a0时，由f(x)0得 即f(x)的递减区间为 与f(x)在1,2上减少不符，舍去当a0时，由f(x)0得 即f(x)的减区间为 由f(x)在1,2上减少得 得a3综上可知，a的取值范围是3,+).,方法二：当a=0时，f(x)0,故y=f(x)在(-，,【拓展提升】已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上增加或减少，则区间(a,b)是相应区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数递增，则f(x)0；若函数递减，则f(x)0”来求解.【提醒】f(x)为增加的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)0应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解,【拓展提升】已知函数单调性，求参数范围的两个方法,【变式训练】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex，xR，e为自然对数的底数(1)当a2时，求函数f(x)的递增区间.(2)函数f(x)是否为R上的减函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,【变式训练】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex，,【解析】(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得函数f(x)的递增区间是,【解析】(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，,(2)f(x)不是R上的减函数.若函数f(x)在R上递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能是R上的减函数,(2)f(x)不是R上的减函数.,考向 3 利用导数研究函数的极值（最值）【典例3】(1)（2013芜湖模拟）已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3，3上的最大值与最小值分别为M,m，则M-m=_.（2）（2013宝鸡模拟）若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围是_.,考向 3 利用导数研究函数的极值（最值）,（3）（2012江苏高考改编）已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点求a和b的值.设函数g（x）的导函数g（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点,（3）（2012江苏高考改编）已知a，b是实数，1和-1是,【思路点拨】(1)先求f(x)的极值点，再与端点值比较大小，从而求出最值.(2)函数无极值，等价于f(x)=0无实根，或存在两相等实根.(3)求出f(x)的导数，根据1和-1是函数f(x)的两个极值点，代入列方程组求解即可；由得，f(x)=x3-3x，求出g(x)，令g(x)=0，求解讨论即可.,【思路点拨】(1)先求f(x)的极值点，再与端点值比较大小，,【规范解答】（1）因为f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)，所以令f(x)=0得x=-2或x=2.又f(-3)=(-3)3-12(-3)+8=17，f(-2)=(-2)3-12（-2）+8=24，f(2)=23-122+8=-8，f(3)=33-123+8=-1，所以M=24,m=-8.故M-m=32.答案：32(2)f(x)=3x2+6ax+3(a+2)，由f(x)没有极值点得=36a2-36(a+2)0，即-1a2.答案：-1,2,【规范解答】（1）因为f(x)=3x2-12=3(x+2),(3)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+2ax+b,又因为1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点，所以3x2+2ax+b=0的两个根分别为1和-1.由根与系数的关系得 a=0,1(-1)=b=-3,所以a=0,b=-3，此时f(x)=x3-3x.,(3)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+,由得，f(x)=x3-3x,g(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.当x-2时，g(x)0;当-2x1时，g(x)0，x=-2是g(x)的极值点.当-2x1或x1时，g(x)0,x=1不是g(x)的极值点.g(x)的极值点是-2.,由得，f(x)=x3-3x,【拓展提升】“最值”与“极值”的区别和联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一.,【拓展提升】“最值”与“极值”的区别和联系,(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.(4)极值只能在区间内部取得，而最值可以在区间的端点处取得.(5)有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.,(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数,【变式训练】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，是否存在实数a,b，使f(x)在-1，2上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由.【解析】显然a0，f(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x).令f(x)=0，得x=0或x=4（舍去）.（1）当a0时，如下表：,【变式训练】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，是否存在,当x=0时，f(x)取得最大值，f(0)=3，b=3.又f(-1)=-7a+3f(2)=-16a+3,最小值f(2)=-16a+3=-29,a=2.,当x=0时，f(x)取得最大值，f(0)=3，b=3.x,（2）当a0时，如下表：当x=0时，f(x)取得最小值，b=-29.又f(-1)=-7a-29f(2)=-16a-29,最大值f(2)=-16a-29=3,a=-2.综上，或,（2）当a0时，如下表：x(-1,0)0(0,2),【满分指导】导数在函数中的综合应用题的规范解答【典例】（12分）（2012江西高考）已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范围.（2）设g(x)=f(x)-f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值.,【满分指导】导数在函数中的综合应用题的规范解答,【思路点拨】（1）将f(x)用含a的代数式表示出来，根据已知条件转化为恒成立问题求解.（2）化简g(x)=f(x)-f(x)，通过对g(x)求导，然后分类讨论求最值.,【思路点拨】（1）将f(x)用含a的代数式表示出来，根据已知,【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex，f(x)=ax2+(a-1)x-aex,2分依题意对于任意x0,1,有f(x)0.当a0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图像开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1;3分,【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a,当a=1时,对于任意x0,1,有f(x)=(x2-1)ex0,且只在x=1时f(x)=0,f(x)符合条件;当a=0时,对于任意x0,1,f(x)=-xex0,且只在x=0时，f(x)=0，f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.5分,当a=1时,对于任意x0,1,有f(x)=(x2-1,(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.6分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0.7分,(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,()当0a1时,由g(x)=0得若 即 时,g(x)在0,1上是增加的,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.9分若 即 时,g(x)在 处取得最大值 在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,10分,()当0a1时,由g(x)=0得,由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得则当 时，g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当 时，g(0)-g(1)0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.12分,由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e,【失分警示】(下文见规范解答过程）,【失分警示】(下文见规范解答过程）,1.(2012陕西高考)设函数f(x)=xex，则()(A)x=1为f(x)的极大值点(B)x=1为f(x)的极小值点(C)x=-1为f(x)的极大值点(D)x=-1为f(x)的极小值点,1.(2012陕西高考)设函数f(x)=xex，则(,【解析】选D.f(x)=xex，f(x)=(xex)=ex+xex=ex(x+1)，令f(x)=0，则x=-1.当x-1时，f(x)0，所以x=-1为f(x)的极小值点.,【解析】选D.f(x)=xex，f(x)=(xex),2.(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y=(1-x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),2.(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数,【解析】选D.由图像可知,当x0,1-x0，所以f(x)0,当-20，所以f(x)0,1-x2时,y0.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).,【解析】选D.由图像可知,当x0,1-x0，,3.(2012新课标全国卷)已知函数f(x)=则y=f(x)的图像大致为(),3.(2012新课标全国卷)已知函数f(x)=,【解析】选B.令g(x)=ln(1+x)-x,所以g(x)=得g(x)0-10,得g(x)0或-1x0时均有f(x)0,排除A,C,D.,【解析】选B.令g(x)=ln(1+x)-x,所以g(x),4.（2013景德镇模拟）已知函数f(x)的定义域为-1,5，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示,下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0，2上是减少的;,4.（2013景德镇模拟）已知函数f(x)的定义域为-1,如果当x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4;当1a2时，函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题为_（填写序号）.,如果当x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最,【解析】由y=f(x)的图像知,y=f(x)在(-1,0)上是增加的,在(0,2)上是减少的,在(2,4)上是增加的,在(4,5)上是减少的,故正确;当x=0与x=4时,y=f(x)取极大值,当x=2时,y=f(x)取极小值,因为f(2)的值不确定,故不正确;对于,t的最大值为5.答案:,【解析】由y=f(x)的图像知,y=f(x)在(-1,0),5.(2012安徽高考)设函数(1)求f(x)在0,+)内的最小值.(2)设曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为求a,b的值.,5.(2012安徽高考)设函数,【解析】(1)设t=ex(t1)，则当a1时，y0y=at+b在1，+)上是增加的，得：当t=1(x=0)时，f(x)取最小值为当0a1时，y=at+b2+b，当且仅当at=1(t=ex=,x=-ln a)时，f(x)取最小值为b+2.,【解析】(1)设t=ex(t1)，则,(2)由题意得：,(2),1.函数f(x)的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是(),1.函数f(x)的,【解析】选D.f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图像经过四个象限，则f(2)f(1)0，即 解得,【解析】选D.f(x)ax2ax2aa(x2)(,2.已知 在R上不是增函数，则b的取值范围是_【解析】假设 在R上是增函数，则y0恒成立即x22bxb20恒成立，所以4b24(b2)0成立，解得1b2，故所求为b2.答案：b2,2.已知 在R上不是,导数与函数的单调性、极值、最值课件,导数与函数的单调性、极值、最值课件,