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提高扩展内容第7章 连杆机构设计1. 连杆机构的计算机辅助设计和优化设计1.1 连杆机构的计算机辅助设计 在用解析法设计连杆机构时，涉及到大量的数值运算，这种繁琐的计算工作可由计算机来完成。计算机辅助连杆机构设计的基本过程为：(1) 由设计者制定设计任务，选定连杆机构类型，建立设计的数学模型，选择算法并编制程序；(2) 由计算机完成数值计算、结果输出（数据与图形）和结果分析。前述四杆机构实现刚体导引、函数生成和轨迹生成等的运动设计问题均可利用计算机来解决。 目前已有专用的连杆机构计算机辅助设计商业化软件，可以直接使用。1.2 连杆机构的优化设计 在连杆机构设计中，常会遇到如下两类问题：一类是设计结果不唯一，即机构运动尺寸有多种不同的设计方案（例如铰链四杆机构的连杆点精确通过的轨迹点数少于九个时），需对这些方案进行分析比较，并作出判断和选择；另一类是不存在精确解，但要求得与目标要求的偏差尽可能小的近似解，例如要求四杆机构实现两连架杆的对应位置超过五组，甚至希望机构在一定运动范围内，两连架杆对应位置参数能满足给定的连续函数关系。上述问题可以通过如下途径给予解决：建立一定的评价指标，基于一定的寻优策略和算法，借助计算机进行计算，使所设计的方案在一定的范围内，最佳地实现预定目标，此即机构的优化设计。 机构的优化设计一般按如下步骤进行：1) 分析设计问题，明确设计要求，确定初始参数；2) 建立优化设计数学模型，包括设计变量、约束条件和目标函数；3) 选用优化设计方法，拟定计算流程；4) 合理选择设计变量初值；5) 编程计算，结果输出（数据与图形），结果分析。 连杆机构的优化设计可分为运动学优化设计和动力学优化设计。前者根据运动学要求建立目标函数，同时兼顾动力学方面的一些特性；后者主要根据动力学要求建立目标函数，而将运动学方面的要求作为约束条件。下面以铰链四杆机构为例，说明其运动学优化设计模型的建立方法。 (1) 设计变量 设计变量的选择与设计任务要求有关。例如对于铰链四杆机构两连架杆对应位置参数实现给定连续函数关系的设计问题（图7.27），可取设计变量为、和；对于铰链四杆机构轨迹生成的设计问题（图7.30），可取设计变量为。将设计变量用通式表示为 (2) 约束条件 设计变量的取值往往受到多方面的限制，这些限制可以用函数表示成如下形式的约束条件： 连杆机构的约束条件主要有： 1) 几何参数边界约束 为缩小寻优范围，可根据设计要求给出各几何参数的上下限，作为边界约束。 2) 整转副存在条件 保证铰链四杆机构为曲柄摇杆机构。 3) 传动角约束 因曲柄摇杆机构属于何种型式（型、型或型）和最小传动角出现在哪个位置尚不确定，故传动角约束应考虑曲柄与机架拉直共线和重叠共线两种可能情况。 4) 几何空间约束 对凸轮机构所占据空间在各个方向的尺寸加以限制。 5) 防干涉约束 防止各构件实体在空间上发生运动干涉。 (3) 目标函数 在设计空间的可行区域内，每一点都对应一个可行的设计方案，如何从许多可行的设计方案中选出最优方案，需要一定的评价指标作为优化设计的目标函数。例如对于函数生成机构的设计，若预期的运动函数关系为，机构实际产生的运动函数为，取一个运动周期中n个位置处两者之均方根偏差最小来建立目标函数式中n为运动函数上所取的离散点数，为第j个离散点处的加权值。 对于轨迹生成机构的设计，若预期的运动轨迹为，机构实际产生的运动轨迹为，取一个运动周期中n个位置处两轨迹上对应点坐标值之均方根偏差最小来建立目标函数 上述优化设计问题可表示为2. 空间连杆机构简介 在连杆机构中，如果各构件不是都在相互平行的平面内运动，则称其为空间连杆机构。空间连杆机构中的运动副均为面接触的低副，除转动副R和移动副P外，还可以有球面副S、球销副、圆柱副C及螺旋副H，故亦称其为空间低副机构。2.1 空间连杆机构的类别及特点 根据形成空间连杆机构的运动链的不同结构，空间连杆机构有如下主要类别： 1) 单开链空间连杆机构 如图1.1所示，它由若干二副构件和一个单副构件顺序串接而成（也称其为串联连杆机构），其中单副构件位于末端，并作为执行构件，各运动副独立驱动。为便于驱动与控制，运动副多采用转动副和移动副，且相邻运动副的轴线或移动方向取为平行或垂直相交。单开链空间连杆机构的特点是：自由度多，末杆运动范围大，动作灵活；但刚度低，末杆存在误差累积和放大，精度的提高受到限制。单开链空间连杆机构常作为开链机器人机构，用于实现执行构件的空间复杂运动，如对位置和姿态均有要求的搬运、装配等操作。在机器人机构研究领域，常将运动副称为关节。 2) 单环闭链空间连杆机构 如图1.2所示，它相当于将单开链空间连杆机构的末杆与机架固为一体，从而形成一个封闭的环路。应用最多的单环闭链空间连杆机构是单自由度三杆、四杆、五杆、六杆和七杆机构等型式，用于实现刚体导引、函数生成和轨迹生成，但构件越多，其运动学研究的难度越大。 图1.1 3R单开链空间连杆机构 图1.2 7R单环闭链空间连杆机构 3) 多环闭链空间连杆机构 如图1.3所示，它存在两个或两个以上封闭环路，也称并联连杆机构。在应用方面具有代表性的是各环路对称的并联机器人机构。例如图1.4所示为由Steward于1965年提出的一种6自由度并联机器人机构，运动平台abcdef与固定平台ABCDEF之间通过6个分支运动链联接，各分支运动链均为球面副-移动副-球面副结构，通过对6个移动副的运动控制，可以使运动平台实现复杂的6维空间运动。该机构具有自由度多、刚度大、承载能力高、精度高和便于布置驱动装置等优点，最初用作训练飞行员的飞行模拟器。随着对其研究的日益深入，该机构的应用已扩大到其他领域，如近年来出现的6轴联动加工中心和虚拟轴机床等。 图1.3 多环闭链空间连杆机构 图1.4 6自由度并联机器人机构 4) 混合链空间连杆机构 如图1.5所示，它是含有局部闭链的开链连杆机构。因其结构复杂，应用较少。 图1.5 混合链空间连杆机构 图1.6 D-H坐标系 与平面连杆机构相比，空间连杆机构不仅可实现复杂多样的运动，而且结构简单、紧凑。但空间连杆机构的运动比较复杂，不易想象，其分析和设计难度较大，制造要求高，故其应用不如平面连杆机构广泛。2.2 空间连杆机构研究的矩阵法 为保证研究结果的准确性，研究空间连杆机构的方法主要是采用以某种数学工具为基础的解析法。可用的数学工具有对偶数、四元数、矩阵、旋量、张量等。下面介绍普遍使用的矩阵法。 对于空间连杆机构的研究，无论是分析还是设计问题，均需描述相邻两构件之间的相对位置关系。如果在各构件上均固定一三维直角坐标系，则由坐标系之间的相对位置即可反映相应两构件之间的位置关系。所谓矩阵法即是利用矩阵来表示两坐标系之间的位置关系，亦即空间坐标在不同坐标系之间的变换关系。 如图1.6所示，和为分别固定在相邻两构件和i上的两个坐标系。该两坐标系之间的相对位置具有特殊性，即由经两次螺旋运动得到：第一次螺旋运动以为螺旋轴作转动并移动，此过程使运动至；第二次螺旋运动以为螺旋轴转动并移动，此过程使运动至。上述两次螺旋运动共涉及四个独立参数、和、，其中是轴和间的距离，并规定沿轴正向的移动为正；为使轴沿旋进到轴的旋转角，并规定逆时针方向的转角为正；是使轴沿旋进到的旋转角，并规定逆时针方向的转角为正；是轴和间的距离。具有上述特定相对关系的坐标系最先由Denavit和Hartenberg于1955年提出，称为D-H坐标系。 由图可知，空间任意一点p在两坐标系中的矢量关系为 (1.1)上式可用两个坐标系中的轴间夹角的余弦表示成如下形式 (1.2)式中：。 利用D-H坐标系的特定关系，式(1.2)可写成如下矩阵形式 (1.3)其中矩阵 (1.4)称为D-H矩阵，它建立了空间点p在两个D-H坐标系中坐标的变换关系，也称D-H坐标变换矩阵。 描述空间两坐标系之间的相对位置一般需要六个独立参数，而D-H矩阵中仅涉及四个独立参数，这是由于D-H坐标系特定选取的结果。鉴于此，它不能用于描述组成球面副的两构件的相对位置，因为球面副具有三个独立转动参数，但它对于仅由转动副、移动副、圆柱副及螺旋副等组成的空间连杆机构的研究是十分方便的。 将D-H矩阵写成分块形式即其中为代表空间旋转运动的正交矩阵，它反映了相对于的姿态，其第1、2、3列分别是坐标轴、在中的单位矢量表示；表示由点至平移运动的三维列矢量，即。可分解为两个矩阵之积，即式中I为单位阵。上式说明上述两次螺旋运动也等效于旋转运动与平移运动的合成，即是两次螺旋运动或旋转运动与平移运动之合成的矩阵表示。的逆阵为上式的运动学含义是两次反向螺旋运动，或可理解为反向平移运动与反向旋转运动之合成。2.3 空间连杆机构研究的基本问题 基于理论研究与工程应用的需要，空间连杆机构的研究主要涉及如下基本问题： 1) 空间连杆机构的结构学 研究组成空间连杆机构的运动副类型与数目和构件类型与数目以及他们之间的联接关系，以揭示其结构组成规律以及与运动学、动力学特性之间的内在联系和发明新机构的基本思路。 2) 运动分析和运动设计 前者包括建立机构输入、输出运动参数之间的关系方程和求解算法，从动件的作业空间和特殊位置（如开链机器人机构和并联机器人机构不能获得某些方向上的瞬时运动的位置等）分析；后者即确定与机构运动相关的构件基本尺寸的设计方案并优选之，以满足对机构提出的运动学、动力学以及其他设计要求。 3) 动力学分析和机构的平衡 前者研究如何建立机构作用力与运动参数之间关系的动力学方程和求解算法，如由机构的运动状态和工作阻力求解输入力矩和运动副反力及其变化规律，或由输入力矩和工作阻力求解机构的实际运动规律；后者研究如何通过合理调整构件质量和转动惯量的分布，使整个机构的惯性力系达到平衡或接近平衡。 下面结合实例说明如何利用D-H矩阵解决空间连杆机构运动分析与运动设计中的典型问题。至于其他问题的研究，可参考有关空间连杆机构的专门著作。 (1) 单开链空间连杆机构的运动分析 图1.1所示3R空间连杆机构，在各构件上建立D-H坐标系，其中各坐标系的z轴取为转动副的轴线方向，x轴取为相邻两坐标系z轴的公垂线方向。由式(1.4)可得相邻两坐标系之间的坐标变换矩阵为若末杆3上任一点在各坐标系中的位置矢量分别为，则有式中为0坐标系与3坐标系之间的坐标变换矩阵。其中第4列反映了3坐标系原点在0坐标系中的位置，即末杆3上P点在0坐标系中的位置坐标为利用上式即可由各转动副的输入转角求得末杆上工作点P在0坐标系中的位置坐标，此即为该机构的位置正解。由末杆上工作点的位置坐标求各运动副位移的过程称为机构的位置逆解。根据上式不难得到该机构的位置逆解为式中,。显然该机构的位置逆解有两组。 在考虑各转动副转角范围约束的情况下，由位置正解方程可求得P点在0坐标系中的可达范围，即该机构的作业空间。 将位置正解方程对时间求导数，即可进行该机构的速度、加速度分析。 (2). 单环闭链空间连杆机构的运动分析 对于不含球面副的的单环闭链空间连杆机构（如图1.2），若其构件数为n，机架编号为0，并将机架看作是单开链机构中的末杆n。在各构件上建立D-H坐标系，其中n坐标系与0坐标系重合，则末杆n上一点在此两坐标系中的位置矢量相同，即。经连续的坐标变换，可得所以有上式称为封闭型矩阵方程式，它建立了机构各运动副位移参数之间的关系。由上式可列出12个三角方程式，但由于中的左上子矩阵为正交阵，含6个正交条件，因此12个三角方程式中最多只有6个是独立的。从12个三角方程式中适当选取6个进行联立消元处理，可求得机构输入、输出位移参数之间的函数关系，三角方程组的求解难度随着构件数的增加而大大增加。 对于含有球面副的的单环闭链空间连杆机构，由于不便利用D-H矩阵来建立封闭型矩阵方程式，因此常需与其他方法结合使用。下面以RSSR空间四杆机构为例，介绍拆杆法的应用。 图1.7所示为自由度为1的RSSR空间四杆机构，构件1相对于机架0的转角为输入角，构件3相对于机架0的转角为输出角。为建立此两转角之间的函数关系，可采用拆杆法，即假想地将连杆2拆去，以避开与球面副B、C有关的相对转角参数。这样原机构变为仅有机架分别与连架杆1、3所组成的两条开链，于是可用这两条开链来求解。图1.7 RSSR空间四杆机构的运动分析 如图所示，在构件0、1、3上分别建立D-H坐标系，则球面副中心B和C在0坐标系中的位置满足如下坐标变换关系 由于点B、C在其运动范围内都要受到连杆2长度不变的约束，因此有将B、C两点在0坐标系中的坐标代入上式，经整理得如下形式的三角方程式中解此三角方程得式中根号前的“±”号表明：给定主动件一个位置，从动件有两个可能位置，需按要求的机构简图位置和运动连续性选择。 将上述三角方程对时间分别求一、二阶导数，即可获得机构输入、输出间的速度和加速度关系。 (3) 单环闭链空间连杆机构的运动设计 空间连杆机构设计的基本问题与平面连杆机构类似，例如对于单环闭链空间连杆机构，常要求其实现刚体导引、函数生成或轨迹生成；而对于开链机器人机构和并联机器人机构，通常是以其执行构件具有较大的作业空间为设计要求。下面仍以图1.7所示RSSR空间四杆机构为例，简要说明其实现两连架杆对应位置的运动设计。 该机构可供设计的结构尺寸参数有7个，即及，因此最多可实现两连架杆七组对应位置。若按两连架杆三组对应位置设计时，可预先选定四个参数，再按设计要求确定其余三个参数。例如，预定、及四个参数，求。 将预定参数和两连架杆对应位置参数代入机构位移方程，可得仅含变量的三个方程，将其联立求解，即可得待设计的参数。 若给定更多组两连架杆对应位置，其设计方法与上述类似。