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金融投资与风险问题 摘要 ：参数模型中统计假设检验模型在各个领域应用广泛，用原始数据描述出分布类型得到日收益额服从正态分布，然后估算出均值和方差，得到密度函数。非参数模型用于金融市场的预测也相当广泛，本文用核密度估计方法估计出日收益额的密度分布。在根据正态分布的可加性将多个周期内的收益额进行合成，应用统计学知识解出问题的答案。针对一周期情形，我们建立参数和非参数两种模型，参数模型解得结果下一个周期内损失数额超过10万元的可能性为0.0314，以95%的置信度保证损失的数额不超过8.72万元。而非参数模型解得结果分别为0.0314、7.3218，通过比较二者相差不大，比较吻合。同时解得：欲使一周期内损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多不会超过1153.27万元。对于两周期情形，通过正态分布的合成，将其收益额拟和为另一组按正态分布的数据，进而求得解。解得两周期内损失数额超过10万元的可能性为0.0367。参照苗点法解得数据为0.0342，两个数据也比较接近。另外解得以95%的置信度保证损失的数额不会超过7.94万元。根据两周期内初始额最多应该为多少问题，我们引入收益率，找出收益额、收益率与初始投资额的关系，根据正态分布性质，求得：若要求两周期内损失超过10万元的可能性不大于5%，初始投资额最多为1269.4866万元。对于多个周期的问题，只是在一二题基础上的延伸，具体解答过程详见正文部分。关键词：正态分布可加性；非参数；置信度；金融投资；收益额一、问题重述某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题： 1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。下面是该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据,假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元：收益额33323130292827262524232221201918天数1111121214026347收益额171615141312111098765432天数58571014819911111410668收益额10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天数9593741625532210收益额-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天数1000000100100000要求：1）参考以上数据，建立模型来解决前述的两个问题；2）讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。3）陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为M, 限定损失额为L,置信度为,T个周期）及其解决方案。二、模型的假设与说明1、假设影响每天收益额的外界因素基本稳定；2、题中所抽取的255个交易日中的收益额为随机取样，具有一定的代表性，基本的反映该公司全年收益情况。同时也把它作为反映一个周期内的收益情况的依据。3、假设各周期间的收益额没有必然的联系，即相互独立。三、问题的分析1、通过这所给数据比较，推理总体X的分布，在根据抽取的样本观察，证明假设。然后根据总体X的分布率进行参数检验。进而求得问题的解。2、用非参数方法进行密度估计，得到密度函数的分布图，与模型一进行比较，确定收益额服从正态分布。然后用密度估计函数对问题进行求解。3、对于两个周期的情形，可以采用正态合成的方法，即如果，且X，Y相互独立，那么四、模型的建立与求解问题一：模型一1、总体分布的检验：我们将这255个交易日收益额单独列出成一组数据（用x表示），通过matlab绘制频数直方图，如下图： 图1 图2从图1可以初步看出，该数据服从正态分布。做分布的正态性检验，如图2可以看出，数据基本上分布在一条直线上，故初步可以断定该组数据为正态分布。2、参数估计：在确定所给数据的基本分布后，就可以估计该数据的参数.通过调用muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)语句，计算出：muhat = 7.4863 sigmahat =9.8520 muci =6.2713，8.7013即该数据均值为7.4863，方差为97.0618，0.95的置信区间为6.2713，8.7013。所以3、（1）、用表示概率，x表示收益额，则损失的数额超10万元的可能性可以用表示，查表得：=0.0384，所以估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性为0.0384。=0.95时， 用MATLAB统计箱中的norminv(0.05,7.486275,sqrt(97.0618)命令，得，所以95%的置信度保证损失的数额不会超过8.72万元。 （2）、令初始投资额为，收益率为，收益额为，则，由上知，x服从正态分布，故其收益率也服从正态分布，则对于初始投资额为的情况，其分布列的均值为，方差为所以则，通过查表解得万元。即一个周期内初始投资额最多为1153.27万元。模型二：非参数模型近几年来，随着非参数估计技术的发展，核估计 (Kernel estimation)技术用于密度函数的估计越来越广泛。Parzen的核估计是常用的非参数密度估计方法。令为收益额,假设同分布，其密度函数为未知。设为R上的一个给定的概率密度函数，>0是常数，定义称为总体未知密度函数的核估计，称为核函数(kernel function) ,为窗宽。当选定带宽系数，不同核函数的作用是等价的1。本题选高,通过MATLAB绘制如图3，得到函数的核密度估计图与正态分布类似。得到密度函数为 其中=255 =5则在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性即为：图3取=0.1时F(-10)= =0.0373=3.73%假设以95%的置信度保证损失的数额不超过，则=-1.645 >-7.3218所以95%的置信度保证损失的数额为7.3218万元.问题二：1、由上述知，对于255个交易额数据近似正态分布，假设在以后的两个周期内，市场保持稳定即仍然保持正态分布且均值、方差相等，令X为第二周期的收益额，Y为第三周期的收益额，仍用表示概率，则两个周期内损失数额超过10万元的概率可表示为 ，在实际中我们可以认为两个周期之间的收益额没有必然的联系（相互独立），则根据正态分布函数的可加性Z=X+Y的也服从正态分布（Z表示两个周期内的收益额）则Z=，计算=通过查表得=0.0367。即两个周期内损失超过10万元的可能性为0.0367。由于，=0.95， ，用MATLAB统计箱中的norminv(0.05,14.9726,sqrt(194.1236)命令得到z= -7.94万元。即两个周期内能以95%的置信度保证损失的数额不会超过7.94万元。2、已知：，仍令初始投资额为，收益率为，收益额为，则，由上知，x服从正态分布，故其收益率也服从正态分布，则对于初始投资额为的情况，其分布列的均值为，方差为。所以两周期内损失超过10万元的可能性不大于5%可以表示为如下公式:通过查表得S=1269.4866万元即初始投资额最多为1269.4866万元。问题三：由已知数据X，我们得知其满足正态分布，令，其中已知同问题二一样，根据实际情况，我们得知在以后的T个周期内，各收益额之间没有必然的联系，令这T个周期内的收益额相互独立，在由正态分布函数具有可加性性质，即可建立模型求解。已知：初始投资额为M，限定损失额为L，对于历史数据，根据“收益额=初始投资额收益率，即，所以对于历史收益额X来说 ，其满足均值为 方差为的正态分布。令Z表示在T个周期内的收益额，根据相互独立的正态分布可加性质，。收益额可以看作是的正态分布，令T个周期的数据用Z表示，则Z=TX：1、T个周期内损失超过L万元的可能性为，即，根据正态分布性质得知，L，已知，查表即可求得2、已知置信度为， 可以通过查表得知。求L？根据分位数定义取取临界值则，所以L=。即能以的置信度保证损失数额不会超过。3、损失超过L万元的可能性不大于可用，取临界值，因为，所以，又，通过查表可以得出的值L、T已知，随即就可以求出M的值。五、模型的改进1、对于所给数据属于正态分布的证明，我们还可以通过皮尔逊拟合检验法来验证。（证明略）2、在认为255个数据足够大的情况下可以认为频率约等于概率。对于第一题求收益额损失数额超过10万元的可能性问题，可以直接这样计算：收益额损失超过11的共计有9天，其频率为：，与0.0384相当，预计的比较好。 七、模型评价本文通过对数据的观察，认为其数据符合正态分布。并通过matlab作图验证了这一过程，这也是本篇文章的基本立足点。这种观察，假想、证明，应用的过程也是多数学者学习研究的必备方法。通过这种方法，我们总共建立了正态分布、非参数、正态分布的可加性、皮尔逊拟合检验法等几个主要数学模型。在解具体问题的时候还注意到针对同一问题用多种方法来解，并将这些数据放在一起相互比较，使得计算出的数据更具有科学性。通过对于问题二中两个周期内的情形，根据正态分布率的合成性，将两个周期内的收益额合成一个新的分布。这样就使这一复杂问题变得简单化了，很容易得到问题的答案，第三问其实就是第二问的延伸，有了第二问的基础，解答起来就容易多了。八、参考文献1王文圣，马吉让，向红莲，丁晶.一种径流随机模拟的非参数模型J.水利水电技术, 2002,2(33):8-10.2 刘国祥.概率论与数理统计M.甘肃教育出版社.3 赵静. 数学建模与数学试验M.高等教育出版社.174-189, 2000.11附：非参数核估计程序：x=333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25;n=255;h=0.5;f=zeros(n,1);for i=1:n;f(i)=mean(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x-x(i)/h).2)/h;endy=sortrows(x f);m=y(:,2);b=1/sqrt(4*pi);plot(y(:,1),m);9