《概率论与数理统计》高教版ppt课件.ppt
国家级“十五”规划教材,概率论与数理统计教程,高等教育出版社,茆诗松、程依明、濮晓龙,数理统计: 第五章 第八章,概率论: 第一章 . 第四章,两 大 内 容,参 考 书 目,概率论与数理统计:陈希孺 科学出版社,2000.3概率论与数理统计: 李贤平等 复旦大学出版社 2003.5,简 要,“概率论与数理统计”是一门从数量侧面研究自然界中随机现象的统计规律性的学科。,1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其确定方法1.3 概率的性质1.4 条件概率1.5 独立性,第一章 随机事件与概率,2. 随机现象,1.1.1 随机现象:自然界中的有两类现象,1. 确定性现象,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币,正面朝上?反面朝上?,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机现象,随机现象:在一定的条件下,并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.特点:1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性:随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性,这种规律性称之为 统计规律性.,1. 随机试验 (E) 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点:随机性、重复性.,2. 样本点 随机试验的每一个可能结果.,3. 样本空间() 随机试验的所有样本点构成的集合.,4. 两类样本空间: 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.,1.1.2 样本空间,1. 随机事件 某些样本点组成的集合, 的子集,常用A、B、C表示.,3. 必然事件 (),4. 不可能事件 () 空集.,2. 基本事件 的单点集.,1.1.3 随机事件,表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.,1.1.4 随机变量,在试验中,A中某个样本点出现了, 就说 A 出现了、发生了,记为A.维恩图 ( Venn ).事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.,事件的表示,包含关系: A B, A 发生必然导致 B 发生.相等关系: A = B A B 而且 B A. 互不相容: A 和 B不可能同时发生.,1.1.5 事件间的关系,解:1) 显然,B 发生必然导致A发生,所以 BA;.,2) 又因为A发生必然导致B发生,所以 AB, 由此得 A = B.,例1.1.1,口袋中有a 个白球、b 个黑球,从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”, B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系?,并: A B A 与 B 至少有一发生 交: A B = AB A 与 B 同时发生 差: A B A发生但 B不发生 对立: A 不发生,1.1.6 事件的运算,事件运算的图示,A B,A B,A B,德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间, 必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容,基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1,A2,An 有 1. Ai互不相容; 2. A1A2 An= 则称 A1,A2,An 为的一组分割.,样本空间的分割,1. 若A 是 B 的子事件,则 AB = ( ), AB = ( ),2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现,则( ) AB 是 C 的子事件; C 是 AB 的子事件; AB 是 C 的子事件; C 是 AB 的子事件.,课堂练习,B,A,3. 设事件 A = “甲种产品畅销,乙种产品滞销” , 则 A 的对立事件为( ) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; 甲、乙两种产品均畅销; 甲种产品滞销; 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置, 试说明下列各对事件间的关系 A =|xa|,B =x a A =x20, B =x22 A =x22, B =x19,AB,相容,不相容,5. 试用A、B、C 表示下列事件: A 出现; 仅 A 出现; 恰有一个出现; 至少有一个出现; 至多有一个出现; 都不出现; 不都出现; 至少有两个出现;,设为样本空间,F 是由的子集组成的集合 类,若F 满足以下三点,则称 F 为事件域,1.1.7 事件域,1. F ;,2. 若 AF ,则 F ;,3. 若 AnF ,n=1, 2, , 则 F .,1.1 习 题,3, 4, 5, 6, 9.,直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义;几何定义.,1.2 概率的定义及其确定方法,非负性公理: P(A)0;正则性公理: P()=1;可列可加性公理:若A1, A2, , An 互不相容,则,1.2.1 概率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个,求取法数.排列讲次序,组合不讲次序.全排列:Pn= n!0! = 1.重复排列:nr选排列:,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合:,重复组合:,求排列、组合时,要掌握和注意:加法原则、乘法原则.,注 意,加法原理,完成某件事情有 n 类途径, 在第一类途径中有m1种方法,在第二类途径中有m2种方法,依次类推,在第 n 类途径中有mn种方法,则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第 n 步有mn种方法,则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,随机试验可大量重复进行.,1.2.3 确定概率的频率方法,进行n次重复试验,记 n(A) 为事件A的频数, 称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,频率稳定性的例子,P14 表1.2.1 .P15 表1.2.2 .P15 表1.2.3 .,古典方法 设 为样本空间,若 只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等, 则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数,1.2.4 确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反反) 此样本空间中的样本点等可能.2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反) 此样本空间中的样本点不等可能.,注 意,古典方法确定概率的几种计算手段,1. 用排列组合直接计算,2. 用对立事件公式计算,3. 用加法公式计算,4. 利用对称性计算,特别注意掌握一些常见模型和问题,例1.2.1,六根草,头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.,解:用乘法原则直接计算,所求概率为,P28 习题1.2 (16),n 个人围一圆桌坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解:考虑甲先坐好,则乙有n-1个位置可坐, 而“甲乙相邻”只有两种情况,所以,P(A) = 2/(n-1)。,例1.2.2,P28 习题1.2 (14),n个人坐成一排,求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意:请与上一题作比较),解:1) 先考虑样本空间的样本点数: 甲先坐、乙后坐,则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端,则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上,则乙左右都可坐, 所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为:,例1.2.3,性质1.3.1 P()=0. 注意: 逆不一定成立.,1.3 概率的性质,性质1.3.2 (有限可加性) 若AB= ,则P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件.性质1.3.3 (对立事件公式) P( )=1P(A).,1.3.1 概率的可加性,性质1.3.4 若AB,则 P(AB) = P(A)P(B); 若AB,则 P(A) P(B).性质1.3.5 P(AB) = P(A)P(AB).,1.3.2 概率的单调性,(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC),1.3.3 概率的加法公式,AB=,P(A)=0.6,P(AB)=0.8, 求 B 的对立事件的概率。,解:由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B),例1.3.1,得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2,,所以 P( ) = 10.2 = 0.8.,例1.3.2,解:因为 P(AB) = P(A)P(AB) ,所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3,P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6, 求 P(AB).,例1.3.3,解:因为A、B、C 都不出现的概率为,= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/16+1/160 =15/8 = 3/8,P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16, 求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解:记A为“第k 次取到黑球” ,则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着:,“第1次第k1次取到黑球,而第k 次取到白球”,思 考 题,口袋中有2个白球,每次从口袋中随 机地摸出一球,并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.,例1.3.4,解:用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”,,则所求概率为,一颗骰子掷4次,求至少出现一次6点的概率.,例1.3.5,解:记 B = “至少出现一次双6点”,,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次, 求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1, 2, , 9中返回取n次,求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解:因为 “乘积能被10整除” 意味着:,“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次,乙掷n次. (习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解:记甲正=甲掷出的正面数,乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数,乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)= P(n+1-甲反 n-乙反),= P(甲反-1乙反),= P(甲反乙反),= 1P(甲正乙正) (对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,N 个产品,其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球, NM 个黑球),常见模型(1) 不返回抽样,从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为:,此模型又称 超几何模型.,n N, m M, nmNM.,口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.,思 考 题,购买:从01,35 中选7个号码.开奖:7个基本号码,1个特殊号码.,彩票问题幸运35选7,中奖规则,1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码,或 3个基本号码 + 1个特殊号码,中奖概率, 中所含样本点个数:,将35个号分成三类: 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得:,中奖概率如下:,不中奖的概率为: p0=1p1p2p3p4p5p6 p7,N 个产品,其中M个不合格品、NM个合格品. 从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为:,常见模型(2) 返回抽样,条件: m n , 即 m = 0, 1, 2, , n.,n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN),常见模型(3) 盒子模型,求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得:pn= P(至少两人生日相同)=,生日问题,p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922,n 个人、n 顶帽子,任意取,至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ,i=1, , n.求 P(A1A2An),不可用对立事件公式.用加法公式:,常见模型(4) 配对模型,P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), P(A1A2An) =1/n!P(A1A2An)=,配对模型(续),1.2 习题,4 , 5, 直接计算 7, 8, 9,10,11, 抽样模型 12, 事件差公式 13 , 直接计算 15, 盒子模型,1.3 习题,6, 对立事件、抽样模型 12,13, 盒子模型,1.2.5 确定概率的几何方法,若 样本空间充满某个区域, 其度量(长度、面积、体积)为S; 落在中的任一子区域A的概率, 只与子区域的度量SA有关, 而与子区域的位置无关 (等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA / S,几何方法的例子,例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线, 向平面任意投掷一枚长为l 的针, 求针与平行线相交的概率.,蒲丰投针问题(续1),解: 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离, 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足: 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一个矩形,其面积为:S = d/2.,蒲丰投针问题(续2),A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x (l /2) sin . 针是任意投掷的,所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知:长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/d.而实际去做 N 次试验,得 n 次针与平行线相交,则频率为: n/N.用频率代替概率得: 2lN/(dn).历史上有一些实验数据., 的随机模拟,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为d的等距平行线,向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形,求三角形与平行线相交的概率 (习题1.2 第25题)分析:三角形与平行线相交有以下三种情况: 1) 一个顶点在平行线上; 2) 一条边与平行线重合; 3) 两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.,解:记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc, a,b,c与平行线相交的概率,则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d). 因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc 所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得 p =Pab+Pac+Pbc=(Pa + Pb + Pc)/2 =(a+b+c)/(d).,1.2 习题,23, 27, 28。,因为概率是事件(集合)的函数, 所以先讨论事件(集合)的“极限” .本节给出可列可加性的充要条件.,1.3.4 概率的连续性,若事件序列Fn满足:F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列,其极限事件为,事件序列的极限,若事件序列Fn满足:F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列,其极限事件为,设P()是一个集合函数, (1) 若任对单调不减集合序列Fn,有 则称P()是下连续的.,集合函数的连续性,(2) 若任对单调不增集合序列Fn,有 则称P()是上连续的.,性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数, 则P() 既是下连续的,又是上连续的.,概率的连续性,性质1.3.8若P()是事件域F上满足:非负、正则的集合函数,则P() 有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.,可列可加性的充要条件,1.3 习题,2 , 3, 15,16,17,18.,问题的提出: 1) 10个人摸彩,有3张中彩. 问:第1个人中彩的概率为多少? 第2个人中彩的概率为多少? 2) 10个人摸彩,有3张中彩. 问:已知第l个人没摸中, 第2个人中彩的概率为多少?,1.4 条件概率,定义1.4.1 对于事件A、B,若 P(B)0,则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下,A 出现的条件概率.,1.4.1 条件概率的定义,1) 缩减样本空间: 将 缩减为B=B. 2) 用定义: P(A|B) = P(AB) / P(B).,条件概率 P(A|B) 的计算,10个产品中有7个正品、3个次品,从中 不放回地抽取两个, 已知第一个取到次 品,求第二个又取到次品的概率.,P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9,解:设 A = 第一个取到次品, B = 第二个取到次品,,例1.4.1,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得: P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C); 若 A 与 B 互不相容,则P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ; P( |B) = 1 P(A|B).,条件概率是概率,P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.,注 意 点,(1) 设P(B)0,且AB,则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B),(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).,课堂练习,1.4 习题,2,3,5,6,7,9,10。,乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,性质1.4.2 (1) 若 P(B)0,则 P(AB) = P(B)P(A|B); 若 P(A)0,则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 An1)0,则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1),1.4.2 乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个,其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出,求第三次才取出不合格品的概率.解:记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) =,乘法公式的应用,性质1.4.3 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割,且 P(Bi)0,则,1.4.3 全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式:,注意点(1),若事件B1, B2 , , Bn是互不相容的,且 P(Bi)0,,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品,从中 不放回地取两次,每次一件,求取出 的第二件为不合格品的概率。,解: 设 A = “第一次取得不合格品”, B = “第二次取得不合格品”.由全概率公式得:,= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),= 3/10,例1.4.2,n 张彩票中有一张中奖,从中不返回地摸 取,记 Ai为“第 i 次摸到中奖券” ,则 (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, , n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖,从中不返回地摸取, 记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ,则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, , n结论:不论先后,中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型 (续),口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下, 求第k次取出的是白球的概率: (1) 从中一只一只返回取球; (2) 从中一只一只不返回取球; (3) 从中一只一只返回取球,且 返回的同时再加入一只同色球.,思 考 题,罐中有 b 个黑球、r 个红球,每次从中任取一个,取出后将球放回,再加入c 个同色球和 d 个异色球. (1) 当 c = 1, d = 0 时,为不返回抽样. (2) 当 c = 0, d = 0 时,为返回抽样. (3) 当 c 0, d = 0 时,为传染病模型. (4) 当 c = 0, d 0 时,为安全模型.,波利亚罐子模型,见教材P43(老P41),波利亚罐子模型(续),甲口袋有a只白球、b只黑球;乙口袋有n只白球、 m只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋,然后 从乙口袋中任取一球,求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为:,全概率公式的例题,甲口袋有a只白球、b只黑球;乙口袋有n只白 球、m只黑球. 从甲口袋任取两球放入乙口袋,然后从乙口袋中任取一球,求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同,如果两口袋装的黑、白球个数都相同,则情况又如何?,思 考 题,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率;全概率公式是求“最后结果”的概率;贝叶斯公式是已知“最后结果” ,求“原因”的概率.,1.4.4 贝叶斯公式,某人从甲地到乙地,乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3,他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了,求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率. (1/6, 2/6, 3/6),已知“结果” ,求“原因”,若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割,且P(A)0, P(Bi)0,则,贝叶斯(Bayes)公式,1) B1, B2, ., Bn可以看作是导致A发生的原因; 2) P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个原因Bj 发生的概率, 称为 “后验概率”; 3) Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 4) 称P(Bj) 为“先验概率”.,注 意 点,例1.4.3 某商品由三个厂家供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍;乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品,发现是次品,求它是甲厂生产的概率?,解:用1、2、3分别记甲、乙、丙厂,设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”,B=“取到次品”, 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25; P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04.,= 0.4,由Bayes公式得:,口袋中有一只球,不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大?,课堂练习 (习题 1.4 第20题),2/3,B1 =“患肝癌” , B2 =“未患肝癌” ,肝癌发病率为0.0004,即P(B1)=0.0004, P(B2)=0.9996.用甲胎蛋白化验:A=“呈阳性” ,已知P(A|B1)=0.99, P(A|B2)=0.001.求 P(B1| A).见教材P49(老P45),例 1.4.7,1.4 习题,11, 15,16,19,20,事件的独立性 直观说法:对于两事件,若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生, 则这两事件是独立的. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B),1.5 独立性,定义1.5.1 若事件 A 与 B 满足:P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立,简称A与B独立.结论 A、B 为两个事件,若 P(A)0, 则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质1.5.1 若事件A与B独立,则 A 与 独立、 与 B独立、 与 独立.,1.5.1 两个事件的独立性,实际应用中,往往根据经验来判断两个事件 的独立性:例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,1.5.2 多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件,称满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为A、B、C 两两独立.称满足:P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为A、B、C三三独立.,定义1.5.3 若事件 A1,A2 , An满足: 两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A2 , An 相互独立.,若A、B、C 相互独立,则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.,一 些 结 论,例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次,其 命中率分别为 0.9 和 0.8,求目标被击中的概率.,解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.,解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.,例1.5.2 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次,其命中率分别为 0.6 和 0.7,现已知 目标被击中,求它是甲击中的概率.。,解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.6/0.88 = 15/22,例1.5.3 两射手轮流对同一目标进行射击,甲先射, 谁先击中则得胜。每次射击中,甲、乙命中目标 的概率分别为 和 ,求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜),所以 P(甲胜) = / 1 (1 )(1 ) .,例1.5.4 口袋中有3个白球、5个黑球,甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球,甲先取. 谁先取到白球为胜,求甲胜的概率.,解:P(甲胜) = 3/8 + (5/8)(5/8) P(甲胜),所以 P(甲胜) = 8/13.,例1.5.5 元件工作独立,求系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” , pi = P(Ai) .,(1) 两个元件的串联系统: P(A1 A2)=p1 p2,(2) 两个元件的并联系统: P(A1 A2) = p1+ p2 p1 p2 = 1(1 p1)(1 p2),(3) 五个元件的桥式系统: 用全概率公式 p3(p1+ p4 p1 p4)(p2+ p5 p2 p5) + (1 p3)(p1p2 + p4 p5 p1p2 p4p5 ),若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件,则称这两个 试验相互独立,或称独立试验.,1.5.3 试验的独立性,伯努里试验: 若某种试验只有两个结果 (成功、失败; 黑球、白球;正面、反面), 则称这个试验为伯努里试验. 在伯努里试验中,一般记“成功”的概率为p. n 重伯努里试验: n次独立重复的伯努里试验.,n 重伯努里试验,在n 重伯努里试验中,记成功的次数为X.X 的可能取值为: 0,1,n.X 取值为 k 的概率为:,n 重伯努里试验成功的次数,。,。,1.5 习题,1,2,4,7,8,10, 14,16,18,19,某棋手在晋级比赛中要与甲、乙两位上一级大 师进行比赛,每局比赛中,该棋手胜甲大师的 概率为,胜乙大师的概率为,且 。现规定与甲、乙轮流进行三局比赛,连嬴二局 即可晋级,试问对该棋手而言,以下哪种比赛 方案更有利:甲乙甲、乙甲乙。,讨 论 题,