中职数学71平面向量的概念及线性运算ppt课件.ppt
第七章平面向量,7.平面向量的概念及线性运算,创设情境兴趣导入,如图所示,用100N的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗?,动脑思考探索新知,如力、速度、位移等,加箭头,记作 ,的向量记作,在数学与物理学中,有两种量只有大小,没有方向的量,量做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量),,通常使用有向线段来表示向量线段箭头的指向表示向量的方向,,线段的长度表示向量的大小,如右图所示,有向线段的起点叫做向量的起点,有向线,段的终点叫做向量的终点以A为起点,B为终点,也可以使用小写英文字母,印,刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面,我们经常用箭头来表示方向,带有方向的线段叫做有向线段,动脑思考探索新知,向量的大小叫做向量的模向量a,的模依次记作,模为零的向量叫做零向量记作0,,零向量的方向是不确定的,模为1的向量叫做单位向量,如力、速度、位移等,在数学与物理学中,有两种量只有大小,没有方向的量,做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量),,例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处朝北偏东45方向飞行200km, 两架飞机的位移相同吗?分别用有向线段表示两架飞机的位移,解位移是向量虽然这两个向量的模相等,但是它们的方向不,同,所以两架飞机的位移不相同两架飞机位移的有向线段表示分别,为图中的有向线段a 与b,a,b,A,巩固知识典型例题,想一想,巩固知识典型例题,说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量 (小方格边长为1),动脑思考探索新知,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量,向量a与向量b平行记作a/b,规定:零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此相互平行的向量又叫做共线向量,动脑思考探索新知,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量,向量a与向量b平行记作a/b,规定:零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此相互平行的向量又叫做共线向量,想一想,下图中,哪些向量是共线向量?,动脑思考探索新知,向量只有大小与方向两个要素当向量a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量a与向量b相等,记作a = b ,与非零向量的模相等,且方向相反的向量叫做向量的负向量,记作 a,规定:零向量的负向量仍为零向量,例2在平行四边形ABCD中(图75),O为对角线交点,巩固知识典型例题,要结合平行四边形的性质进行分析两个向量相等,它们必须是方向相同,模相等;两个向量互为负向量,它们必须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反,例2在平行四边形ABCD中(图74),O为对角线交点,巩固知识典型例题,解 由平行四边形的性质,得,(1),(2),(3),运用知识强化练习,2如图,O点是正六边形ABCDEF的中心,试写出,创设情境兴趣导入,王涛同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到,达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60角方向行,走200 m到达学校(C处)(如,总效果是从家(A处)到达了学,图)王涛同学这两次位移的,校(C处),动脑思考探索新知,A,C,B,a,b,a+b,a,b,一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A,记作ab ,即,(71),求向量的和的运算叫做向量的加法上述求向量的和的方法,叫做向量加法的三角形法则,动脑思考探索新知,(1)ab与ba相等吗?请画出图来说明,(2)如果向量a和向量b共线,如何画出它们的和向量?,想一想,动脑思考探索新知,如图所示,ABCD为平行四边形,由于,根据三角形法则得,的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则,平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质:,(1) a0 = 0a=a; a( a)= 0;,(2) ab = ba;,(3) (ab) c = a (bc),巩固知识典型例题,例3 一艘船以12 km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为5 km/h,求该船的实际航行速度,速度,由向量加法的平行四边形法则,,是船的实际航行速度,显然,=13,利用计算器求得,即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线的夹角约,巩固知识典型例题,例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k,两条,,求物体受到沿两条绳子的方向的,绳子的方向与垂线的夹角为,解 利用平行四边形法则,可以得到,所以,动脑思考探索新知,想一想,根据例题4的分析,判断在单杠上悬挂身体时,两臂,成什么角度时,双臂受力最小?,运用知识强化练习,计算:,动脑思考探索新知,与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义,为向量a与向量b的差即,a b = a(b),即,(72),观察图可以得到:起点相同的,个向量,其起点是减向量b的终点,,两个向量a、 b,其差a b仍然是一,终点是被减向量a的终点,设a , b ,则,a,巩固知识典型例题,例5 已知如图所示向量a 、b ,请画出向量a b,B,b,O,A,b,a,解 如图所示,以平面上任一点O,= a b ,运用知识强化练习,计算:,创设情境兴趣导入,3a是一个向量,其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍,即,|3a| = 3|a| ,观察下图可以看出向量 与向量a共线,并且,a,动脑思考探索新知,(73),(74),由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当 时,有,时, a的方向与a的方向相反,动脑思考探索新知,一般地,有,数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于,向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中但是,要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的,做一做,请画出图形来,分别验证这些法则,巩固知识典型例题,b,试用a, b表示向量 、,因为O分别为AC,BD的中点,所以,可以用向量a,b线性表示,巩固知识典型例题,向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算,运用知识强化练习,计算:,(1)3(a 2 b) 2(2 ab);,(2)3 a 2(3 a 4 b)3(a b),(1) a 8b ;(2)5b ,当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、位移等,这种量叫做向量(矢量) 向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次记作,向量a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量a与向量b相等,记作a = b ,自我反思目标检测,自我反思目标检测,作 业,继续探索活动探究,