大学高等数学课件第三章3定积分的概念微积分基本公式.ppt

定积分的概念微积分基本公式,定积分的概念,引例1曲边梯形的面积（演示）,其中,设物体的运动速度,引例2变速直线运动的路程,细分,取近似值,作和,取极限,（1）,(2)取近似值,（3）作和,（4）取极限,曲边梯形面积A：,变速运动的路程 S：,记为,记为,定积分的概念（演示）,1.若函数 在 上连续，,2.若函数 在 上有界，且只有有限个间断点，,定积分存在的充分条件,则 在 上可积。,则 在 上可积。,有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。,表示曲线与 x 轴围成的图形面积的代数和。,表示曲线与 x 轴围成的图形面积。,定积分的几何意义（演示）,定积分几何意义的应用,定积分几何意义的应用,解 因为 在 上连续，所以 存在,例 用定义求定积分,补充规定：,定积分的基本性质,无论 a,b,c 的相对位置如何，（3）式均成立。,可推广至有限个函数的代数和的情形。,定积分的基本性质,其中 是 的最小值，是 的最大值。,设 在 上连续，则在 上至少有一点,使,（定积分之中值定理）,定积分的基本性质,若 是奇函数，则,若 是偶函数，则,性质8 在对称区间奇偶函数的积分性质,由 的任意性，得,积分上限函数及其导数,若 在 上连续，定积分是积分上限 的函数，称为函数 在区间 上的积分上限函数，记作，即,定理 如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则积分上限函数 是f(x)在a,b上的一个原函数。,证明,例1 求下列函数的导数,解,解,练习,解,（1）,（2）,例1 求下列函数的导数,解,解,练习,（3）,例1 求下列函数的导数,练习,解,解,（4）,例1 求下列函数的导数,练习,解,解,（5）,特别地,一般地,如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段T1,T2内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1),如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知,微积分基本公式,启示,而,？,设 在区间 上连续，是它的任意一个原函数，,微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式,证明思路,例2 求下列定积分,解 因为 在 上连续，是它的一个原函数,所以,解 原式,或,解 原式,解 原式,几何意义,解 原式,几何意义,解 原式,解 原式,合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。,解,分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数,函数在x=1处间断,？,解 原式,积分变量变，积分区间变,exit,引例曲边梯形的面积,exit,定积分的定义,exit,定积分的几何意义,exit,估值定理,exit,积分中值定理,牛顿-莱布尼兹公式,返回,若 是奇函数，则,若 是偶函数，则,定积分的几何意义,是偶函数，是奇函数。,偶函数,奇函数,再见！,