九年级数学总复习第六章圆第26课时与圆有关的概念及性质ppt课件.ppt

第一部分第六章圆,第26课时与圆有关的概念及性质,考点一 与圆有关的概念,1.圆的性质:圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,它的对称中心是圆心.2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.4.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.5.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,直径两端点之间的弧叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.弧的度数等于它所对的圆心角的度数.半圆所对的圆心角等于180 .6.弦心距*:圆心到弦的垂线段的长度叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,如果弦相等,那么弦心距也相等;弦越大,弦心距越小;直径的弦心距等于0.,考点一 与圆有关的概念,7.圆心角、弧、弦和弦心距的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.,在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,如果其中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.,考点二 垂径定理及其推论,1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.2.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,如果一条直线满足如下五个结论中的任意两个,那么其他三个结论一定成立:经过圆心;垂直于弦;平分弦(被平分的弦不能是直径);平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.例如:(i)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(ii)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,考点三 圆周角定理及其推论,1.圆周角定义:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.常见图形:2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:(1)同弧(或等弧)所对的圆周角相等.(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径,所对的弧是半圆.,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.,考点四 与圆有关的多边形,1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角互补,每个外角等于与它相邻的内角的对角,简称:外角等于它的内对角.,命题点一 垂径定理及其运用命题角度1求弦长,典例1,(2016莆田,15改编)如图,CD为O的弦,直径AB为4,ABCD于点E,A=30,则CD的长为.,圆中“铁三角”在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切的关系是解决圆中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.,命题点一 垂径定理及其运用命题角度2求半径,典例2,(2017湖南长沙,15)如图,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=6,EB=1,则O的半径为.,连接OC,得直角三角形OCE.设O的半径为r,则OE=r-1.根据垂径定理,得CE=3,由勾股定理,可得关于r的方程,解之即可.,巧用方程思想进行圆中有关弦、弦心距和半径的计算时,如果这三者的大小相互制约,除了需要运用垂径定理和勾股定理外,还应注意方程思想的运用,通过设元,再由勾股定理列方程解之.,5,变式训练1,命题点一 垂径定理及其运用命题角度2求半径,典例2,(2017新疆建设兵团,9)如图,O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延长交O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则BCE的面积为,变式训练1,A.12 B.15C.16D.18,(2017湖北黄冈,6)已知,如图,在O中,OABC,AOB=70,则ADC的度数为A.30 B.35 C.45 D.70,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数,典例3,变式训练2,找等弧求角度在圆中求角的度数时,常常需要运用圆周角定理,利用同弧或等弧所对的圆周角相等,且等于圆心角的一半进行角的转换.而在求弧相等时要注意垂径定理中“平分弧”的运用.,典例4,(2017云南,14)如图,B,C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E,F两点,与线段AC交于D点.若BFC=20,则DBC=,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数,典例3,根据“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”可知A=2BFC=40,从而可得等腰三角形ABC的底角ABC=70.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以ABD=A=40,故可求得DBC的度数.,变式训练2,典例4,A.30 B.29 C.28 D.20,命题点二圆周角定理及其推论命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数,典例3,以弦换弧常致错由于一个圆周角所对应的弧和弦都是唯一的,因此,在运用同弧(或等弧)所对圆周角相等时,常常以弦换弧,错误地以为“同弦或等弦”所对圆周角相等.注意一条弦所对的圆周角有相等或互补两种情形.,变式训练2,典例4,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数,典例3,变式训练2,典例4,A.92B.108C.112D.124,(2017福建,8)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点,下列四个角中,一定与ACD互余的是,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数,典例5,由AB为直径,得ADB=90,从而可得图中互余的两角.再根据“同弧所对圆周角相等”可知与ACD相等的角是B,从而确定一定与ACD互余的角.,变式训练3,A.ADC B.ABD C.BACD.BAD,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数,典例5,变式训练3,运用半径、直径、圆周角之间的关系求角的度数在解答直径条件下的求角问题时,一般要运用“直径所对的圆周角是直角”,把直径条件转化为直角;在没有该直径所对的圆周角时往往要作出圆周角,或根据半圆的度数为180直接求解.当题目给出的是半径条件时,常常要将半径延长成直径.,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数,典例5,变式训练3,(2017山东青岛,6)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为,A.100 B.110C.115 D.120,连接BE,则AEB=90,AED=20,BED=70,BCD=110.,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,典例6(2016厦门,26)已知AB是O的直径,点C在O上,点D在半径OA上(不与点O,A重合).(1)如图(1),若COA=60,CDO=70,求ACD的度数;(2)如图(2),点E在线段OD上(不与点O,D重合),CD,CE的延长线分别交O于点F,G,连接BF,BG,点P是CO的延长线与BF的交点,若CD=1,BG=2,OCD=OBG,CFP=CPF,求CG的长.,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,(1)先求出CAD的度数,然后根据ACD=CDO-CAD即可求解.(2)连接AG,延长CP交BG于点Q,交O于点H,令CG交BF于点R.先证明CODBOQ(ASA),根据全等性质可得BQ,进而得到GQ,再证明OQB为等腰直角三角形,从而得出CQ的长,最后在RtCGQ中根据勾股定理即可得到CG的长.,(1)OA=OC,COA=60,ACO为等边三角形,CAD=60.又CDO=70,ACD=CDO-CAD=10.(2)连接AG,延长CP交BG于点Q,交O于点H,令CG交BF于点R,如图所示.在COD和BOQ中,OCD=OBQ,OC=OB,COD=BOQ,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,直径条件下的综合题往往具有一定的难度,考查的是同学们分析问题和解决问题的能力.在分析过程中要注意一系列定理的综合运用,比如垂径定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、半径相等、同弧或等弧所对的圆周角相等,同时还要注意三角形全等和相似的判定等.,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,(2017浙江台州,22)如图,已知等腰直角三角形ABC,P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径.(1)求证:APE是等腰直角三角形;(2)若O的直径为2,求PC2+PB2的值.,(1)证明:ABC是等腰直角三角形,C=ABC=45,PEA=ABC=45.PE是O的直径,PAE=90,PEA=APE=45,APE是等腰直角三角形.,命题点二 圆周角定理及其推论命题角度3在直径条件下的综合题,典例6,变式训练4,(2)PE为O的直径,PBE=90.ABC和APE是等腰直角三角形,AC=AB,AP=AE,CAB=PAE=90,CAP=BAE,CAPBAE,PC=BE,在RtBPE中,PE=2,PB2+BE2=PE2=4.PC2+PB2=4.,命题点三 与圆有关的多边形命题角度圆内接四边形,典例7,变式训练5,命题点三 与圆有关的多边形命题角度圆内接四边形,典例7,(2017福州质检)如图,锐角三角形ABC内接于O,E是CB延长线上一点,连接AE交O于D,E=BAC,连接BD.(1)求证:DBE=ABC;(2)若E=45,BE=3,BC=5,求AEC的面积.,变式训练5,(1)证明:四边形ADBC为O的内接四边形,DBC+EAC=180.又EBD+DBC=180,DBE=EAC=BAE+BAC.E=BAC,ABC=E+BAE=BAC+BAE,DBE=ABC.,命题点三 与圆有关的多边形命题角度圆内接四边形,典例7,变式训练5,