欢迎来到三一办公! | 帮助中心 三一办公31ppt.com(应用文档模板下载平台)
三一办公
全部分类
  • 办公文档>
  • PPT模板>
  • 建筑/施工/环境>
  • 毕业设计>
  • 工程图纸>
  • 教育教学>
  • 素材源码>
  • 生活休闲>
  • 临时分类>
  • ImageVerifierCode 换一换
    首页 三一办公 > 资源分类 > PPT文档下载  

    数值分析第7章非线性方程与方程组的数值解法课件.ppt

    • 资源ID:2006128       资源大小:732.70KB        全文页数:112页
    • 资源格式: PPT        下载积分:20金币
    快捷下载 游客一键下载
    会员登录下载
    三方登录下载: 微信开放平台登录 QQ登录  
    下载资源需要20金币
    邮箱/手机:
    温馨提示:
    用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)
    支付方式: 支付宝    微信支付   
    验证码:   换一换

    加入VIP免费专享
     
    账号:
    密码:
    验证码:   换一换
      忘记密码?
        
    友情提示
    2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,就可以正常下载了。
    3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
    4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰。
    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    数值分析第7章非线性方程与方程组的数值解法课件.ppt

    第7章 非线性方程与方程组的数值解法,7.1 方程求根与二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.3 迭代收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点7.7 非线性方程组的数值解法,1,第7章 非线性方程与方程组的数值解法7.1 方程求根与,7.1 方程求根与二分法,7.1.1 引言,(1.1),本章主要讨论求解单变量非线性方程,其中 也可以是无穷区间.,如果实数 满足 ,则称 是方程(1.1)的根,或称 是 的零点.,2,7.1 方程求根与二分法 7.1.1 引言(1.,若 可分解为,其中 为正整数,且 则称 为方程(1.1)的 重根,或 为 的 重零点, 时为单根.,若 是 的 重零点,且 充分光滑,则,如果函数 是多项式函数,即,(1.2),其中 为实数,则称方程(1.1)为 次代数方程.,3,若 可分解为 其中 为正整数,且,它在整个 轴上有无穷多个解,若 取值范围不同,解也不同,因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 的定义域,即 的求解区间,时的求根公式是熟知的, 时的求根公式可在数学手册中查到,但比较复杂不适合数值计算,当 时就不能用公式表示方程的根,所以 时求根仍用一般的数值方法,根据代数基本定理可知, 次方程在复数域有且只有 个根(含重根, 重根为 个根).,另一类是超越方程,例如,4,它在整个 轴上有无穷多个解,若 取值范围不同,解也,迭代法要求先给出根 的一个近似,若 且 ,根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根,这时称 为方程(1.1)的有根区间.,非线性问题一般不存在直接的求解公式,故没有直接方法求解,都要使用迭代法.,通常可通过逐次搜索法求得方程 的有根区间.,5,迭代法要求先给出根 的一个近似,若,例1 求方程 的有根区间.,解 根据有根区间定义,对 的根进行搜索计算,结果如下:,由此可知方程的有根区间为,6,例1 求方程,检查 与 是否同号,如果同号,说明所求的根 在 的右侧,这时令否则 必在 的左侧,这时令见图7-1.,考察有根区间 ,取中点 将它分为两半,,7.1.2 二分法,假设中点 不是 的零点,然后进行根的搜索.,图7-1,不管出现哪一种情况,新的有根区间 的长度仅为 的一半.,7,检查 与 是否同号, 考察有,对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续,即用中点 将区间 再分为两半,然后通过根的搜索判定所求的根在 的哪一侧,从而又确定一个新的有根区间 ,其长度是 的一半.,如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间,其中每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度,当 时趋于零.,8,对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续,即,就是说,如果二分过程无限地继续下去,这些区间最终必收缩于一点 ,该点显然就是所求的根.,作为根的近似,则在二分过程中可以获得一个近似根的序列,该序列必以根 为极限.,每次二分后,设取有根区间 的中点,9,就是说,如果二分过程无限地继续下去,这些区间最终必收,由于,只要二分足够多次(即 充分大),便有,这里 为预定的精度.,(1.3),10,由于 只要二分足够多次(即 充分大),便有 这里,例2 求方程,在区间 内的一个实根,要求准确到小数点后第2位.,解 这里 ,而,取 的中点 ,将区间二等分,由于 ,即 与 同号,故所求的根 必在 右侧,这时应令 ,而得到新的有根区间,如此反复二分下去, 按误差估计(1.3)式,欲使,只需 ,即只要二分6次,便能达到预定的精度.,11,例2 求方程 在区间 内的一个实根,要,计算结果如表7-2.,12,计算结果如表7-2. 12,二分法是计算机上的一种常用算法,计算步骤为:,步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的值,步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值,步骤3 判断 若 ,则 即是根,计算过程结束,否则检验.,若 ,则以 代替 ,否则以,代替 .,13,二分法是计算机上的一种常用算法,计算步骤为:,此时中点 即为所求近似根.,14,此时中点 即为所求近似根. 误差 , 反复执,7.2 不动点迭代法及其收敛性,7.2.1 不动点与不动点迭代法,将方程(1.1)改写成等价的形式,(2.1),若 满足 ,则 ;反之亦然,称为函数 的一个不动点.,求 的零点就等价于求 的不动点.,选择一个初始近似值 ,将它代入(2.1)右端,即可求得,15,7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.2.1,如此反复迭代计算,(2.2),称为迭代函数.,如果对任何 ,由(2.2)得到的序列 有极限,则称迭代方程(2.2)收敛,且 为 的不动点,故称(2.2)为不动点迭代法.,16,如此反复迭代计算 (2.2) 称为迭代函数.,方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲线 与直线 的交点,对于 的某个近似值 ,在曲线 上可确定一点 ,它以 为横坐标,而纵坐标则等于,就是说,迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.,过 引平行 轴的直线,设此直线交直线 于点 ,,然后过 再作平行于 轴的直线,,与曲线 的交点,上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想是将隐式方程 归结为一组显式的计算公式 .,17,方程 的求根问题在 平面上就是要,则点 的横坐标为 ,,图7-2,记作 ,,纵坐标则等于,按图7-2中箭头所示的路径继续做下去.,在曲线 上得到点列,,其横坐标分别为,18,则点 的横坐标为 ,图7-2记作 ,纵坐标则等于,例3 求方程,(2.3),在 附近的根,解 设将方程(2.3)改写成下列形式,依公式 求得的迭代值,如果点列 趋向于点 ,则相应的迭代值 收敛到所求的根,据此建立迭代公式,19,例3 求方程 (2.3)在 附近的根,各步迭代的结果见表7-3.,这时可以认为 实际上已满足方程(2.3),即为所求的根.,如果仅取6位数字,那么结果 与 完全相同,,20,各步迭代的结果见表7-3. 这时可以认为 实际上已满足方程,但若采用方程(2.3)的另一种等价形式,建立迭代公式,仍取迭代初值 ,则有,结果会越来越大,不可能趋于某个极限.,这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3.,一个发散的迭代过程,纵使进行了千百次迭代,其结果也是毫无价值的.,图7-3,21,但若采用方程(2.3)的另一种等价形式建立迭代公式 仍取迭代,7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性,首先考察 在 上不动点的存在唯一性.,定理1 设 满足以下两个条件:,1. 对任意 有,2. 存在正常数 ,使对任意 都有,(2.4),则 在 上存在唯一的不动点,22,7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性,因 ,,以下设 及 ,,若 或 ,则不动点为 或 ,,存在性得证.,定义函数,显然 ,,由连续函数性质可知存在 ,且满足,使 ,即,即为 的不动点.,证明 先证不动点存在性.,23,因 ,以下设,再证唯一性.,设 都是 的不动点,,引出矛盾.故 的不动点只能是唯一的.,则由(2.4)得,24,再证唯一性. 设 都,(2.5),定理2 设 满足定理1中的两个条件,则对任意 ,由(2.2)得到的迭代序列 收敛到 的不动点 ,并有误差估计,证明 设 是 在 上的唯一不动点,由条件,可知 ,再由(2.4)得,因 ,故当 时序列 收敛到 .,25,(2.5) 定理2 设 满足,再证明估计式(2.5),,由(2.4)有,(2.6),反复递推得,于是对任意正整数 有,26,再证明估计式(2.5),由(2.4)有 (2.6)反,在上式令 ,注意到 即得式(2.5).,迭代过程是个极限过程.,在用迭代法实际计算时,必须按精度要求控制迭代次数.,原则上可以用误差估计式(2.5)确定迭代次数,但由于它含有信息 而不便于实际应用.,根据式(2.6),对任意正整数 有,在上式中令 知,27,在上式令 ,注意到 即得式,对定理1和定理2中的条件2,如果且对任意 有,(2.7),则由中值定理可知对 有,表明定理中的条件2可用(2.7)代替.,28,由此可见,只要相邻两次计算结果的偏差,例3中,当 时, ,在区间 中, ,故(2.7)成立.,又因 ,故定理1中条件1也成立.所以迭代法是收敛的.,而当 时, ,在区间 中 不满足定理条件.,29,例3中,当 时,,7.2.3 局部收敛性与收敛阶,上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性,,定理的条件有时不易检验,实际应用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性,即局部收敛性.,定义1 设 有不动点 ,如果存在 的某个邻域 对任意 ,迭代(2.2)产生的序列 且收敛到 ,则称迭代法(2.2)局部收敛.,通常称为全局收敛性.,30,7.2.3 局部收敛性与收敛阶 上面给出了,证明 由连续函数的性质,存在 的某个邻域 使对于任意 成立,定理3 设 为 的不动点, 在 的某个邻域连续,且 ,则迭代法(2.2)局部收敛.,此外,,对于任意 ,,总有 ,,于是依据定理2可以断定迭代过程 对于任意初值 均收敛.,这是因为,31,证明 由连续函数的性质,存在 的某个邻域,讨论迭代序列的收敛速度.,例4 用不同方法求方程 的根,解 这里 ,可改写为各种不同的等价形式 其不动点为 由此构造不同的迭代法:,32,讨论迭代序列的收敛速度. 例4 用不同方法,取 ,对上述4种迭代法,计算三步所得的结果如下表.,33,取 ,对上述4种迭代法,计算三步所得的结果如下表.,从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛,且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.,注意 .,迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件,且迭代法(4)比(3)收敛快,因在迭代法(4)中 .,34,从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛,且它们均,定义2 设迭代过程 收敛于方程的根 ,如果迭代误差 当 时成立下列渐近关系式,则称该迭代过程是 阶收敛的.,特别地, 时称线性收敛,,时称超线性收敛,,时称平方收敛.,35,定义2 设迭代过程 收敛于方,定理4 对于迭代过程 ,如果 在所求根 的邻近连续,并且,则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的.,(2.8),证明 由于 ,据定理3立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性.,再将 在根 处做泰勒展开,利用条件(2.8),,则有,36,定理4 对于迭代过程 ,如果,注意到 ,,因此对迭代误差,,当 时有,(2.9),这表明迭代过程 确实为 阶收敛.,由上式得,上述定理说明,迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取.,如果当 时 ,则该迭代过程只可能是线性收敛.,37,注意到 ,因此对迭,在例4中,迭代法(3)的 ,故它只是线性收敛.,而迭代法(4)的 ,而 由定理4知 ,该迭代过程为2阶收敛.,38,在例4中,迭代法(3)的 ,故它只,7.3 迭代收敛的加速方法,7.3.1 埃特金加速收敛方法,设 是根 的某个近似值,用迭代公式迭代一次得,由微分中值定理,有,其中 介于 与 之间.,假定 改变不大,近似地取某个近似值 ,,(3.1),则有,39,7.3 迭代收敛的加速方法 7.3.1 埃特金加,由于,将它与(3.1)式联立,消去未知的 ,,由此推知,在计算了 及 之后,可用上式右端作为 的新近似,记作 .,若将校正值 再迭代一次,又得,有,40,由于 将它与(3.1)式联立,消去未知的 ,由此推知,一般情形是由 计算 ,,(3.2)称为埃特金(Aitken) 加速方法.,可以证明,它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快.,(3.2),记,41,一般情形是由 计算 ,(3.2)称,7.3.2 斯蒂芬森迭代法,埃特金方法不管原序列 是怎样产生的,对 进行加速计算,得到序列 .,如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合,则可得到如下的迭代法:,称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.,(3.3),42,7.3.2 斯蒂芬森迭代法 埃特金方法不管原,它的理解为,要求 的根 ,,已知 的近似值 及 ,其误差分别为,过 及 两点做线性插值函数.,它与 轴交点就是(3.3)中的 ,即方程,的解,令,43,它的理解为,要求 的根 ,已知,实际上(3.3)是将不动点迭代法(2.2)计算两步合并成一步得到的,可将它写成另一种不动点迭代,(3.4),其中,(3.5),44,实际上(3.3)是将不动点迭代法(2.2)计算两步合,定理5 若 为(3.5)定义的迭代函数 的不动点,则 为 的不动点.反之,若 为 的不动点,设 存在, ,则 是 的不动点,且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.,解 例3中已指出, 下列迭代,是发散的,现用(3.3)计算,取 .,例5 用斯蒂芬森迭代法求解方程,计算结果如下表.,45,定理5 若 为(3.5)定义的迭代函数,至于原来已收敛的迭代法(2.2),由定理5可知它可达到2阶收敛.,计算表明它是收敛的,这说明即使迭代法(2.2)不收敛,用斯蒂芬森迭代法(3.3)仍可能收敛.,46,至于原来已收敛的迭代法(2.2),由定理5可知它可达,例6 求方程 在 中的解.,解 由方程得等价形式 ,取对数得,由此构造迭代法,且当 时, ,,由于 ,根据定理2此迭代法是收敛的.,47,更进一步还可知若(2.2)为 阶收敛,则(3.3),若取 迭代16次得 ,有六位有效数字.,若用(3.3)进行加速,计算结果如下 :,这里计算2步(相当于(2.2)迭代4步)结果与 相同,,说明用迭代法(3.3)的收敛速度比迭代法(2.2)快得多.,48,若取 迭代16次得,7.4 牛顿法,7.4.1 牛顿法及其收敛性,设已知方程 有近似根 (假定 ),,将函数 在点 展开,有,于是方程 可近似地表示为,(4.1),牛顿法是一种线性化方法,其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.,49,7.4 牛顿法 7.4.1 牛顿法及其收敛性,这是个线性方程,记其根为 ,,则 的计算公式为,(4.2),这就是牛顿(Newton)法.,牛顿法的几何解释.,方程 的根 可解释为,曲线 与 轴的交点的横坐标,图7-4,(图7-4).,50,这是个线性方程,记其根为 ,则 的计算公式为 (,设 是根 的某个近似值,过曲线 上横坐标为 的点 引切线,并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.,注意到切线方程为,这样求得的值 必满足(4.1),从而就是牛顿公式(4.2)的计算结果.,由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法.,由定理4,可以直接得到牛顿法的收敛性,,51,设 是根 的某个近似值,过曲线,由于,假定 是 的一个单根,即 ,则由上式知 于是依据定理4可以断定,牛顿法在根 的邻近是平方收敛的.,(4.2)的迭代函数为,又因,52,由于 假定 是 的一个单根,即,故由(2.9)可得,(4.3),例7 用牛顿法解方程,(4.4),解 这里牛顿公式为,取迭代初值 ,迭代结果列于表7-6中.,所给方程(4.4)实际上是方程 的等价形式.,53,故由(2.9)可得 (4.3) 例7 用牛顿法解方程,牛顿法的计算步骤:,步骤1 准备 选定初始近似值 ,计算,步骤2 迭代 按公式,迭代一次,,得新的近似值 ,,若用不动点迭代到同一精度,可见牛顿法的收敛速度是很快的.,要迭代17次.,计算,54,牛顿法的计算步骤: 步骤1 准备 选定初,此处 是允许误差,而,其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数,,步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 ,,步骤3 控制 如果 满足 或 ,则终止迭代,以 作为所求的根;否则转步骤4.,一般可取,55,此处 是允许误差,而 其中 是取绝对误差或,或者 ,则方法失败;,否则以 代替 转步骤2继续迭代.,56,或者 ,则方法失败; 否则以,7.4.2 牛顿法应用举例,对于给定的正数 ,应用牛顿法解二次方程,可导出求开方值 的计算程序,(4.5),这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.,事实上,对(4.5)式施行配方手续,易知,57,7.4.2 牛顿法应用举例 对于给定的正数,以上两式相除得,据此反复递推有,(4.6),记,58,以上两式相除得 据此反复递推有 (4.6)记 58,解 取初值 ,对 按(4.5)式迭代3次便得到精度为 的结果(见表7-8).,对任意 ,总有 ,故由上式推知,当时 ,即迭代过程恒收敛.,例8 求 .,整理(4.6)式,得,59,解 取初值 ,对 按(4.5)式,由于公式(4.5)对任意初值 均收敛,并且收敛的速度很快,因此可取确定的初值如 编成通用程序.,60,由于公式(4.5)对任意初值 均收敛,并,7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法的优点是收敛快,缺点一是每步迭代要计算 及 ,计算量较大且有时 计算较困难,,为克服这两个缺点,通常可用下述方法.,(1) 简化牛顿法,也称平行弦法.其迭代公式为,(4.7),迭代函数,61,7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 牛顿法,若在根 附近成立 ,即取,则迭代法(4.7)局部收敛.,在(4.7)中取 ,则称为简化牛顿法,,这类方法计算量省,但只有线性收敛,,其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似.,如图7-5所示.,图7-5,即,62,若在根 附近成立,(2) 牛顿下山法.,牛顿法收敛性依赖初值 的选取.,如果 偏离所求根 较远,则牛顿法可能发散.,例如,用牛顿法求方程,(4.8),在 附近的一个根 .,设取迭代初值 ,用牛顿法公式,(4.9),计算得,63,(2) 牛顿下山法. 牛顿法收敛性依赖初值,迭代3次得到的结果 有6位有效数字.,但如果改用 作为迭代初值,则依牛顿法公式(4.9)迭代一次得,这个结果反而比 更偏离了所求的根 .,为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即具有单调性:,(4.10),满足这项要求的算法称下山法.,64,迭代3次得到的结果 有6位有效数字. 但如果改用,将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.,将牛顿法的计算结果,与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值,(4.11),其中 称为下山因子,,(4.12),(4.12)称为牛顿下山法.,(4.11)即为,65,将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函,选择下山因子时从 开始,逐次将 减半进行试算,,若用此法解方程(4.8),当 时由(4.9)求得,直到能使下降条件(4.10)成立为止.,,它不满足条件(4.10).,通过 逐次取半进行试算,当 时可求得,此时有 ,,显然 .,而,由 计算 时 , 均能使条件(4.10)成立. 计算结果如下 :,66,选择下山因子时从 开始,逐次将 减半进行,即为 的近似.一般情况只要能使条件(4.10)成立,则可得到 ,从而使 收敛.,67,即为 的近似.一般情况只要能使条件(4.10)成立,7.4.4 重根情形,设 ,整数 ,则 为方程 的 重根,此时有,只要 仍可用牛顿法(4.2)计算,此时迭代函数,的导数为,且 ,所以牛顿法求重根只是线性收敛.,68,7.4.4 重根情形 设,则 .,(4.13),求 重根,则具有2阶收敛,但要知道 的重数 .,构造求重根的迭代法,还可令 ,,若 是 的 重根,则,若取,用迭代法,69,则 . (4.13)求 重根,则具有,从而可构造迭代法,(4.14),它是二阶收敛的.,故 是 的单根.,对它用牛顿法,其迭代函数为,70,从而可构造迭代法 (4.14)它是二阶收敛的. 故 是,例9 方程 的根 是二重根,用上述三种方法求根.,解,(1) 牛顿法,先求出三种方法的迭代公式:,(2) 用(4.13)式,(3) 用(4.14)式,取初值 ,计算结果如表7-9.,71,例9 方程 的根,从结果看出,经过三步计算,方法(2)及(3)均达到10位有效数字,而由于牛顿法只有线性收敛,所以要达到同样精度需迭代30次.,72,从结果看出,经过三步计算,方法(2)及(3)均达到7,7.5 弦截法与抛物线法,当函数 比较复杂时,计算 往往较困难,,73,7.5 弦截法与抛物线法 当函数 比较复杂,7.5.1 弦截法,(5.1),由于,因此有,(5.2),74,7.5.1 弦截法 设,(5.2)可以看做将牛顿公式,中的导数 用差商 取代的结果.,接着讨论几何意义.,曲线 上横坐标为 的点分别记为 ,,则弦线 的斜率等于差商值 ,(5.2),75,(5.2)可以看做将牛顿公式 中的导数 用差商,按(5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标.,表7-6,这种算法因此而称为弦截法.,其方程为,76,按(5.2)式求得的 实际上是弦线 与,而弦截法(5.2),在求 时要用到前面两步的结果 ,,弦截法与切线法(牛顿法)都是线性化方法,但两者有本质的区别.,切线法在计算 时只用到前一步的值 .,因此使用这种方法必须先给出两个开始值 .,例10 用弦截法解方程,解 设取 作为开始值,用弦截法求得的结果见表7-10,,77,而弦截法(5.2),在求 时要用到前面两步的结,实际上,弦截法具有超线性的收敛性.,比较例7牛顿法的计算结果可以看出,弦截法的收敛速度也是相当快的.,定理6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数,且对任意 有 ,又初值 那么当邻域充分小时,弦截法(5.2)将按 阶收敛到根 .,这里 是方程 的正根.,78,实际上,弦截法具有超线性的收敛性. 比较例7,7.5.2 抛物线法,设已知方程 的三个近似根 ,,几何上,这种方法的基本思想是用抛物线与 轴的交点 作为所求根 的近似位置(图7-7).,图7-7,这样确定的迭代过程称为抛物线法,亦称密勒(Mller)法.,79,7.5.2 抛物线法 设已知方,插值多项式,有两个零点:,(5.3),式中,问题是该如何确定 .,假定在 三个近似根中, 更接近所求的根 .,80,插值多项式 有两个零点: (5.3)式中 问题是该如,为了保证精度,选(5.3)中较接近 的一个值作为新的近似根 .,为此,只要取根式前的符号与 的符号相同.,例11 用抛物线法求解方程,解 设用表7-10的前三个值,作为开始值,计算得,81,为了保证精度,选(5.3)中较接近 的一个值作为新,故,代入(5.3)式求得,以上计算表明,抛物线法比弦截法收敛得更快.,在一定条件下可以证明,对于抛物线法,迭代误差有下列渐近关系式,82,故 代入(5.3)式求得 以上计算表明,抛物线法比弦,可见抛物线法也是超线性收敛的,其收敛的阶 ,从(5.3)看到,即使 均为实数, 也可以是复数,所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.,83,可见抛物线法也是超线性收敛的,其收敛的阶 ,7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点,84,7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点84,7.6.1 求根问题的敏感性与病态代数方程,方程求根的敏感性与函数求值是相反的,若 ,则由 求 的病态性与由 求 的病态性相反,光滑函数 在根 附近函数绝对误差与自变量误差之比若 ,则求根为反问题,即输入 满足若找到一个 使 ,则解的误差 与 之比为 ,即 误差将达到 ,如果 非常小,这个值就非常大,直观的可用图7-8表示.,85,7.6.1 求根问题的敏感性与病态代数方程,图7-8,86,图7-886,对多项式方程,若系数有微小扰动其根变化很大,这种根对系数变化的敏感性成为病态的代数方程.,若多项式 的系数有微小变化,可表示为,其中 是一个多项式,次数不大于 的零点表示为 ,令 为 的零点,即 ,将(6.2)对 求导,可得,(6.1),(6.2),87,对多项式方程若系数有微小扰动其根变化很大,这种根对系,于是当 时有,当 充分小时,利用 在 处的泰勒展开得,它表明系数有微小变化 时引起根变化的情况.,当 很大时代数方程(6.1)就是病态的.,(6.3),(6.4),88,于是当 时有当 充分小时,利用 在,例12 多项式,解 取 的根,由(6.4)可得,实际上,方程 的根 分别为,这说明方程是严重病态的.,89,例12 多项式 解 取,7.6.2 多项式的零点,很多问题要求多项式的全部零点,即方程(6.1)的全部根,它等价于求,的全部根.,前面讨论的任一种方法都可用于求出一个根 ,但通常使用牛顿法最好,可利用秦九韶算法计算 及 的值.,(6.5),90,7.6.2 多项式的零点 很多问题要,再求 的一个根 , ,如此反复直到求出全部 个根.,由牛顿法 计算到 ,则得到 .,由于 ,即 ,将 的次数降低一阶.,一般地, ,这里 为二次多项式,在此过程中当 增加时不精确性也增加,为了解决此困难可通过原方程 的牛顿法改进 的结果.,91,再求 的一个根 ,,由于 可能是复根,因此使用抛物线法对求复根更有利.,若 为复根,记 ,则 也是一个根,于是 是 的一个二次因子,于是 是 阶多项式,可降低二阶.,即使不是复根,也可通过抛物线法求出两个实根,它比牛顿法更优越.,92,由于 可能是复根,因此使用抛物线法对求复根更有利.,例13 求 的全部零点.,解 先用抛物线法求方程的根,取 计算到 为止.结果见表7-11.,93,例13 求,求得根为 ,从而可得,再由 可求得另外两根为,可对原方程 ,以此两根为初值,用牛顿法迭代一次可得到更精确的根,94,求得根为 ,从而,令一种求多项式零点的方法是将其转化为求矩阵的特征值问题.,由于方程(6.5)是矩阵,的特征多项式,利用计算矩阵特征值方法求矩阵 的全部特征值,则可得到方程(6.5)的全部根,MATLAB中的roots函数使用的就是这种方法.,此外还有专门针对求多项式全部零点的专门方法.,95,令一种求多项式零点的方法是将其转化为求矩阵的特征,7.7 非线性方程组的数值解法,96,7.7 非线性方程组的数值解法 96,考虑方程组,(7.1),其中 均为 的多元函数.,用向量记号记 ,(7.2),(7.1)就可写成,7.7.1 非线性方程组,97,考虑方程组 (7.1)其中 均为,例14 求 平面上两条抛物线 及的交点,这就是方程组(7.1)中 的情形.,解 当 时无解. 当 时有唯一解,当 时有两个解. 及 当 时有4个解,98,的非线性函数时,称方程组(7.1),求方程组(7.1)的根可直接将单个方程 的求根方法加以推广,实际上只要把单变量函数 看成向量函数 ,将方程(7.1)改写为方程组(7.2),就可将前面讨论的求根方法用于求方程组(7.2)的根.,为此设向量函数 定义在区域 若 ,则称 在 连续,这意味着对任意实数 ,存在实数 ,使得对满足 的 ,有,如果 在 上每点都连续,则称 在域 上连续.,99,求方程组(7.1)的根可直接将单个方程 的,向量函数 的导数 称为 的雅可比矩阵,它表示为,(7.3),100,向量函数 的导数 称为 的雅可比矩,7.7.2 多变量方程的不动点迭代法,为了求解方程组(7.2),可将它改写为便于迭代的形式,(7.4),其中向量函数 ,且在定义域 上连续,如果 ,满足 ,称 为函数 的不动点, 也就是方程组(7.2)的一个解.,根据(7.4)构造的迭代法,称为不动点迭代法, 称为迭代函数.,(7.5),101,7.7.2 多变量方程的不动点迭代法,如果由它产生的向量序列 满足 ,对(7.5)取极限,由 的连续性可得 ,故 是 的不动点,也就是方程组(7.2)的一个解.,102,如果由它产生的向量序列 满足,类似于 时单个方程有下面的定理.,定理7 函数 定义在区域 ,假设:,(1)存在闭集 及实数 ,使,(2)对任意 ,有 .,则 在 有唯一不动点 ,且对任意 ,由迭代法(7.5)生成的序列 收敛到 ,并有误差估计,定理的条件(1)称为 的压缩条件.,(7.6),(7.7),103,类似于 时单个方程有下面的定理. 定理7,若 是压缩的,则它也是连续的.条件(2)表明 把区域 映入自身,此定理也称压缩映射原理.它是迭代法在域 的全局收敛性定理.,类似于单个方程还有以下局部收敛定理.,定理8 设 在定义域内有不动点 的分量函数有连续偏导数且,则存在 的一个邻域 ,对任意 ,迭代法(7.5)产生的序列 收敛于,(7.8)中的 是指函数 的雅可比矩阵的谱半径.,(7.8),104,若 是压缩的,则它也是连续的.条件(2)表明 把,类似于一元方程迭代法也有向量序列 收敛阶的定义,设 收敛于 ,若存在常数 及 ,使,则称 为 阶收敛.,(7.9),105,类似于一元方程迭代法也有向量序列 收敛阶的,设 ,不难验证 ,故有 时 .,例15 用不动点迭代法求解方程组,解 将方程组化为(7.4)的形式,其中,106,设 ,不难验,又对一切 ,,于是有 ,即 满足条件(7.6).根据定理7, 在域 中存在唯一不动点 内任意点出发的迭代法收敛于 .,今取 ,用迭代法(7.5)可求得,107,又对一切 ,于是有,由于,对一切 都有 ,故 ,从而有 ,满足定理7的条件.,此外还可看到故 ,即满足定理8条件.,108,由于对一切 都有 ,,7.7.3 非线性方程组的牛顿迭代法,将单个方程的牛顿法直接用于方程组(7.2)则可得到解非线性方程组的牛顿迭代法,这里 是(7.3)给出的雅可比矩阵的逆矩阵.,求出向量 ,再令 .每步包括了计算向量函数 及矩阵,(7.10),具体计算时记 ,先解方程组,109,7.7.3 非线性方程组的牛顿迭代法,定理9 设 的定义域为 满足 在 的开邻域 上 存在且连续, 非奇异,则牛顿法生成的序列 在闭域 上超线性收敛于 ,若还存在常数 ,使,则 至少平方收敛.,牛顿法有以下收敛性定理.,110,定理9 设 的定义域为,例16 用牛顿法解例15的方程组,解,选 ,解线性方程组 ,即,111,例16 用牛顿法解例15的方程组 解 选,解得 ,按牛顿迭代法(7.10)计算结果如表7-12.,112,解得 ,按牛顿迭代法(7.10,

    注意事项

    本文(数值分析第7章非线性方程与方程组的数值解法课件.ppt)为本站会员(牧羊曲112)主动上传,三一办公仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知三一办公(点击联系客服),我们立即给予删除!

    温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。




    备案号:宁ICP备20000045号-2

    经营许可证:宁B2-20210002

    宁公网安备 64010402000987号

    三一办公
    收起
    展开