煤炭协会网络课程《误差理论与测量平差》复习题.docx

煤炭协会网络课程误差理论与测量平差复习题一、 写出五种衡量精度指标的名称，并指出他们之间的关系是什么？答：五种衡量精度指标的名称：方差或中误差，平均误差，或然误差，相对误差和极限误差； 关系：方差，平均误差，或然误差，相对误差，极限误差=2或3。二、 已知独立观测值、的中误差分别为、，求下列函数的中误差： （1） ； （2） ； （3） 。解 (1) =，利用协方差转播公式：（2），此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：利用协方差转播公式： （3），此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：三、 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于，欲使平差后线路中点高程中误差不大于，问该路线长度最多可达几公里？ 解 设路线总长S公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差 由于是路线中点，故则线路中点高程设每公里高差观测中误差为，则按误差传播定律四、 设点及点的坐标为： 向量的协方差阵为：(cm)2试求坐标差函数与的方差协方差阵；解：则坐标差函数与的方差协方差阵：五、 有三角网（如图1），其中、为已知点，、为待定点，观测角（=1，2，10）。试写条件方程式并对非线性的条件方程进行线性化； 图1 解：本题，观测值个数为10个，必要观测个数是6个（3个未知点），可以列4个条件，分别为2个三角图形条件、1个圆周角条件、1个极条件。2个三角图形条件：1个圆周角条件：1个极条件：这个极条件为：利用泰勒级数展开并取至一次项，经过推导可以得到以下规律，（总结其规律性）六、 在图2中,是已知点, 为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为，边长测量中误差为cm，试用符号表示12号观测角和18号观测边的误差方程（线性化）和权。hjk图2解：根据一般公式：该式子是是对应上面的图形，针对本题的12号观测角，则：kj边长：该式子是是对应上面的图形，针对本题的18观测边，则：七、 已知观测值的协因数阵为，求条件平差。解：根据条件平差的基础方程，建立平差值与观测值之间的关系式子因为，在条件平差中：八、 已知观测值的协因数阵为，求间接平差。解：根据间接平差的基础方程，建立平差值与未知数之间的关系式子在间接平差中：法方程为：则由于，则九、 写出所学过的四种经典平差方法的名称和各自的特点以及适用的条件。解：条件平差法是一种不选任何参数的平差方法，通过列立观测值的平差值之间满足r个条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r个，法方程的个数也为r个，通过平差可以直接求得观测值的平差值，是一种基本的平差方法。但该方法相对于间接平差而言，精度评定较为复杂，对于已知点较多的大型平面网，条件式较多而列立复杂、规律不明显。附有参数的条件平差需要选择u个参数，且u<t,参数之间要求必须独立，通过列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r+u个，法方程的个数为r+u个。常适合于下述情况：需要求个别非直接观测量的平差值和精度时，可以将这些量设为参数；当条件方程式通过直接观测量难以列立时，可以增选非观测量作为参数，以解决列立条件式的困难。间接平差需要选择u=t个参数，而且要求这t个参数必须独立，模型建立的方法是将每一个观测值表示为所选参数的函数，方程的个数为c=r+u=n个，法方程的个数为t个，通过解算法方程可以直接求得参数的平差值。最大的优点是方程的列立规律性强，便于用计算机编程解算；另外精度评定非常便利；再者，所选参数往往就是平差后所需要的成果。如水准网中选待定点高程作参数，平面网中选待定点的坐标作参数。由于r+t=n，说明条件平差与间接平差的法方程个数之和等于观测值个数，因此，当某一平差问题的r与t相差较大时，若r<t,通常采用条件平差；若r>t，则采用间接平差，这样就可保证法方程的阶数较少。附有条件的间接平差与间接平差类似，不同的是所选参数的个数u>t，但要求必须包含t个独立参数，不独立参数的个数为s=u-t个，因此，模型建立时，除按间接平差法对每一个观测值列立一个方程外，还要列出参数之间所满足的s个限制条件方程，方程的总数为c=r+u=n+s个，法方程的个数为u+s个。十、 已知某平面控制网经平差后点的坐标协因数阵为：，单位权方差，（1）试求极值方向和，极大值和极小值；（2）求与X轴夹角成方向的位差，以及与极大值方向夹角成方向的位差。解：（1）极值方向的计算与确定所以，因为所以极大值在二、四象限，所以有方法一：直接利用公式一计算：，方法二：利用公式二进行计算：，两种方法计算的相同。（2）将直接代入公式：十一、 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。答：系统误差：钢尺的名誉长度与实际长度不一致；尺不水平，尺反曲或垂曲，尺端偏离直线方向；水准测量中仪器下沉，水准测量中水准尺竖立不直。偶然误差：角度测量时读数不准确，瞄准目标不准确，对中误差，整平误差，钢尺上估读误差。十二、 已知观测值及其协方差阵，组成函数和，、为常数阵，求协方差阵、和。解：由于则：十三、 有一角度测20测回，得中误差，问再增加多少测回，其中误差为？ 解：设每个测回的中误差为，需要再增加n个测回，则由上式可解出n.即再增加25个测回十四、 在图1中，A，B点为已知水准点，P1，P2，P3，P4为待定水准点，观测高差向量为，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。 （10分）A图1h3h1P1P3P2P4Bh2h4h6h5h7h8 图22解： n=8, t=4, r = n-t = 4，可以列4个条件方程式。十五、 在如图2的水准网中，为已知水准点，为待定点，观测高差向量为，现选取点高程为未知参数，试列出间接平差的函数模型。解：n=5,t=3,r=n-t=2十六、 已知观测值的协因数阵为，求间接平差。解：根据间接平差的基础方程，建立平差值与未知数之间的关系式子在间接平差中：法方程为：则十七、 简述条件平差方法和间接平差方法的各自特点以及适用的条件。解：条件平差法是一种不选任何参数的平差方法，通过列立观测值的平差值之间满足r个条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r个，法方程的个数也为r个，通过平差可以直接求得观测值的平差值，是一种基本的平差方法。但该方法相对于间接平差而言，精度评定较为复杂，对于已知点较多的大型平面网，条件式较多而列立复杂、规律不明显。间接平差需要选择u=t个参数，而且要求这t个参数必须独立，模型建立的方法是将每一个观测值表示为所选参数的函数，方程的个数为c=r+u=n个，法方程的个数为t个，通过解算法方程可以直接求得参数的平差值。最大的优点是方程的列立规律性强，便于用计算机编程解算；另外精度评定非常便利；再者，所选参数往往就是平差后所需要的成果。如水准网中选待定点高程作参数，平面网中选待定点的坐标作参数。由于r+t=n，说明条件平差与间接平差的法方程个数之和等于观测值个数，因此，当某一平差问题的r与t相差较大时，若r<t,通常采用条件平差；若r>t，则采用间接平差，这样就可保证法方程的阶数较少。 十八、 简述偶然误差的四个特性。答：1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零，称为“有界性”。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，称为“密集性”。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同，称为“对称性”。4.偶然误差的数学期望为零，即：。换句话说，偶然误差的理论平均值为零，称为“趋零性”。十九、 设有函数，其中， 、是无误差的常数，的权为，。求函数的权倒数。解： 由题意可求出即：同理可得：二十、 已知观测值向量，其协因数阵为单位阵。有如下方程：，式中：为已知的系数阵，为可逆矩阵。求（1）协因数阵、；（2）证明与和均互不相关。解：(1)L 的协因数阵为单位阵E. (2).因为 V=BX-L,因为 （图2）二十一、 在图2中所示的水准网中，各路线的观测高差如下：；，；，已知，若选择，试列出误差方程式。解：n=6,t=3,u=t.由间接平差得：由于，令代入具体数据得： ，改正数单位（mm）二十二、 已知观测值的协因数阵为，求条件平差。解：根据条件平差的基础方程，建立平差值与观测值之间的关系式子因为，在条件平差中：根据协因数转播定律：