第2章金融波动模型分析与应用.docx

第二章 金融波动模型分析与应用在金融计量经济学和金融时间序列研究中，对金融资产的波动进行研究与建摸是非常重要的一个领域。特别是近二十多年以来，以ARCH模型族和随机波动模型族为代表的金融波动模型发展迅速，已成为金融计量经济学和金融时间序列研究的重要分支和前沿领域之一。这是因为：（1）对变量条件均值的有效统计推断需要对条件方差的变化进行精确研究；（2）在实践中，金融资产的波动往往表现出非常复杂、丰富的统计特征，如波动的聚集现象、尖峰厚尾、条件方差时变性、长期记忆性、非对称性和状态转换等特征，这对金融资产的定价与风险管理具有十分重要的意义。2003年，纽约大学的Robert Engle教授正是凭借在金融波动模型领域做出的开创性贡献（ARCH模型）而获得了诺贝尔经济学奖。在本博士论文中，我们尝试将金融波动模型与Copula函数有效的结合在一起以更准确地描述多维金融资产之间的相依关系和波动特征。因此在本章中我们将对主要的金融波动模型进行研究与比较，这将为我们在以后几章中联合金融波动模型与Copula函数建模奠定基础。根据金融波动模型的设定与特点，我们可以对金融波动模型进行如下分类：按照对波动运动过程假定的不同，我们可以将金融波动模型分为ARCH族模型和随机波动族模型，两者的主要区别在于前者假设波动服从一个确定性的变化过程，而随机波动模型假设金融资产的波动服从某个不可观测的随机过程。按照模型描述金融资产维数的不同，可以将金融波动模型分为一元金融波动模型（含一元ARCH族模型和一元随机波动族模型）和多元金融波动模型（含多元ARCH族模型和多元随机波动族模型）。按照金融资产的波动是否具有状态相依的特征，可以将金融波动模型分为不包含状态转换的金融波动模型和包含状态转移的金融波动模型（包含马尔可夫转换GARCH模型 (MSGARCH)族和马尔可夫转换随机波动族模型（MSSV）族）。在本章中我们将结合中国金融市场的实际数据，分析与比较各金融波动模型的特点与绩效。2.1 金融波动的统计特征分析近年来，随着金融资产之间联系的不断加深和金融衍生产品的不断创新，金融资产的波动日益加剧，波动特征也日趋复杂化与多样化。而在现代金融理论中，波动始终是重要研究内容。这是因为现代金融理论的核心便是不确定性，而波动则是衡量这种不确定性的重要指标。目前现代金融理论比较核心的理论主要包括：有效市场理论、投资组合理论、资本资产定价模型、期权定价理论、套利理论、行为金融理论和资产结构理论等。而除了有效市场理论和资产结构理论与波动值关系不大外，其余理论均同波动有不可分割的联系。例如，在Markowitz的投资组合理论中，最优投资组合的确定依赖于金融资产的方差和协方差，而投资组合风险值（Value at Risk）的计算也与金融资产的波动密切相关。投资组合的优化问题实质上也是对投资组合的收益方差优化。在资本资产定价模型（CAPM）中，资产的期望收益率取决于该资产与市场组合的协方差与市场组合方差的比值。其核心是建立了证券收益与风险的关系，揭示了证券风险报酬的内部结构，即风险报酬是影响证券收益的各相关因素的风险溢价的线性组合。同时将风险划分为系统风险和非系统风险两大类，而非系统风险可以通过投资组合的优化有效地进行分散。在Blach-Scholes期权定价公式中，期权的价格同标的金融资产的波动值密切相关，同时我们也可以通过期权的市场价格推算出标的金融资产的隐含波动率。要想准确对期权进行定价，必须首先准确了解金融资产的波动特征与规律。在套利理论中，需要计算种证券与第种影响因素的方差协方差矩阵，这也同波动建立了直接联系。在近年来兴起的行为金融理论中，资产价格的过度波动原因和投资者心理与投资行为对金融资产波动的影响也成为研究的热点领域。因此，如何准确地描述与刻画金融资产的波动特征，并探寻金融波动背后的内在机制与经济含义，已成为现代金融学和统计学学研究的一个重要议题。在对金融波动进行建模前，我们需要了解金融资产波动的主要统计特征，这是我们对金融波动进行统计建模的基础。Bollerslev, Engle and Nelson(1994)，Rama Cont（2001）和苏卫东（2002）等对此进行了总结和归纳。就一般而言，金融资产的波动具有如下重要统计特征：（1）过度波动（excess volatility）：也就是说金融资产的波动往往超过了经济基本面因素所能引起的波动。特别的，金融资产收益率较大幅度的变化（包括正向和负向）并不能完全由市场上所有新的信息所解释。（2）厚尾（heavy tail）：金融资产的收益率往往具有“尖峰厚尾”的统计特征，其无条件峰度指标和尾部指标(tail index)往往较标准的正态分布更高，这意味着用具有厚尾特征的统计分布如t分布、Pareto（帕累托）分布或者GED分布（广义误差分布）等能较正态分布更好的刻画金融资产波动的这种尖峰厚尾特征。（3）波动具有时变和聚集（volatility clustering）特征：经典金融理论在描述金融资产波动变化时，往往假设波动值在一定期限内保持不变。然而实践却通常表明这种假设不甚合理。金融资产的波动往往具有随时间变化而变化的动态时变特征，有时候这种变化甚至会相当剧烈，而有时则会保持相对稳定。更为重要的是，金融资产的波动往往还存在着聚集现象，这种现象首先由Mandelbrot(1963)发现，指大的金融波动后面往往紧跟着大的波动，而小的金融波动后面往往紧跟着小的波动。很明显的例证是：金融资产收益率的自相关系数往往较小，但是收益率的绝对值和平方却通常具有显著的、呈现缓慢衰减的正向自相关性。Bollerslev, Engle and Nelson（1994）指出波动的聚集现象可能是导致金融资产尾部较厚的重要原因。（4）杠杆效应(leverage effect)：杠杆效应首先由Black（1976）发现，指金融资产收益率的波动往往体现出一种非对称性，波动率对金融资产收益率下跌时的反应往往比对收益率上升时的反应更加迅速和剧烈。Christie(1982)利用Modigliani-Miller原理对此问题进行了解释：坏消息的出现会降低公司的股价，这样就会导致负债/资产比（也就是金融杠杆比）上升，这显然会增加公司的财务风险从而加大了持有股票的风险，从而使得未来的期望波动值上升。（5）波动具有连动性（co-movements in volatility）：这种现象也首先由Black（1976）发现，他总结到：“不同股票的波动变化具有很多相同的特征，股市1的波动变化意味着所有股票的波动可能也有1的变化。只是某些高风险的股票对于股市变化的敏感度较低风险的股票高，但就总体而言，当波动变化时，大多数的股票倾向于同方向变化。”这种波动的连动性不仅存在于同一金融市场，跨金融市场也同时存在着这种现象。Diebold and Nerlove (1989)和 Harvey et al. (1991)探讨了影响金融资产连动性的主要因素，如果这些影响因素的确存在，那么就意味着我们可以用较少的因素去解释金融资产方差和协方差的变化。正是基于此学者提出了因素ARCH模型（Engle（1987），Diebold and Nerlove (1989)）来解释金融波动的这种连动性。（6）波动同宏观计量变量和成交量密切相关：金融资产的价格同宏观经济运行质量密切相关，那么宏观经济指标，如利率、货币供应量、GDP增长、外贸等都有可能对股票市场的波动产生实质性影响。就中国股市而言，政府的股市调控政策对股市波动的影响也非常巨大。另一方面从金融市场本身的运行规律来看，金融资产的成交量与波动也往往存在着显著的正向关系。(7)波动的隐含微笑曲线(implied volatility smile)与期限结构(term structure)：隐含微笑曲线是指在其它条件相同的情况下，对相同标的资产但执行价不同的期权市场价格所反映出来的隐含波动度往往呈现出近似微笑形态的曲线，到期期限越远，这种微笑的幅度会越发趋缓。一般而言，隐含波动微笑曲线的存在意味着平价期权的隐含波动率会比较接近于真实现货的波动值，而价外与价内期权的隐含波动率往往偏高，且微笑曲线形态往往具有一定的非对称性。通常认为波动的隐含微笑曲线和波动的随机特征密切相关。而波动的期限结构则是指在其它条件不变的情况下，对相同标的资产但不同到期日的期权市场价格，通过Black-Scholes公式所反推算出来的隐含波动率所呈现的形态。Xu and Taylor(1994)发现期权的期限结构是不规则的，呈现出多种形态。一般认为，金融资产的随机波动特征是造成隐含微笑曲线和期限结构最重要的原因之一。正是金融波动存在的上述复杂的统计特征促进了金融波动模型研究的深入发展。在本章余下内容我们将分析与比较主要的金融波动模型，并利用中国金融市场的数据进行实证研究。2.2 一元ARCH模型族分析金融波动模型在近二十多年来发展迅速，学科体系已经渐趋成熟，这使得准确地刻画金融资产波动的统计特征成为可能。金融波动模型按照波动函数建模的性质可以大致分为两类：第一类是用确定的函数来刻画t时刻的波动率，这方面主要的模型包括自回归条件异方差（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH）模型和在其基础之上衍生出来的广义自回归条件异方差（GARCH）模型族。另一类是用随机方程来刻画波动率的变化，这方面的主要模型是随机波动（stochastic volatility）模型族。一元金融波动模型只针对一维金融资产的波动特征进行建模,主要包括一元ARCH模型族和一元随机波动模型族，本小节将探讨一元ARCH模型族的特点与性质，最早出现的金融波动模型便是Engle(1982)提出的一元ARCH模型。2.2.1 一元ARCH模型分析ARCH模型的是自回归条件异方差模型的英文简称，其中的异质变异（heteroskedasticity）代表时变方差(time varying variance)，条件的(conditional)代表相依于过去的观察值的信息，而自回归（autoregressive）则代表描述一个自回归机制，将自身过去的观察值作为影响现在波动的因素。ARCH模型族的发展是时间序列研究领域的一个重要创新，其将对金融波动的研究带入了一个新的阶段。在以往的计量经济与时间序列模型中，通常会假设条件方差保持固定不变，这虽然给建模带来了便利，但往往与实际情况并不相符。金融资产变量（如股价收益率、汇率和利率等）的条件方差往往体现出随时间变化而变化的统计特征。因此，在条件同方差的假设下，传统的计量经济学和时间序列模型往往无法准确刻画金融资产波动的这种动态时变统计特征。事实上，金融资产收益率的波动往往存在着波动聚集（volatility clustering）现象，即如果本期价格有较大幅度的变化，那么紧接下来的交易日往往也会出现较大幅度的波动。这意味着残差项的平方会存在着显著的自相关及异方差问题。这个问题直到Engle(1982)提出ARCH模型后才得到了有效解决。其主要思路是将条件方差随时间变化而变化的特征纳入考虑。假设本期收益率的条件方差受上期残差项的影响，并且这种变化具有时间依赖性。那么基于正态分布假设的ARCH(q)-Normal模型可表达为： （公式21）这其中代表t时期金融资产的收益率，代表解释收益率变量的线性组合，是t时刻的残差项，是标准化的残差，一般我们假设服从某一特定的参数分布（在上式中我们假设其服从一元标准正态分布N(0,1)），代表从时刻1到时刻t-1时期全部的信息集，代表受过去q期残差影响的条件异方差，q是ARCH模型中自回归的阶数。从上述公式中可以看出，在ARCH(q)模型中，收益率的条件方差受两个因素的影响，一是常数项，另一个则是前个时刻关于变化量的信息，用前q时期的残差平方项的线性组合来表示。为了保证条件方差为正，我们需要对限制参数。而为了保证模型的残差为一平稳过程,我们还需限制参数。如果需保证残差的高阶矩存在，我们还需对参数进行更严格的限制，相关内容可参看Engle(1982)。在ARCH模型中，的无条件期望和方差分别为： （公式22）ARCH模型另一个重要的特点便是其峰度指标较正态分布高。例如对于ARCH(1)模型，其无条件峰度，其中：。这意味着ARCH(1)-Normal模型的分布尾部比正态分布更厚，从而可以更好地刻画金融时间序列尖峰厚尾的统计特征。在使用ARCH模型等金融波动模型前必须首先检验时间序列是否存在ARCH效应，这方面常用的有Engle(1982)提出的的拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier, LM）检验法和似然比（likelihood ratio, LR）检验法两种方法，其中最常用的是LM检验，其假设为：原假设H0： 备择假设H1：中至少有一个不为0；为检验原假设，需要进行如下回归：式中的是残差，上式表示残差和平方对截矩项和阶滞后的残差平方和进行回归，由上式计算（T为样本数）即可得到LM值，其服从的渐进分布，若，则拒绝原假设，说明时间序列存在显著的ARCH效应。ARCH-Normal模型一般可以通过拟极大似然函数方法（QML）进行估计，对于上面讨论的ARCH模型，其对数似然函数可表达为下式： （公式23）其中，T为样本长度。虽然ARCH模型较以往的模型有了显著改进，但其也存在着一定的缺陷：（1）ARCH模型虽然简单，但为了充分地描述金融资产收益率的波动过程，往往需要对残差项滞后多期，这需要估计较多参数，从而增加模型估计成本；（2）ARCH模型假定正负波动对波动率具有相同的影响，这意味着其无法捕捉到金融资产收益率的杠杆效应；（3）ARCH模型有时对于参数的限制过于严格；（4）ARCH-Normal模型是基于正态分布假设基础之上的，而实证经验表明正态分布对金融资产收益率的尖峰厚尾特征的刻画能力往往是较差的。2.2.2 一元GARCH模型分析为了减少模型的参数以及放宽对参数的限制，Bollerslev（1986）提出了GARCH模型，其核心思想是用一个或两个的滞后值来替代许多的滞后值，这样不仅可以精简模型参数的个数，而且可以使得条件方差的结构更具一般性，。GARCH模型的一般形式是GARCH(p,q)，其中p是自回归项（GARCH项），q是ARCH项，假设标准化残差服从正态分布，那么GARCH-Normal模型可表述如下： （公式24）同ARCH模型类似，对参数进行上述限制也是为了保证估计得到的方差非负和模型的平稳性。与ARCH模型类似，GARCH模型一般也可使用拟极大似然函数方法进行估计，那么GARCH-Normal模型的对数似然函数可以用下式表示： （公式25）其中：由上式可以看出，GARCH模型与ARCH模型最大的区别在于本期的条件方差除了受到前期残差平方和的影响外，还会受到前期条件方差的影响。相比较而言，GARCH模型较ARCH更具一般性。在GARCH模型中，条件方差为过去残差项平方和滞后期条件异方差的线性组合，这不仅使得条件异方差的设定更具弹性，同时也使得模型的参数估计更为简便，因为一个高阶的ARCH模型可由一个低阶的GARCH模型来描述，从而达到了简化模型参数的目的。当p=0时，GARCH模型就变为ARCH模型，因此可以将ARCH模型看作是GARCH模型的特例。而当p=q=0时，GARCH模型就恢复成为白噪音(white noise)过程。而从经济学意义上来看，GARCH模型意味着投资者可以通过观察前p期的预测方差（GARCH）项和前q期中观测到的收益率变动信息（ARCH）来预测本期的方差。如果投资者观测到前期条件方差变大，或者收益率也发生较大变化，那么投资者会预期下期的条件方差也可能变大。GARCH模型的自身滞后期参数值越大，说明冲击对条件方差的影响需花费更长时间才会消失，波动具有一定的持续性。而误差项系数越大说明波动对市场异动的反应越强烈。一般而言，如果GARH模型的系数相对较大而系数相对较小，则波动倾向于更加尖锐（spiky）。反之，波动具有更长时间记忆性特征。经验研究表明，对于一般的金融时间序列，GARCH(1,1)模型就能够较好的刻画其统计特征。÷GARCH（1，1）-Normal模型的无条件峰度指标为：这里需限制GARCH(1,1)模型的参数满足：。无条件峰度值大于3意味着GARCH(1,1)-Normal模型的峰度厚度比正态分布更厚，可以更好的刻画金融时间序列的尖峰厚尾特征。对于GARCH模型峰度更深入的讨论可参看Bai, Rusell & Tiao(2004)和Carnero et al(2004)。2.2.3一元GARCH模型的扩展对于GARCH模型的扩展主要包括两个方向，第一个方向是将具有厚尾特征的统计分布如t分布、广义误差分布（GED）等引入到模型中，即不再假设标准化残差服从标准化的一元正态分布而是假设其服从一元标准t分布或者一元标准GED分布。例如假设标准差化残差服从自由度为v的一元标准t分布，则有： （公式26）这里标准化的残差服从自由度为v，期望值为0，方差为1的标准化t分布，为了更清楚的说明t分布与服从正态分布的差别，我们可以将改写为：其中服从一元标准正态分布，服从逆伽玛（Inverse Gamma）分布，即，那么就服从自由度为v的t分布。的引入能够更好的刻画金融资产的尖峰厚尾特征。在GARCH-t模型里，金融资产收益率异常值（大的）的出现即可能是由于波动值增加造成的，也有可能是由于大的所造成。这样模型就更能够更好的拟合金融资产的厚尾分布特征和异常值的分布，同时估计出的GARCH-t模型的波动值序列一般将较GARCH-Normal模型更为平缓，这对波动的估计与预测具有十分重要的意义（Bollerslev, T (1987)， Jacquier,et al(2004)）。那么，GARCH-t模型的对数似然函数假设服从自由度为v、规模参数为的t分布，那么的密度函数可表示为： ，那么，取规模参数，则我们就可以得到均值为0，方差为1的标准化t变量，其密度函数可表示为：。就可以表示为：为了保证模型的似然函数和二阶矩存在，我们需要限制t分布的自由度大于2。这样，对GARCH-t模型的估计就变成了在v>2的条件下对模型参数的优化问题。实践中GARCH模型残差分布的另一个常见假设便是广义误差分布（GED）。此时GARCH模型的对数似然函数可表示为：这里的参数，当时，GED分布就变成了正态分布。当时，模型就具有厚尾分布特征。GARCH模型另一个主要的扩展方向便是考虑杠杆效应。传统的GARCH模型假定金融资产收益率下跌或者上升对波动率的影响是相同的，然而实证研究往往表明，金融资产收益率的波动往往具有杠杆效应，即金融波动对收益率下跌时的反应会比对收益率上升时的反应更加迅速和剧烈。GARCH模型族中包括若干种可以描述这种杠杆效应的模型，主要包括Nelson(1991)提出的指数GARCH(Exponential GARCH,EGARCH)模型和Zakoian et al(1993)提出的门限ARCH（Threshold ARCH，TARCH）模型等。EGARCH(1,1)-Normal模型可表示如下： （公式27）杠杆效应的存在性可以系数值进行判断。如果，就说明存在杠杆效应，下跌时的波动率高于上升时的波动率。此外，从EGARCH模型表达式中可以看出，其是对条件方差的对数而非直接对条件方差本身进行建模，所以本身就暗含着条件方差为正的限制，这样就可以减少传统GARCH模型对参数的限制，从而使得EGARCH模型更具灵活性与简便性。 另一种常用的描述杠杆效应的GARCH模型便是TARCH模型，TARCH(1，1)-Normal模型可表述如下： （公式28）其中是一个虚拟变量，当时，否则。这样只要杠杆系数就存在着杠杆效应。在TARCH模型中，对于利好消息，对于波动只有倍的冲击，而对于利空消息，则有倍的冲击。如果则说明存在着杠杆效应。我们还可以将厚尾分布与杠杆效应组合在一起形成EGARCH-t模型和TARCH-t模型及EGARCH-GED模型和TARCH-GED模型等，这样就可以同时刻画金融资产收益率的厚尾分布特征和杠杆效应。EGARCH(1,1)-t模型可表达如下：TARCH(1,1)-t模型可表达如下：本章附录的附表2-1总结了一元ARCH模型族的主要特点。下面我们分析另一种常见的金融波动模型一元随机波动模型族。2.3一元随机波动模型族分析2.3.1 一元随机波动基本模型分析GARCH模型由于估计相对较为简便，因此在实证研究中得到了广泛应用，然而其却很难嵌入到传统的经济学和金融学理论中。这是因为：在GARCH模型中隐含着资产收益率和波动过程具有确定性的联系，而这很难从理论上得到严格的证实（Durham(2006,2007)），特别是随着对金融风险管理要求的提高，以及以金融资产波动率基础的金融衍生品的层出不穷，对准确刻画金融资产的波动过程提出了更高的要求。正是在这种背景下，随机波动（SV, stochastic volaility）模型被引入到金融统计和金融计量经济学领域。随机波动模型最早由Taylor(1982)和Tauchen & Pitt(1983)提出，近年来，随机波动模型的研究与应用已成为金融计量经济学的热点与难点问题之一。与ARCH模型族相比，随机波动模型中包含了两个随机过程来描述金融资产，一个用来描述收益率的变化，一个用来描述波动的变化。也就是说在随机波动模型中，条件方差是一个不可观测的随机过程，这就为描述金融资产的统计特征提供了一个相对更加复杂但又更合理的建模思路。一元随机波动的基本模型SV-Normal模型可表达为： （公式29）其中是一个反映波动平均水平的常数，是波动的持续性参数，反映了过去滞后一期波动对当前波动的影响，为了保证模型平稳我们需要限制。随机波动模型假设波动方程中的随机变量服从标准化正态分布N(0,1)，且满足。而参数则反映了波动对数值的标准差。比较公式24和公式29，我们可以看出随机波动模型与GARCH模型主要的差异在于其波动方程中引入了一个随机变量，这样模型就可以更好的刻画金融波动的随机特征，也可以更好的与传统经济学和金融学理论相匹配。但从公式中我们也可以看出，对于SV-Normal模型而言，可观测量为已知的日收益率序列，不可观测变量为参数、和以及潜在的对数波动序列，且服从一个一阶的自回归过程，参数的联合分布形式非常复杂。因此随机波动模型的似然函数很难精确地表达，传统的极大似然函数法在这里不再有效，这使得随机波动模型的估计较为困难。在下面小节中我们将专门探讨随机波动模型的估计方法。下面简要推导一下SV-Normal的矩特征。由于，那么的无条件期望和方差分别为：因为服从独立同分布的，所以无条件服从均值为，方差为的一元正态分布，即：那么（）服从对数正态(logNormal)分布，其无条件期望。 那么残差项的无条件期望和方差为：对于随机波动模型的峰度值指标，可参看Bai, Russell & Tiao(2004)和Carnero et al(2004)等。2.3.2 一元随机波动模型的扩展与GARCH模型类似，标准的SV模型也可以向两个方向进行扩展：第一个方向是在均值方程中，假设标准化残差不再服从一元标准正态分布，而是服从某些具有厚尾特征的统计分布如一元标准t分布等，如Geweke(1994)、Gallante et al(1997)等。通过假设标准化残差服从厚尾的一元标准t分布，模型就能更准确的刻画金融资产的尖峰厚尾特征。当然也可以在波动方程中假设随机变量服从厚尾的t分布，但为了保证的矩存在，一般不采用这种方法（当服从t分布时，exp()的矩不存在（Jacquier.et al(2004）。那么SV-t模型可表述如下： （公式210）另一个方向则是考虑杠杆效应，也就是说均值方程中的标准化残差和波动方程中的标准化残差是相关的。按照模型假定的不同可以其可以分为两大类：一类是Harvey A.C, Shephard N（1996）提出的模型（简称SV-HS-Normal模型），其可表达如下： （公式211）杠杆效应体现在参数上，当时存在着杠杆效应。另一类方程由Jacquier.et al(2004）提出（简称SV-JPR-Normal模型），其表达式为： （公式212）从这两个模型的表达式来看，其主要区别在于对残差项相关关系假设的不同。HS模型假设，而JPE模型假设，这样直接导致的后果是：JPE模型不是鞅差（martingale difference）序列，HS则是鞅差序列这是因为对于HS模型而言，而对于JPE模型而言，故JPE模型不是鞅差序列。从这个意义上说，HS模型较JPE模型更符合金融理论。（Jun Yu(2005), Durham(2006)）。从这个意义上说，HS模型较JPE模型更符合有效市场理论。而从两个模型的绩效比较来看， Jun Yu(2005) 利用S&P500指数数据（从1980年1月至1987年12月）和CRSP数据（从1986年1月至1995年12月）研究发现，SV-HS模型绩效优于SV-JPE模型，而Durham(2006)利用S&P500指数数据、DJIA指数数据和NASDAQ指数数据研究时发现，SV-HS模型绩效劣于SV-JPE模型。据笔者所知国内尚缺乏对考虑杠杆效应随机波动模型的比较研究，本文拟实证比较SV-HS模型和SV-JPE模型的绩效。同时，我们可以将厚尾分布和杠杆效应结合在一起，构建基于厚尾t分布假设基础之上的SV-HS-t模型和SV-JPE-t模型。SV-HS-t模型可表述如下： (公式213)同理，SV-JPE-t也可表述如下： （公式214）2.3.3 马尔可夫转换随机波动模型尽管一元金融波动模型在刻画一元金融资产的波动特征方面取得了重要的进展，但是在以往的研究中学者一般均假定金融资产的波动是一个连续的单一状态，也就是说假定波动的统计特征在研究样本期内不发生结构性变化。基于这种假设基础之上的模型估计出的金融资产的波动往往具有较高的持续性。Diebold（1986）、Lamoureux & ,Lastrapes (1990)认为这种波动的高持续性可能是因为忽略了在样本期限波动结构发生了某种变化。条件波动的高持续性意味着外界对波动的冲击不会很快消失，当前的信息对未来一段时间内的条件波动率仍具有显著的影响。而波动持续性的高低对研究金融资产的波动特征和定价具有十分重要的作用。因此有必要在建模时将波动可能存在的结构性变化纳入考量范围。特别是类似中国大陆这样的具有浓厚的“新兴加转轨”特征的股票市场，由于受到宏观经济运行、政策面、资金面和一些突发事件的影响，其波动起伏往往非常剧烈，其景气状况周期性地在高风险状态和低风险状态之间相互转换，考虑波动的状态转换特征可以更好地刻画中国股市的这中波动特征。一个很自然的选择便是将马尔可夫转换（Markov Switching）模型和金融波动模型相结合，利用金融波动模型刻画金融资产波动的时变和聚集等特征，利用马尔可夫转换模型刻画金融波动的状态转换特征。马尔可夫转换模型最早由Hamilton（1988）提出，又被称作体制转换（Regime Switching）模型。其基本思路是假设模型参数随从某一无法观测到的状态变量变化而变化，而且该状态变量的变化服从一个一阶的马尔可夫过程。与传统模型相比，这类模型的主要创新之处是在模型中加入了马尔可夫型的概率结构，这样模型参数就具有了随时间和状态变化而变化的特征，从而可以更好地刻画时间序列可能发生的结构性变化。将马尔可夫转换模型和金融波动模型相结合最早可追溯于Cai(1994)和Hamilton & Susmel（1994），他们将马尔可夫转换模型和一元ARCH模型相结合构建了SWARCH模型，其研究均发现加入马尔可夫转换后ARCH模型的持续性有所降低。这是因为马尔可夫转换模型可以有效地将样本期间发生的结构性变化加以提炼，故能有效降低模型中纯ARCH成分的持续性。国内一些学者如蒋祥林、王春峰和吴晓霖（2004）、丁志国、苏治、 杜晓宇（2007）等也利用SWARCH模型对中国金融市场进行了实证研究。但是将马尔可夫转换模型和GARCH模型相结合（MSGARCH）则有可能面临严重的路径依赖问题，Gray(1996) 和Klaassen(2002)提出用滞后方差的条件期望值来代替滞后的波动值，但这有可能会丧失一部分方差的信息。另一种马尔可夫转换金融波动模型便是将马尔可夫转换模型与随机波动模型相结合构建马尔可夫转换随机波动模型（MSSV），国外这方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。但目前国内尚无文献探讨MSSV模型的特征与建模方法，本文拟填补此空白并在国外模型基础上进行适当推广。MSSV-Normal模型的基本框架是： （公式2-15）这里的（=1或者2）是一个与状态相关的变量，不失一般性，令，那么状态1和状态2波动对数值的无条件期望值和分别为：，且满足：。通过上述设定就将波动状态划分为一个低波动状态（波动对数值的无条件期望为）和一个高波动状态（波动对数值的无条件期望为），波动按照马尔可夫转换过程在低波动状态和高波动状态之间转换。而马尔可夫转换过程的概率矩阵P可表示为： （公式2-16）其中，。那么则有： （公式217）这其中的和便被称为预测概率（predictive probability），而公式2-17中的和被称为过滤概率（filtered probability），其与预测概率的主要区别就在于所依赖的信息集不同，其计算公式如下：其中： 对于起始时刻，我们可以用无条件概率(unconditional probability)进行替代：在时刻不断迭代上述两个步骤直至迭代结果满足收敛标准时就可以得到模型的估计值。这样通过一个马尔可夫转换过程就可以刻画随机波动的状态转换特征。我们也可以将MSSV模型推广到一元t分布下，MSSV-t模型表达式如下：与上一节ARCH模型族估计不同的是，本章中随机波动模型的估计采用的均是贝叶斯统计中的MCMC方法。下文将分析贝叶斯统计和MCMC方法。2.3.4 随机波动模型估计的贝叶斯方法2.3.4.1 随机波动模型的估计方法综述随机波动模型在初期的应用范围远没有ARCH模型族宽广，主要原因就在于其似然函数没有公式解析式，经典的极大似然估计方法并不适用于随机波动模型。为此学者们陆续提出了一些替代的估计方法，主要包括广义矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996), Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods, Gallant & Tauchen(1997) Ying Gu & Eriz Zivot(2006)）、拟极大似然估计（quasi-maximum likelihood, Harvey, et al,（1994）、模拟极大似然估计方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Durham（2004,2006,2007）、经验特征函数法(empirical characteristic function, Knight(2002)和贝叶斯MCMC方法（Jacquier，et al.(1994)，Kim & Nelson(1998)）等。而Jacquier et al.(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法较其它方法效果更佳，相对误差最小，是估计效率最高的方法之一，该结论也被随后的研究陆续证实。这是因为MCMC方法在估计随机波动模型时具有如下优点（Johannes & Polson（2005）：（1）MCMC方法是建立在条件模拟基础之上的，这样就避免了对目标函数进行优化或者非条件模拟的问题。从实践来看，对于类似SV模型这样似然函数很难精确表达的模型进行估计，MCMC模型的计算速度上要快于传统方法。更为重要的是，MCMC推断是建立在对模型参数和潜在变量的后验分布的精确估计基础之上的，而其它方法往往是建立在近似推断基础之上的，这为我们得到参数的精确估计奠定了良好的基础；（2）在估计模型参数的同时，MCMC可以很方便的估计潜在的波动率的平滑估计值（smoothed estimated），这是因为MCMC方法在估计模型参数的同时也将潜在变量纳入了参数估计的空间（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的过滤准则（filters），这无疑加大了估计的难度；（3）MCMC方法可以更为方便的评估估计风险和模型风险。估计风险是在估计参数或状态变量是出现的内生不确定性，而模型风险是模型选择和确认时出现的风险，在MCMC框架下这两种风险可以较其它方法更方便的进行评估。正是基于此，在本文中我们对随机波动模型的估计均是建立在MCMC方法基础之上。在下小节我们将详细介绍随机波动模型估计的MCMC方法与基于此基础之上的DIC准则。2.3.4.2 随机波动模型估计的MCMC方法与DIC准则统计学上主要有两大种推断的方法，一种是经典统计推断方法，另一种便是贝叶斯（Bayes）方法，其最早由英国数学家T.Bayes于1763年在论有关概率问题的求解中提出。这两种统计推断方法的区别主要体现在两方面：（1）经典统计推断方法视未知参数为真实且固定的值，参数的估计值可以由样本数据构造。我们通常使用极大似然函数估计法，也就是通过最大化目标函数的似然函数值进行估计，并且利用拟合的模型做出统计推断。而贝叶斯方法将参数视为一个随机变量，所有关于参数的推断都是以概率的形式出现，然后利用贝叶斯公式，从先验分布得到后验分布并利用后验分布进行统计推断。该点曾经是经典统计学派和贝叶斯学派争论的主要焦点，但越来越多的经典学派统计学家已开始接受贝叶斯学派的观点，将未知变量看作随机变量；（2）贝叶斯学派认为一个事件的概率可以是人们根据经验对该事件发生可能性做出的个人信念，可以利用先验概率合理地确定先验分布。而经典学派则认为不能轻率地使用先验概率（茆诗松等（1998）。贝叶斯学派的基本思路是：假设是模型所需估计的参数， 是样本观测值，是观测到数据之前关于变量的先验信息，则有： （公式2-20）在观测到的数据以后形成的关于的看法则根据的是的后验概率密度：根据全概率公式和公式2-20便可得： （公式2-21）上式便被称为贝叶斯定理。这个在给定样本下的条件分布被称为的后验分布，它在样本给定情况下集中了样本与先验分布中关于的一切信息，其比先验分布更接近于实际情况，因此使用后验分布可以更好地推断变量的统计性质。但是，在利用贝叶斯方法进行统计推断时通常需要在高维度的概率分布上计算积分，这往往会遇到较大的计算困难。若使用解析计算或者数值计算方法来求解几乎很难实现，并且估计的精度也难以得到保证。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 马尔