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1,高斯公式,物理意义-通量与散度,小结 思考题 作业,flux,divergence,第六节 高斯(Gauss)公式 通量与散度,高斯 Gauss,K.F.(17771855)德国数学家、物理学家、天文学家,2,格林公式把平面上的闭曲线积分与,本节的高斯公式表达了空间闭曲面,上的曲面积分与曲面所围空间区域上的,它有明确的物理背景,三重积分的关系.,所围区域的二重积分联系起来.,通量与散度.,3,一、高 斯 公 式,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,高斯公式,外侧,4,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.,5,证,设空间区域,母线平行于z轴的柱面.,即边界面,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),6,由三重积分的计算法,投影法(先一后二法),7,由曲面积分的计算法,取下侧,取上侧,取外侧,一投,二代,三定号,8,于是,9,同理,合并以上三式得,高斯公式,10,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,11,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,12,解,例,外侧.,13,使用Guass公式时易出的差错:,(1)搞不清,是对什么变量求偏导;,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;,(3)忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,14,有时可作,辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,15,例,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面 不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成封闭曲面,使用高斯公式.,封闭曲面,16,先二后一法,17,故所求积分为,18,练习,利用高斯公式计算三重积分,提示,则,取,考虑到,选取相当自由，,19,由高斯公式,极坐标,20,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.,?,如直接计算,分析,用高斯公式.,例,是锥面,所围立体的表面,计算设f(u)是有连续的导数,计算,和球面,及,外侧.,21,解,由于,故由高斯公式,=,22,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角,绕y轴旋转,23,取右侧.,有,高斯公式,24,取右侧,故,25,1.通量,为向量场,设有一向量场,则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积分:,通量.,flux,divergence,穿过曲面这一侧的,二、物理意义 通量与散度,上式即为通量的计算公式,26,2.散度,设有向量场,为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成P点时,极限,记为,散度.,存在,则该极限值就称为向量场,在P点处的,即,27,散度的计算公式,设,均可导,点处的散度为,高斯公式,散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。,28,例,向量场,解,29,练习,设函数,解,先求梯度,30,再求,的散度.,设函数,31,高斯Gauss公式,物理意义-通量与散度,三、小结,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,(注意使用的条件),32,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,解答,曲面应是分片光滑的闭曲面.,33,作 业,习题11-6(236页),1.(1)(3)(5),