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第十章 双线性函数,10.1 线性函数,10.2 对偶空间,10.3 双线性函数,10.4 对称双线性函数,10.1 线性函数,一、线性函数的定义,二、线性函数的简单性质,10.1 线性函数,10.1 线性函数,设V是数域 P上的线性空间，映射，若满足：,则称 为V上的一个线性函数.,一、线性函数的定义,定义,10.1 线性函数,二、线性函数的基本性质,2.若，则,3.设 为一个线性函数，为,的一组基，,则,10.1 线性函数,即 可由 的基的角确定.,反之，设 是P中任意 个确定的数，,而 为发V的一组基.,则 为线性函数，且,令,10.1 线性函数,是 到 P的一个线性函数.,例2.设，则,是到 的一个线性函数.,例1.设,则,10.1 线性函数,例3.设 是数域 上的线性空间，为 的,一组基，是 上的一个线性函数，已知,求,解：,所以,10.1 线性函数,例4.是数域 上的3维线性空间，是 上的,一个线性函数，已知,求,解：,则,10.1 线性函数,定理1设V为数域 P上的一个n 维线性空间，,为V的一组基，,为 P中,任意n 个数.则存在唯一的V上线性函数 f 使,10.1 线性函数,证明：映射，,即为 上的线性函数，且,若还有 是 上线性函数使,则 有,