《微积分》PPT课件.ppt

9.2 二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结,一、利用直角坐标计算二重积分,1、积分区域的类型,设积分区域 D 可以用不等式,来表示,其中函数 1(x)、,则称 D 为 X 型区域,2(x)在区间 a,b 上连续.,则称 D 为 Y 型区域,类似地,设积分区域 D 可以用不等式,来表示,其中函数 1(y)、,2(y)在区间 c,d 上连续.,X 型区域的特点:,穿过区域 D 内部且平行于 y,轴的直线与区域 D 的边界相交不多于两点.,Y 型区域的特点:,穿过区域 D 内部且平行于 x,轴的直线与区域 D 的边界相交不多于两点.,下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法,来求此二重积分.,2、二重积分化为二次积分的公式,设函数 f(x,y)0,则由二重积分的几何意义知,的值等于以 D 为底,以曲面 z=f(x,y),为顶的曲顶柱体的体积.,以积分区域 D 为 X 型区域为例.,在 a,b 上任意取定一点 x0,作平行于 yOz 面的平,面 x=x0,则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区,间 1(x0),2(x0)为底、曲线 z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.,该截面的面积为,一般地,过区间 a,b 上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为,由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,得曲顶柱体的体积为,就是说,先把 x 看作常数,把 f(x,y)只看作 y 的函数,并对 y 计算从 1(x)到 2(x)的定积分;,这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式,上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分.,然后把所得的结,果(是 x 的函数)再对 x 计算在区间 a,b 上的定积分.,这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作,这就是把二重积分化为先对 y、后对 x 的二次积分的公式.,类似地,若积分区域 D 为 Y 型区域,则有,上式右端的积分称为先对 x、后对 y 的二次积分,这个积分也常记作,这就是把二重积分化为先对 x、后对 y 的二次积分的公式.,说明:,使用公式(1)必须是 X 型域,使用公式(2)必须是 Y 型域.,若积分区域既是 X 型区域又是 Y 型区域,则有,若积分区域既不是 X 型区域又不是 Y 型区域,则必须将其分割成若干个 X 型区域或若干个 Y 型区域.,如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,可得,3、交换二次积分次序的步骤,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.,对于给定的二次积分,可先,根据其积分限,画出积分区,域 D;,根据积分区域 D 的形状,按新的积分次序确定积分限,写出结果,解,例 1 改变积分 的次序.,由所给二次积分知,原二重,积分的积分区域 D为 X型区域,即,若改变该二次积分的次序,则积分,区域 D 变为 Y 型区域,即,解,例 2 改变积分的次序.,由所给二次积分知,原二重,积分的积分区域 D 可看作两个 X 型区域之和(如图),即,若改变该二次积分的次序,则 D 变为 Y 型区域,即,例 3 改变积分的次序.,解,原二重积分的积分区域为,若将积分区域 D 分成 D1,D2 及 D3 三部分,则有,解,例 4 求,其中 D 是由抛物线 y=x 2,和 x=y 2 所围成的平面闭区域.,积分区域 D 如右图所示.,由方程组,可求得两曲线的交点为(0,0),(1,1),解,例 5 计算二重积分,其中 D 是以,(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形闭区域.,积分区域 D 如右图所示.,无法用初等函数表示,积分时必须考虑次序,解,例 6 计算二重积分,积分区域 D 如右图所示.,无法用初等函数表示,先改变积分次序,说明:,计算二重积分时,选择积分次序是比较重要的一步,积分次序选择不当,可能会使计算繁琐,甚至无 法计算.一般地,既要考虑积分区域 D 的形状,又要考虑被积函数 f(x,y)的特性.,应遵循“能积分,少分快,计算简”的原则.,例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围成的立体的体积 V.,解,设两个直圆柱方程为,由立体关于坐标平面的对称性可知,所求体积为第一卦限部分体积的 8 倍.,所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体,它的顶为柱面,它的底为,所求体积为,解,例 8 求由下列曲面所围成的立体的体积:,曲面围成的立体如图.,由所给曲面消去 z,得,所围立体在面上的投影是,所求体积为,4、利用对称性化简二重积分的计算,利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的.不过二重积分的情况比较复杂,因此,在运用对称性时,要兼顾被积函数和积分区域两个方面,不可误用.,归纳起来主要有下面几种情形.,设 D 关于 y 轴对称,对任意点(x,y)D,(i)若 f(-x,y)=-f(x,y),即 f(x,y)是关于 x 的奇函数,则,(ii)若 f(-x,y)=f(x,y),即 f(x,y)是关于 x 的偶函数,则,其中 D1 是 D 中 x 0 的部分.,设 D 关于 x 轴对称,对任意点(x,y)D,(i)若 f(x,-y)=-f(x,y),即 f(x,y)是关于 y 的奇函数,则,(ii)若 f(x,-y)=f(x,y),即 f(x,y)是关于 y 的偶函数,则,其中 D2 是 D 中 y 0 的部分.,设 D 关于原点对称,对任意点(x,y)D,(i)若 f(-x,-y)=-f(x,y),则,(ii)若 f(-x,-y)=f(x,y),则,其中 D3 是 D 中 x 0,y 0 的部分.,若 D 关于直线 y=x 对称,则,这是二重积分所独有的性质.,上式称为二重积分关于积分变量的轮换对称性.,、简单地说就是,奇函数关于对称域的二重积分等于 0,偶函数关于对称域的二重积分等于对称的部分区域上二重积分的两倍,完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.,简述为“你对称,我奇偶”.,例 9 计算二重积分,其中积分区域 D 由曲线 y=x 2 与 y=1 所围成.,解,令,D 关于 y 轴对称,且,所求二重积分等于在区域 D1上二重积分的 4 倍,例 10 计算二重积分,其中积分区域 D:|x|+|y|1.,解,f(x,y)=x2 y2 关于或均为偶函数,D 关于 x 轴和 y 轴对称,即,二、利用极坐标计算二重积分,则除包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积 为,1、极坐标系下二重积分的表达式,在极坐标系下,用同心圆=常数及射线=常数,将区域 D 划分为,在 内取点,则有,这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,即,或,其中,就是极坐标系中的面积元素.,2、极坐标系下二重积分化为二次积分的公式,(1)若极点 O 在积分区域 D 外,且 D 由射线=,=和连续曲线=1(),=2()所围成,则,在极坐标系下,二重积分可化为,特别地,若积分区域为,则在极坐标系下,二重积分可化为,在极坐标系下,二重积分可化为,(2)若极点 O 在积分区域 D 的边界上,且 D 由射线,=,=和连续曲线=()所围成,则,(3)若极点 O 在积分区域 D 内,且 D 的边界曲线,为连续封闭曲线=(),则,在极坐标系下,二重积分可化为,极坐标系下闭区域 D 的面积,若闭区域,则,特别地,若闭区域,则,解,例 11 写出二重积分 的极坐标二次积分形式,其中积分区域,在极坐标系下,圆的方程为,直线的方程为,解,例 12 计算,其中 D 是由中心在原点,半径为 a 的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,解,例 13 求反常积分,设,则有,即,及直线 所围成的平面闭区域.,解,例 14 计算 其中 D 是由圆,积分区域 D 如右图所示.,在极坐标系下,解,例 15 计算二重积分,其中,积分区域为,积分区域 D 如右图所示.,由对称性可知,例 16 求曲线 和 所围成的图形的面积.,解,积分区域 D 如右图所示.,由对称性可知,在极坐标系下,由,得两曲线的交点为,所求面积为,例 17 求球体 被圆柱面=2ax(a 0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.,解,所截立体如右图所示.,由对称性知,所求体积为第一卦限的 4 倍,其中,说明:,选取适当的坐标系,对计算二重积分是很重要的.,等类型的函数时,一般说来,当积分区域 D 是圆或圆的一部分、扇形、环形,而被积函数是,利用极坐标系来计算较为简单.,三、小结,1、二重积分在直角坐标下的计算公式,X型,Y型,(在积分中要正确选择积分次序),2、二重积分在极坐标下的计算公式,(在积分中注意使用对称性),思考题一,设 f(x)在 0,1 上连续,并设,求,思考题一解答,解,不能直接积出,必须改变积分次序.,积分区域 D 如右图所示.,思考题二,交换积分次序:,思考题二解答,若先对 积分,则当 r 从 0,变到 a 时,对于每一个固定的 r,从,变到,于是,积分区域 D 为,