《基本不等式》ppt课件.ppt

3.4 基本不等式：,学科网,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客,3,中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。,赵爽：弦图,1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？,探究点1 探究基本不等式,则正方形ABCD的面积是_，这4个直角三角形的面积之和是_，,设AE=a,BE=b,a2+b2,2ab,Z.x.x.K,有可能相等吗？又什么时候取等于号呢？,6,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立.,2.你能给出它的证明吗？,可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.,叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.,基本不等式,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=,半径为.,CD小于或等于圆的半径,上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.,几何意义：半径不小于半弦,o,3、几何解释,a,b,10,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,11,构造条件,二、应用,例1、若,求 的最小值.,变3:若,求 的最小值.,变1:若 求 的最小值,变2:若,求 的最小值.,发现运算结构，应用不等式,问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？,12,三、应用,例2、已知,求函数 的最大值.,变式:已知,求函数 的最大值.,发现运算结构，应用不等式,13,均值定理：,已知x,y都是正数，（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值,条件说明：,1、函数式中各项必须都是正数.,2、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）.,3、等号成立条件必须存在.,“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.,14,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,（a0，b0）,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.,例1(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.,例1(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2(x+y)=36,x+y=18，,矩形菜园的面积为xy m2.,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.,因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.,19,练习,课堂巩固,4.已知x0,y0,且2x+y=1,求 的最小值？,22,2、(04重庆）已知则x y 的最大值是。,高考方向标：1、当x0时，的最小值为，此时x=。,2,1,3、若实数，且，则 的最小值是（）A、10 B、C、D、,4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、,D,C,23,【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？,分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。,24,解：,设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得,所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元,25,练习：,做一个体积为32,，高为2m的长方体纸盒，底面的长,与宽取什么值时用纸最少？,x,y,2,