初中数学知识点图形与几何图形的性质角的概念.ppt

初中数学知识点图形与几何图形的性质角的概念,初中数学知识点图形与几何图形的性质角的概念,角的概念及分类,角的概念及分类内容角静态定义有公共端点的两条射线组成的图形叫,知识解读（1）角的两边是射线，而非线段，因此角的大小与角的两,巧记乐背,两条射线共端点，组成角的两条边；也可看成一射线，绕其端点来旋转.起始位置叫始边，终止位置叫终边；转了半圈叫平角，转了一整圈叫周角.,巧记乐背两条射线共端点，,角的分类 角按度数可分为五类：其中，大于0而小于90的角叫作锐角，如图4-3.1-1（1）；等于90的角叫作直角，如图4-3.1-1（2）；大于90而小于180的角叫作钝角，如图4-3.1-1（3）；等于180的角叫作平角，如图4-3.1-1（4）；等于360的角叫作周角，如图4-3.1-1（5）.,角的分类,图4-3.1-1,图4-3.1-1,例1 下列说法：两条射线所组成的图形叫作角；一条射线旋转而成的图形叫作角； 一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫作平角；平角是一条直线.其中正确的有（ ）,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,A,例1 下列说法：两条射线所组成的图形叫作角；一条射线旋,解析：没有说明两条射线是否有公共端点，故错误；角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故错误；正确；因为平角属于角的一种，它具有角的顶点、角的两边，直线很显然不具备这些条件，故错误.故选A.,解析：没有说明两条射线是否有公共端点，故错误；角是由一条射,严格按照角的概念进行判断，尤其注意角的两条边是具有公共端点的两条射线.,严格按照角的概念进行判断，尤其注意角的两条边,角的表示方法,角的表示方法角的表示适用范围图例用三个大写英文字母表示任何情,用一个阿拉伯数字表示任何情况都适用，在角的内部靠近顶点处画上,知识解读(1)当用三个大写字母或用一个大写字母表示角时，靠近,巧记乐背,角的表示方法多，相应注意事项多；三个字母最常用，顶点字母要居中.,巧记乐背角的表示方法多，,例2 利用不同的方法表示出图4-3.1-2中的每个角.（只表示小于平角的角）,图4-3.1-2,例2 利用不同的方法表示出图4-3.1-2中的每个角.（只,解： 在图4-3.1-2（1）中，ABC还可表示为B或，ACB还可表示为C或1，BAC还可表示为A或2； 在图4-3.1-2（2）中，AOB还可表示为1，BOC还可表示为4，AOD还可表示为2，DOC还可表示为3.,解： 在图4-3.1-2（1）中，ABC还可表示为B,在表示角时，首先要明确所表示的角，其次要熟悉角的四种表示方法，还要注重简便.,在表示角时，首先要明确所表示的角，其次要熟悉角的四种,角的测量方法与画法,角的测量方法与画法内容角的测量方法最常用的方法是用量角器来测,制角度的换算1周角=360，1周角=2平角=4直角；角的画,知识解读（2）转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错；,巧记乐背,一度等于六十分，一分等于六十秒；周角三百六十度，正好等于两平角；一个直角九十度，个个不多也不少.,巧记乐背一度等于六十分，,“度”与“度、分、秒”之间的换算方法 把“度”换算为“度、分、秒”时，先把不足1度的部分化为分，再把不足1分的部分化为秒； 把“度、分、秒”换算为“度”时，先把以秒为单位的部分化为分，再把以分为单位的部分化为度.,“度”与“度、分、秒”之间的换算方法,解：18.29=18+0.29=18+0.2960=18+17.4=18+17+0.4=18+17+0.460=18+17+24=181724.,例3 把18.29转化为用度、分、秒表示的形式，把112436转化为用度表示的形式.,112436=11+24+（3660）=11+24+0.6=11+24.6=11+（24.660）=11+0.41=11.41.,解：18.29=18+0.29例3 把18.29转,度、分、秒相邻两单位之间是60进制.大单位化小单位对应乘60，小单位化大单位对应除以60.,度、分、秒相邻两单位之间是60进制.大单位化小单位对,对表示角的方法不清楚而致错,例4 如图4-3.1-3，下列说法正确的是（ ）1就是A，2就是B，3就是C，4就是D. A. B. C. D.只有,图4-3.1-3,D,对表示角的方法不清楚而致错例4 如图4-3.1-3，下列说法,解析：1的顶点处有三个角，不能用一个大写字母表示，故错误；2的顶点处只有一个角，能用一个大写字母表示，故正确；同样3，4也不能用一个大写字母表示，故错误.故选D.,解析：1的顶点处有三个角，不能用一个大写,本题易忽略“如果用一个大写英文字母表示角时，该角的顶点处只能有一个角”，而误认为的说法也正确，错选C.,本题易忽略“如果用一个大写英文字母表示角时，,在进行角度单位的换算时，按10进制转换，造成计算错误,例5 （1）把26.19转化为用度、分、秒表示的形式；（2）把331424转化为用度表示的形式.,在进行角度单位的换算时，按10进制转换，造成计算错误例5 （,解：(1)26.19=26+0.19=26+（0.1960）=26+11.4=26+11+（0.460）=2611+24=261124.(2)331424=33+14+ =33+14+0.4=33+14.4=33+ =33.24.,解：(1)26.19=26+0.19=26+（0.1,本题易忘记度、分、秒相邻两单位之间是60进制的，而按照10进制进行单位换算，得到错误结果：（1）26.19=2619，（2）331424=34.64.,本题易忘记度、分、秒相邻两单位之间是60进制的,题型一 数角的个数,例6 图4-3.1-4中有多少个小于平角的角？请用适当的方法把它们表示出来.,图4-3.1-4,题型一 数角的个数例6 图4-3.1-4中有多少个小于,思路导图,分别找出以点A，B，C，D为顶点的角,用较简单的方法分别表示每一个角,把不同顶点的角的个数相加，便得题图中的角的总个数,思路导图分别找出以点A，B，C，D为顶点的角用较简单的方法分,解：以点A为顶点的角有1个，以点B为顶点的角有3个，以点C为顶点的角有3个，以点D为顶点的角有1个，共有8个角. 它们分别是A，1，2，ABC，ACB，BDC.,解：以点A为顶点的角有1个，以点B为顶点的角,方法点拨： 数角的个数时，先要找到角的顶点，若从顶点出发的射线有2条则只有1个角，若从顶点出发的射线有2条以上则肯定有多个角.,方法点拨：,题型二 与钟表有关的角度问题,例7 在某天由13:15到13:54，时钟的时针和分针转过的角度分别是多少？,角度a 指针旋转的角度问题,题型二 与钟表有关的角度问题例7 在某天由13:15到1,(54-15) 60=19.5，分针转过的角度为(54-15) =234.,解：时针转过的角度为,解：时针转过的角度为,方法点拨,解答指针旋转角度问题时，要熟记以下几个量：（1）时针每小时转动 =30，时针每分钟转动 =0.5；（2）分针每小时转动360，分针每分钟转动 =6.,方法点拨 解答指针旋转角度问题时，要熟记以下几个量：（1,例8 如图4-3.1-5，在15:25时，钟面上的时针和分针所构成的角是多少度？,角度b 指针夹角的问题,图4-3.1-5,例8 如图4-3.1-5，在15:25时，钟面上的时针和分,思路导图,将起始时刻定为15：00，此时时针和分针所构成的角是90,从15：00到15：25，分别算出时针和分针转过的角度,通过加减运算，求出在15:25时时针和分针夹角的度数,思路导图将起始时刻定为15：00，此时时针和分针所构成的角是,解：将起始时刻定为15:00（下午3点整时），此时时针和分针构成的角是90，将终止时刻定为15:25，从图4-3.1-5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，即分针转了625=150，时针转了0.525=12.5，所以在15:25时，钟面上的时针和分针所构成的角为150-90-12.5=47.5.,解：将起始时刻定为15:00（下午3点整时），此时时针和分针,解读中考：,本节内容在中考中涉及的知识点主要有角的测量方法和度、分、秒的换算，题型有选择题和填空题，难度较小.,解读中考： 本节内容在中考中涉及的知识点主要有角的测量,例9 （北京中考）如图4-3.1-6，用量角器测量AOB，可以读出AOB的度数为（ ）,A.45 B.55 C.125 D.135,图4-3.1-6,B,考点一 角的测量,例9 （北京中考）如图4-3.1-6，用量角器测量AOB,解析：由题图可知，AOB的度数为55.故选B.,解析：由题图可知，AOB的度数为55.故选B.,例10 （广西百色中考）下列关系式正确的是（ ） A.35.5=355 B.35.5=3550 C.35.5355 D.35.5355,解析：因为35.5=3530，而3530355， 所以35.5355.故选D.,D,考点二 度、分、秒的换算,例10 （广西百色中考）下列关系式正确的是（ ）,例11 （四川雅安中考）1.45=_.,解析：1.45=60+(0.4560)=87.,87,例11 （四川雅安中考）1.45=_.解析,核心素养,例12 (1)当过点O的射线有3条时，如图4-3.1-7（1），则图中共有_个角，它们分别是_.(2)当过点O的射线有4条时，如图4-3.1-7（2），则图中共有_个角，它们分别是_.(3)当过点O的射线有5条时，如图4-3.1-7（3），则图中共有_个角，它们分别是_.,AOCAODAOEAOBCODCOECOBDOEDOBEOB,3,AOCAOBCOB.,6,AOCAODAOBCODCOBDOB.,10,核心素养例12 (1)当过点O的射线有3条时，如图4-3,(4)当过点O的射线有n（n为大于3的正整数）条时，请你猜想图中共有_个角，并简述理由.,解：（1）3 AOCAOBCOB.（2）6 AOCAODAOBCODCOBDOB.（3）10.AOCAODAOEAOBCODCOECOBDOEDOBEOB.,(4)当过点O的射线有n（n为大于3的正整数）条时，请你猜想,(4) 理由如下：由(1)(2)(3)小题可知， ， 由此猜想当过点O的射线有n（n为大于3的正整数）条时，则图中共有 个角.,(4) 理由如下,角的比较与运算,角的比较与运算,比较角的大小的方法,内容角的比较方法测量法先用量角器量出角的度数，再比较其大小叠,知识解读（1）角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的，这是,巧记乐背,比较两个角大小，通过测量可分晓；若用叠合来比较，“重合”“同侧”要记牢；若是差别比较大，估测也能比大小.,巧记乐背比较两个角大小，,例1 不用量角器，比较图4-3.2-1和图4-3.2-2中角的大小.（用“”连接）,图4-3.2-1,图4-3.2-2,例1 不用量角器，比较图4-3.2-1和图4-3.2-2中,分析：图4-3.2-1中和均为锐角，因此，在不测量的情形下，我们可以将图中的向平移，使与的顶点和一边重合，观察另一边的位置来比较角的大小.图4-3.2-2中的三个角按角的分类，1为锐角，2为直角，3为钝角，因此通过估测可直接比较出它们的大小.,图4-3.2-3,分析：图4-3.2-1中和均为锐角，因此，在不测量的,解：如图4-3.2-3，将向平移，使与的顶点和一边重合，观察另一边的位置，发现落在内部，因此. 由图4-3.2-2可知，1为锐角，即121.,解：如图4-3.2-3，将向平移，,在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的大小有两种方法:一种是运用典型的“叠合法”比较大小；另一种是运用“估测法”，按照常见的“锐角直角钝角平角周角”来比较大小.,在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的大小有两种方,角的和、差、倍、分,图4-3.2-4,角的和、差、倍、分内容角的和差如图4-3.2-4.图4-3.,图4-3.2-5,角的倍分如图4-3.2-5.图4-3.2-5,知识解读（1）角的和、差是指角的度数的和、差；（2）因为度、,例2 用一副三角尺，你能画出哪些大于0而小于180的角？,解：用一副三角尺可直接画出的角有30，45，60和90. 因为15=45-30(或60-45)，所以可采用一副三角尺画出15的角.图4-3.2-6具体操作步骤：如图4-3.2-6，先用含45角的三角尺画出45的AOB，再在AOB的内部用含30角的三角尺画出30的AOC，则BOC=15.,例2 用一副三角尺，你能画出哪些大于0而小于180的角,同理，因为75=45+30,105=45+60,120=60+60,135=45+90,150=90+60,165=180-45+30，所以用一副三角尺可以画出15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，165的角.,同理，因为75=45+30,105=45+60,一副三角尺上的角都是特殊角，将这些角进行加减运算，可得到其他的角，也就是一副三角尺可画出的角.,一副三角尺上的角都是特殊角，将这些角进行加减运算，可,角的平分线,角的平分线内容角的平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角,巧记乐背,角平分线是射线，角的顶点是端点；位置总在角内部，把角等分是特点.,巧记乐背角平分线是射线，,角的三等分线和四等分线 如果射线OP，OC在AOB的内部，且BOC= COP =AOP= AOB，那么OP，OC是AOB的三等分线；如果射线OM，ON，OQ在AOB的内部，且BOM=MON=NOQ=AOQ= AOB，那么OM，ON，OQ是AOB的四等分线.,角的三等分线和四等分线,例3 如图4-3.2-7，已知OC平分BOD，且BOC=20，OB是AOD的平分线，求AOD的度数.,图4-3.2-7,解：因为OC平分BOD，且BOC=20，所以BOD=2BOC=220=40.又因为OB是AOD的平分线，所以AOD=2BOD=240=80.,例3 如图4-3.2-7，已知OC平分BOD，且BOC,已知OB是AOC的平分线，则可得（1）AOB=BOC= AOC；（2）AOC=2AOB=2BOC，在解题时要灵活运用其关系.,已知OB是AOC的平分线，则可得,关于角的和差的无图计算题，未进行分类讨论而漏解,例4 已知AOB=20，BOC=30，求AOC的度数.,图4-3.2-8,关于角的和差的无图计算题，未进行分类讨论而漏解例4 已知,解：本题有两种情况：当OB在AOC的内部时，如图4-3.2-8（1），AOC=AOB+BOC=20+30=50；当OB在AOC的外部时，如图4-3.2-8（2），AOC=BOC-AOB=30-20=10.综上所述，AOC的度数为50或10.,解：本题有两种情况：,本题易只考虑到一种情况，仅得到AOC=50，或仅得到AOC=10.,本题易只考虑到一种情况，仅得到AOC=50,对角平分线的概念理解不透彻而导致错误,例5 如果AOB=2BOC，那么OC一定是AOB的平分线吗？,图4-3.2-9,对角平分线的概念理解不透彻而导致错误例5 如果AOB=2,解：当AOB=2BOC=2AOC时，如图4-3.2-9（1），OC是AOB的平分线； 而只有条件AOB=2BOC时，OC不一定是AOB的平分线，如图4-3.2-9（2）.,解：当AOB=2BOC=2AOC时，,本题易受思维定式的影响，根据题干画图只画出了第一种情况，误以为OC一定是AOB的平分线.,本题易受思维定式的影响，根据题干画图只画出了,题型一 角的大小比较,6,例6 如图4-3.2-10，解答下列问题：(1)比较FOD与FOE的大小；(2)借助三角尺比较DOE与BOF的大小；(3)借助量角器比较AOE与DOF的大小.,题型一 角的大小比较6例6 如图4-3.2-10，解答下列,图4-3.2-10,图4-3.2-10,思路导图,(1)根据叠合法进行比较,(3)利用量角器分别量得AOE与DOF的度数,进而比较大小,(2)利用三角尺量得DOE45,BOF45,进而得出结论,思路导图(1)根据叠合法进行比较(3)利用量角器分别量得A,解：（1）FOD45，BOFBOF.(3)用量角器量，得AOE=30，DOF=30，所以AOE=DOF.,解：（1）FODFOE.,方法点拨： 本题用了三种方法比较角的大小，一般需根据具体情况选择合适的方法来比较.叠合法在具体运用时不是很方便，因此在某些情况下，常利用题图中的“同边”构造叠合法.,方法点拨：,题型二 角的代数计算,例7 计算：（1）4839+6731；（2）78-473456；（3）22165；（4）42155.,题型二 角的代数计算例7 计算：,解：（1）4839+6731=11570=11610.（2）78-473456=775960473456=30254.（3）22165=225+165=11080=11120.（4）42155=8+2155=8+1355=827.,解：（1）4839+6731=11570,方法点拨： 在进行角的加减运算时，应把度与度、分与分、秒与秒分别相加减，并在运算中注意进位或借位的进率都是60；当角度乘某数时，要分别与度、分、秒相乘，然后按进率60整理相乘结果；当角度除以某数时，要先把度相除并把余数化为分，再与分相除并把余数化为秒，最后与秒相除.,方法点拨：,题型三 几何图形中角的和、差、倍、分计算,例8 如图4-3.2-11，DOEBOE=12，DOCCOA=12，如果AOB=120，那么COE是多少度？,图4-3.2-11,题型三 几何图形中角的和、差、倍、分计算例8 如图4-3.,解：因为DOEBOE=12，DOE+BOE=BOD，所以DOE= BOD.因为DOCCOA=12，DOC+COA=AOD，所以DOC= AOD.因为AOB=AOD+BOD=120，所以COE=DOE+DOC= BOD+ AOD= （BOD+AOD）= AOB=40.,解：因为DOEBOE=12，DOE+BOE=B,方法点拨： 在几何图形中进行角的计算时，首先仔细观察图形，弄清各角之间的和、差、倍、分关系；然后看根据已知角的度数能否直接求出未知角的度数，若能可直接计算，若不能可将角的和差作为一个整体，如此题，不能单独求出BOD和AOD的度数，将“BOD+AOD”作为整体，便找到了其与已知AOB的关系，进而求出结果.,方法点拨：,题型四 求折叠图形中角的度数,例9 如图4-3.2-12，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D，C的位置上，ED与BC的交点为G，若EFG=55，求GFC的度数.,图4-3.2-12,题型四 求折叠图形中角的度数例9 如图4-3.2-12，,思路导图,由EFG=55，EFG与EFC的和是180，可求得EFC的度数,求出EFC与EFG的差，便得GFC的度数,由折叠的性质，可知EFC与EFC的度数相等,思路导图由EFG=55，EFG与EFC的和是180,解：因为EFG=55，EFG+EFC=180，所以EFC=180-EFG=180-55=125.由折叠的性质知EFC=EFC=125.所以GFC=EFC-EFG=125-55=70.,解：因为EFG=55，EFG+EFC=180，,把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互重合的角，这个现象说明：如果把折叠后互相重合的两个角展开并看成一个角，那么折痕是这个角的平分线，这是折叠图形的一个显著特点，求折叠图形中角的度数时常利用这个特点.,知识链接,把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互重合,解读中考：,本节内容在中考中的考点主要有：（1）角的大小比较，一般结合圆周角（后面学习）考查，单独命题的几率很小；（2）角的和、差、倍、分计算，常与折叠结合考查，题型有选择题和填空题；（3）角的平分线的定义，常融合于角的计算中，不会单独考查.,解读中考： 本节内容在中考中的考点主要有：,例10 （浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.在图4-3.2-14的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）A.点CB.点D或点EC.线段DE(异于端点)上一点D.线段CD(异于端点)上一点,图4-3.2-14,C,考点一 角的大小比较,例10 （浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射,解析：如图4-3.2-15，连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通过测量各角的度数可知，射点在线段DE上时角最大，射点在点D右上方或点E左下方时角度较小.故选C.,图4-3.2-15,解析：如图4-3.2-15，连接BC，AC，BD，AD，AE,例11 （湖北恩施中考）已知AOB=70，以O为端点作射线OC，使AOC=42，则BOC的度数为（ ） A.28 B.112 C.28或112 D.68,C,考点二 角的和、差、倍、分计算,例11 （湖北恩施中考）已知AOB=70，以O为端点作,图4-3.2-17,图4-3.2-17,解析：如图4-3.2-17，当点C与点C1重合时，BOC=AOB-AOC=70-42=28；当点C与点C2重合时，BOC=AOB+AOC=70+42=112.,解析：,核心素养,例12 已知AOB=90，OC为一条射线，OM，ON分别平分BOC，AOC，求MON的度数.,分析：由于本题没有指明OC在AOB的内部还是外部，因此应分情况讨论.解：当OC在AOB的内部时，如图4-3.2-18（1）.因为OM，ON分别平分BOC，AOC，所以COM= BOC，CON= AOC.因为AOB=AOC+BOC=90，,核心素养例12 已知AOB=90，OC为一条射线，OM,所以MON=CON+COM= AOC+ BOC= （AOC+BOC）= AOB=45.当OC在AOB的外部时，如图4-3.2-18（2）.因为OM，ON分别平分BOC，AOC，所以COM= BOC，CON= AOC.因为AOB=BOC-AOC=90，所以MON=COM-CON= BOC- AOC= （BOC-AOC）= AOB=45.综上所述，MON的度数为45.,所以MON=CON+COM= AOC+,图4-3.2-18,图4-3.2-18,方法点拨： 当题目中没有给出图形时，应根据题意画出图形，考虑到所有可能出现的情况，分情况讨论解题.,方法点拨：,余角与补角,余角与补角,余角和补角的概念,余角和补角的概念内容余角如果两个角的和等于90（直角），就,知识解读(1)互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果三,巧记乐背,余角补角不孤独，它们总是成对出；和为直角称互余，和为平角称互补.,巧记乐背余角补角不孤独，,例1 如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，AOC=BOC=DOE=90. (1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？(2)1的余角是哪个？(3)1的补角是哪个？,图4-3.3-1,例1 如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，AOC=,解：（1）因为AOC=BOC=DOE=90，所以1+2=90，3+4=90，2+3=90，1+4=90.所以图中互为余角的角有4对，分别是1与2，3与4，2与3，1与4.(2)由1+2=90，1+4=90，得1的余角是2和4.（3）由1+BOD=180，得1的补角是BOD.,解：（1）因为AOC=BOC=DOE=90，,不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.,不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事实上，互余或,余角和补角的性质,余角和补角的性质内容余角的性质同角（等角）的余角相等补角的性,巧记乐背,同、等角的余角相等，同、等角的补角相等；运用的依据都相同，图形之中找等角.,巧记乐背同、等角的余角相等，,例2 如图4-3.3-2，直线AB与COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，1+2=180，找出图中与2相等的角，并说明理由.,分析：图中连同1和2在内总共有9个角(小于平角的角)，2是个锐角，1，5，6，8是钝角，这4个角显然不可能与2相等，再逐一判断3，4，7，O是否与2相等即可.,图4-3.3-2,例2 如图4-3.3-2，直线AB与COD的两边OC，O,解：2=7，2=4，2=3.理由如下：因为2+8=180，7+8=180（平角的定义），所以2=7（同角的补角相等）.因为1+3=180（平角的定义），1+2=180（已知），所以2=3（同角的补角相等）.因为1+4=180（平角的定义），1+2=180（已知），所以2=4（同角的补角相等）.,解：2=7，2=4，2=3.,“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的补角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的情况下使用起来更简捷.,“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的补角相等,方位角,方位角内容方位角为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式，,知识解读只用东、西、南、北四个方向中的任意一,巧记乐背,方位角表示方向，习惯南、北放在前；多用偏字表旋转，测得度数知方向.,巧记乐背方位角表示方向，,例3 如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中的方位填空.,图4-3.3-3,例3 如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中,（1）射线OA表示_；（2）射线OB表示_；（3）射线OC表示_；（4）射线OD表示_；（5）射线OE表示_.,解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC，OD为一类，表示形式为“偏”，其中注意OC与OD中角度的转化；射线OB，射线OA各为一类.,正南方向,北偏西45或西北方向,南偏西60方向,南偏东70方向,北偏东30方向,（1）射线OA表示_,误认为多个角的和为90或180时，也称其为互余或互补,例4 如图4-3.3-4，O是直线AB上一点，赵敏说：“因为1，2，3，4四个角组成一个平角，所以它们互为补角.”你认为这种说法正确吗？为什么？,图4-3.3-4,误认为多个角的和为90或180时，也称其为互余或互补例4,解：这种说法不正确.因为补角特指两个角之间的一种特殊关系.根据补角的概念可知，当多个角的和等于180时，不能称其互为补角.,解：这种说法不正确.因为补角特指两个角之间的一种,若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，本题易误认为正确.,若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，本题易误认,根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题不全面,例5 如图4-3.3-5，AB与CD交于点O，且AOE=COF=90，AOC=30，则图中30的角还有哪几个？,图4-3.3-5,根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题不全面例5 如图,解：因为BOD+BOC=AOC+BOC=180，所以BOD=AOC=30.又因为EOF+COE=AOC+COE=90，所以EOF=AOC=30.所以图中30的角还有BOD，EOF.,解：因为BOD+BOC=AOC+BOC=180，所,只观察AOC与BOD是BOC的补角，根据同角的补角相等得出答案，未考虑AOC与EOF是COE的余角，从而造成漏解.,只观察AOC与BOD是BOC的补角，根据同角的,对方位角的概念理解不清楚,例6 图4-3.3-6如图4-3.3-6，从点B看点A，点A所在的方向为（ ） A.南偏东58 B.北偏西32 C.南偏东32 D.东偏南58,解析：根据题意，可知点B是基准点，则点A的方位角是58的余角，即南偏东32.故选C.,C,对方位角的概念理解不清楚例6 图4-3.3-6如图4-3.,错解：不理解方位角是哪个角而误选A；不理解方位角的表示形式具有规定性而误选D；不理解A，B两点中哪个点是基准点而误选B.,易错总结,错解：不理解方位角是哪个角而误选A；不理解,例7 （1）已知=5017，求的余角和补角； （2）已知的余角是651746，求及的补角.,题型一 有关余角和补角的计算,角度a 求一个角的余角或补角,例7 （1）已知=5017，求的余角和补角；题型,解：(1)因为90-5017=3943，180-5017=12943，所以的余角是3943，补角是12943.(2)因为90-651746=895960-651746=244214，180-244217=1795960-244214=1551746，所以是244214，的补角是1551746.,解：(1)因为90-5017=3943，180-,已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可，但要注意相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制.,方法点拨：,已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接,角度b 余角和补角的综合运算,例8 一个角的余角比这个角的补角的一半小30，求这个角的度数.,角度b 余角和补角的综合运算例8 一个角的余角比这个角的补,解：设这个角为x，则这个角的余角为(90-x)，补角为(180-x）.由题意，得90-x= (180-x)-30，解得x=60.答：这个角的度数是60.,解：设这个角为x，,解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设未知数，再由题意列出方程，最后求出结果.注意要充分利用余角、补角这两个条件.,方法点拨：,解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设未知数，再由,例9 星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非常开心，但回来后忘记了虎山在公园里所在的位置，只记住了大门和游乐场的位置（如图4-3.3-7），根据同学们的回忆得到下列信息：(1)大象馆在游乐场的正北方向；(2)虎山在大象馆的北偏西66的方向上；(3)虎山在大门的北偏西32的方向上；(4)大象馆在大门的东北方向.,题型二 利用方位角确定点的位置,图4-3.3-7,例9 星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非常开心,思路导图,根据信息(1)(4)确定出大象馆的位置,根据信息(2)(3)确定出虎山的位置,思路导图根据信息(1)(4)确定出大象馆的位置 根据信息(2,解：能.方法如下：(1)先过大门这个点沿东北方向画射线，再过游乐场这个点沿正北方向画射线，两条射线的交点即为大象馆的位置.(2)先过大门这个点沿北偏西32方向画射线，再过大象馆这个点沿北偏西66方向画射线，两条射线的交点即为虎山的位置，如图4-3.3-8.,图4-3.3-8,解：能.图4-3.3-8,用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然后确定观测点的东南西北方向，根据方位角的含义来确定.仅靠一个方位角只能确定点的方向而不能确定点的位置，但两个方位角可以确定点的位置.,方法点拨：,用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然后确定观测点,例10 如图4-3.3-9(1)，AOB和COD都是直角.(1)试猜想，AOD和BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系？说明理由. (2)当COD绕点O旋转到图4-3.3-9(2)的位置时，你的猜想还成立吗？说明理由.,题型三 探究角与角之间的关系,图4-3.3-9,例10 如图4-3.3-9(1)，AOB和COD都是直,解：(1)AOD和BOC互补.理由如下：因为AOD=AOB+BOD=90+BOD,所以AOD+BOC=AOB+BOD+BOC.又因为BOD+BOC=COD=90，所以AOD+BOC=AOB+COD=90+90=180.故AOD和BOC互补.故AOD和BOC互补.,解：,(2)AOD和BOC互补仍然成立.理由如下：因为AOB和COD都是直角，所以AOB+COD=180.又因为AOB+BOC+COD+AOD=360,所以BOC+AOD=180.,(2)AOD和BOC互补仍然成立.,(1)探究角与角之间的关系，可先用眼观察、用量角器测量，作出大胆猜想，再根据所学知识去推理验证. (2)探究两个角之间的关系主要有三种情况：相等、互余、互补.,方法点拨：,(1)探究角与角之间的关系，可先用眼观察、用,本节内容在中考中的考点主要有：（1）余角和补角的识别与计算，有时单独考查，题型有选择题和填空题，有时融合在其他知识中综合考查，题型有选择题、填空题和解答题；（2）方位角的识别与计算，大多和解直角三角形（后面学习）综合考查，偶尔单独命题，多以选择题和填空题的形式出现.,解读中考：,本节内容在中考中的考点主要有：解读中考：,例11 （湖北宜昌中考）已知M，N，P，Q四点的位置如图4-3.3-10，下列结论，正确的是（ ）A.NOQ=42B.NOP=132C.PON比MOQ大D.MOQ与MOP互补,图4-3.3-10,C,考点一 余（补）角的识别,例11 （湖北宜昌中考）已知M，N，P，Q四点的位置如图4,解析：由题图可知，NOQ=138，故选项A错误；NOP=48，故选项B错误；PON=48，MOQ=42，则PON比MOQ大，故选项C正确；由以上可得，MOQ+MOP180，即MOQ与MOP不互补，故选项D错误.故选C.,解析：由题图可知，,例12 （广西玉林中考）在下面角的图示中，能与30角互补的是（ ）,解析：30角的补角=180-30=150，是钝角，结合各图形，只有选项D是钝角.故选D.,D,例12 （广西玉林中考）在下面角的图示中，能与30角互补,例13 （辽宁鞍山中考）一个角的余角是5438，则这个角的补角是 .,考点二 余（补）角的计算,解析：因为一个角的余角是5438 ，所以这个角为90- 5438 =3522，所以这个角的补角为180- 3522 =14438.,14438,例13 （辽宁鞍山中考）一个角的余角是5438，则这个角,例14 （河北中考）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符合条件的示意图是（ ）,解析：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，得D选项符合题意.故选D.,D,考点三 方位角的概念,例14 （河北中考）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q,例15 在点A处有一艘客轮，沿东北方向（即北偏东45）方向以a km/h的速度航行，同时在点A正北处B有一艘加油船以b km/h的速度沿正东方向航行，计划经过t h后在点C处给客轮加油，但客轮因故不能按时起航，待加油船航行至点D时，客轮才出发.(1)请根据题意，画出示意图.(2)若BD=m km，客轮要在待定地点C处按时加油，必须以多大的速度航行？,核心素养,例15 在点A处有一艘客轮，沿东北方向（即北偏东45）方,分析： (1)根据题意及方位角的描述方法，正确画出示意图； (2)客轮的速度等于AC的距离除以它行驶的时间，但由于客轮未按时出发，因此行驶的时间不是原计划的t h，而是相当于加油船在CD上行驶的时间.加油船的速度为b km/h，从点B到点C共用了t h，所以BC的距离可以表示为bt km.,分析：,因为BD=m km，所以CD=(bt-m)km，在CD这条线段上，加油船的速度不变，仍是b km/h，所以CD段加油船所用的时间为 h，按原计划客轮从A地到C地行驶t h，速度为a km/h，所以AC=at km，所以可以列出式子，求得客轮的实际速度.,因为BD=m km，所以CD=(bt-m)km，在CD这条线,图4-3.3-12,解：(1)如图4-3.3-12.(2)由题意，得AC=at km，BC=bt km，CD=(bt-m)km，所以客轮的实际速度为 （km/h）.答：客轮必须以 km/h的速度航行.,图4-3.3-12 解：(1)如图4-3.3-12.,感谢聆听,感谢聆听,