高等代数（北大第三版）第一章多项式ppt课件.ppt

4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,10 多元多项式,11 对称多项式,3 整除的概念,2 一元多项式,1 数域,7 多项式函数,9 有理系数多项式,8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、一 元多项式根与系数的关系,二、n元对称多项式,1.11 对称多项式,三、一元多项式的判别式,韦达定理,设,若 在 上有 个根，则,把展开，与比较，即得根与系数的关系：,一、一 元多项式根与系数的关系,（所有可能的 i 个不同的 的积之和）,，,特别地，为其根，,则有,二、n 元对称多项式,定义,设，,若对任意，有,则称该多项式为对称多项式,如，,下列n个多项式,称为 个未定元 的初等对称多项式,1对称多项式的和、积仍是对称多项式；,对称多项式的多项式仍为对称多项式,则,是 元对称多项式,特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式,若 为对称多项式，,为任一多项式，,性质,即，,2对称多项式基本定理,对任一对称多项式,都有 n元多项式,使得,为初等对称多项式,则必有,作对称多项式,首项为,证明：,再作对称多项式,则 的首项为,则 有比 较“小”的首项,对 重复上述作法，并依此下去.,即有一系列对称多项式,它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步,故存在，使,于是,这就是一个初等对称多项式的多项式,上述证明过程实际上是逐步消去首项.,逐步消去首项法的一般步骤：,则一定有,第一步：找出对称多项式 f 的首项,第二步：由 f 的首项写出:,说明,确定它对应的指数组,第三步：作，并展开化简,如此反复进行，直到出现，则,再对 按一、二、三步骤进行，构造,例1.把多项式 f 表成初等对称多项式的多项式,令,的首项是,解:,作对称多项式,它所对应的指数组是,令,作对称多项式,所以，,令,于是,对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法,(设 f 是m次齐次对称多项式),第一步：根据对称多项式 f 首项对应的指数组写出,所有可能的指数组，,且这些指数组满足：,前面的指数组先于后面的指数组,附：,待定系数法的一般步骤：,的初等对称多项式的方幂的乘积：,第二步：对每个指数组，写出它对应,第三步：设出 f 由所有初等对称多项式的方幂乘积,的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数，,其余各项系数分别用A、B、C、代替,第四步：分组选取适当的 的值，计,算出 及 f，,性表达式中，得到关于A、B、C、的线性方程组，,解这个线性方程组求得A、B、C、的值,最后写出所求的 f 的表达式,将之代入第三步中设出的线,对称多项式的多项式,所有不先于 的三次指数组及相应的初等对称,解:,它所对应的数组是,f 的首项是,多项式方幂的乘积如下表:,及 f 的值如下表:,适当选取 的值，计算出,代入（1）式得,解之得，,所以,三、一 元多项式的判别式,有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，,对称多项式,D可表成,由根与系数的关系知，,的多项式,的根，则多项（2）有重根的充要条件是,解：,求 的判别式,练习,