平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路ppt课件.ppt
中学几何研究第五章,2023/1/4,1,2023/1/4,2,第五章 平面几何问题的证明,第一节 证题的一般思路,证题的一般思路:试误式思路与顿误式思路,试误式思路:认真审题，分清条件和结论，挖掘所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍，缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的证明。,2023/1/4,3,直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。又有“综合法”和“分析法”之分.,间接式:有些命题，往往不易甚至不能直接证明。这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典型的间接式思路证题方法。,反证法又分归谬法和穷举法;同一法。,试误式思路又常分为直接式和间接式。,2023/1/4,4,就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷而优美的证题思路。,见P75例1.,顿误式思路,2023/1/4,5,1,面积与面积法证题,张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣味。,在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。,第二节 面积法与面积坐标,常用公式见P84-85页.,证明P85例1和例2.,2023/1/4,6,3.面积坐标,如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为负）就可以引入面积坐标了。,在平面上任意取一个定向三角形A1A2A3，称为“坐标三角形”。A1，A2,A3称为基点。,2.消点思想与消点法证题(见第十章),对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：,S1=SMA2A3,S2=SMA3A1,S3=SMA1A2.,2023/1/4,7,S1,S2,S3称为点M的三个”坐标分量”，且满足 S1+S2+S3=SA1A2A3。,如果给出三者之比S1:S2:S3=1:2:3，且 1=Si/(S1+S2+S3)(i=1,2,3)，则称(1:2:3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。,通常（1:2:3)）称为M的重心坐标。当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。,把三元数组（S1,S2,S3）称为（以A1A2A3为坐标三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3),2023/1/4,8,从而可以用（S1,S2）来表示点M，,或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3,A3A1,A3A2）之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。,如果A3A1=A3A2=1，且A1A3A2=90o，则这个仿射坐标系（A3,A3A1,A3A2）叫做笛卡儿坐标系，也就是指常用的直角坐标系。,由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就可以确定M,2023/1/4,9,1,向量法与向量法证题,把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。,向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起。,第三节 向量法与复数法,2023/1/4,10,见P90,用向量法证明第一节中的例1是很简捷的.,2023/1/4,11,请讲解P94例4,2,复数法与复数法证题,2023/1/4,12,1,关于线段,角的相等(常见方法10种,P96),2,关于平行与垂直(常见方法7+7种,P97-98),3,关于点共线与线共点(常见方法7+60种,P99),第四节 几类问题的证明方法,4,关于点共圆与圆共点(常见方法7+3种,P100),2023/1/4,13,1,几何轨迹,具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。,轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形（形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知其性而不知其形。,第五节 几何轨迹与尺规作图,研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一。,2023/1/4,14,1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。,2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。,3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息,轨迹问题的三种类型：,2023/1/4,15,第二类轨迹题，结论中只给出了轨迹图形的形状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。,整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明完备性与纯粹性，讨论等步骤。,第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯粹性，作出结论。,2023/1/4,16,求解步骤与第二类轨迹题相同。,题，,轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。,第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的之后，往往证明方法就附带解决了。,2023/1/4,17,传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。,1.立方倍积问题:求作一立方体,使它的体积两倍于 一已知立方体的体积.2.三等分角问题:求作一任意角的三等分角.3.化圆为方问题:求作一正方形,使它的面积等于一 已知圆的面积.,几何作图三大难题,2,尺规作图,尺规作图公法,根据尺规的功能,规定如下作图公法:1.过两已知点可作一条直线.2.已知圆心和半径可作一个圆.3.已知两直线相交,可求其交点.4.已知一直线与一圆周相交,可求其交点.5.已知两圆周相交,可求其交点.,2023/1/4,18,2023/1/4,19,1.二等分已知线段.,尺规作图的范围,2.二等分已知角.,3.已知直线l和l外一点p,过p作直线垂直于l.,4.任意给定自然数n,作已知线段的n倍,以,及n等分已知线段.,从中学几何知,利用直尺和圆规可以:,2023/1/4,20,作图成法，课本P104页给出了22种。,作图题的分类：定位作图，活位作图。,解作图题的一般步骤：,1，写出已知与求作，,2，进行分析，,3，写出作法，,4，证明，并进行讨论。,2023/1/4,21,常用的作图方法：,交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法 等。,变换法又分变位法，位似法，反演法等。,交轨法：利用轨迹的交点来解作图题的方法。,三角形奠基法：用某个三角形为基础的作图 方法。,代数法：借助于代数运算来解作图题图的方 法。,2023/1/4,22,变位法：把图形中某些元素施行适当的合同变 换，然后借助于各元素的新旧位置关 系发现作图的方法。,位似法：利用位似变换性质解作图题的方法。,反演法：对于与圆有关部门的作图题，可以利 用反演变换的性质来解作图题的方法。,2023/1/4,23,问题在于除了有理点，尺规作图能否作出,无理数所对应的点?,2023/1/4,24,已知线段a 作线段。,OA=a,AB=1.以OB为直径,作圆,过A作OB的垂线交圆周,于C,RtOAC与OBC有公,共角 COB,由此可得,OCA=ABC,从而OAC CBA,设AC=x,有 a/x=x/1,x2=a,x=,O a A 1 B,C,2023/1/4,25,已知线段a,可以作出线段,说明有些无理,点是可以作出的。,但是诸如 就无法用尺规作图，这是因为无,法作出超越数。,有理数域Q中的数可以用尺规作图，提示我,们，能否从Q出发，将Q一步一步扩张,并保证,扩张后得到的新数域中的数可以用尺规作图?,2023/1/4,26,几何作图的关键:确定某些点的位置.这些点,尺规作图可能性准则,是“直线与直线,直线与圆,圆与圆的交点”.,直线与圆的方程都不超过二次,求直线与圆,或圆与圆的交点的坐标,只需要有限次的四则,运算和开平方运算.,一.尺规作图可能性准则的确定,一个几何量能否用尺规作出,等价于它能否由 已知量经过加,减,乘,除及开平方运算求得.,鉴别尺规作图可能性的准则:一线段的量数,当且仅当能由已知线段的量数,经过有限次的加,减,乘,除及开平方运算得出时,可用尺规作出.,2023/1/4,27,2023/1/4,28,二.尺规作图问题的代数化,尺规作图准则仅仅依靠欧氏几何本身是无能,为力的，需要借助代数方法才能完成。解析几,何的问世，使得几何问题转化为代数问题成为,可能。,坐标平面上直线和圆可以分别用一次方程和,二次方程来表示。,2023/1/4,29,因此，判断一个作图题能否由尺规作图来完,成，可以设法转化为代数问题处理。也就是说，,所求点的坐标如果能够用已知点的坐标通过加、,减、乘、除和非负实数开平方求出来，那么，,这个作图题就可以用尺规作图来完成。,2023/1/4,30,本章结束,
