力学第5章刚体的转动课件.ppt

,1,第五章 刚体的转动站在钢丝上的陀螺1,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.5 定轴转动中的功能关系,5.6 刚体定轴转动的角动量定理,5.7 进动,5.8 刚体平面运动简介,第五章 刚体的转动,2,5.1 刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律5.3,5.1 刚体的运动,一. 刚体的概念,理想化模型：,有自己独特的运动学和动力学规律。,特殊质点系：,质点相对位置不变，质点系的规律都适用；,二. 刚体运动形式,1. 平动 基本的运动形式之一,无限刚性，受力不变形，可瞬时传力；,常用质心运动代表整体平动。,体内任两点连线在任意时刻保持平行。,3,5.1 刚体的运动一. 刚体的概念理想化模型：有自己独特的,定点转动：,3. 平面运动：,刚体各点运动都平行于某固定平面，各点轨道面平行或重合。,4. 一般运动：,不受任何限制的自由运动，,是下面两种运动的组合：, 随基点 O（可任选）的平动, 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动,刚体只有一点固定不动，整体绕通过该点的瞬时轴转动。,2. 转动 基本的运动形式之二,定轴转动：,定点转动的瞬时轴成固定轴。,4,定点转动： 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定4.,转动与基点选取无关。,基点不同，平动可不同，转动却相同。,例如：,三. 定点转动及其运动学量,反映瞬时轴方向及刚体转动的快慢。,或,1. 角速度,具有唯一性：与基点选择无关。,O,O,O,O,5,转动与基点选取无关。基点不同，平动可不例如：三. 定,2. 角加速度 ：,反映 的变化情况,的方向沿瞬时轴。,方向不一定与 一致，不一定沿瞬时轴。,6,2. 角加速度 ：反映 的变化情况 的方,3. 角量和线量的关系,旋转加速度,向轴加速度,四. 定轴转动,对定轴转动， 和 都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为代数量。,7,3. 角量和线量的关系旋转加速度向轴加速度 四. 定轴转动对,匀加速转动（ 恒定）,8,匀加速转动PO定轴刚体参考方向z8,5.2 刚体的定轴转动定律,观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。,定义对 z 轴的转动惯量,9,5.2 刚体的定轴转动定律观点：把刚体看作无限多质元构成的, 刚体定轴转动定律,对定轴，略去下标 z：,与牛顿第二定律相比：,M F，,J m，, a,10, 刚体定轴转动定律对定轴，略去下标 z： 与牛顿第二定律相,5.3 转动惯量的计算,J 由质量对轴的分布决定。,质量分布对转动惯量的影响,一. 常用的几种转动惯量表示式,【演示】,11,5.3 转动惯量的计算 J 由质量对轴的分布决定。质量分,二. 计算转动惯量的几条规律,1. 对同一轴 J 具有可叠加性,12,二. 计算转动惯量的几条规律1. 对同一轴 J 具有可叠加性,13,3. 对薄平板的正交轴定理 ri mix z yi y,解：,14,【例】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。已知圆盘 yx z 圆,5.4 转动定律应用举例,已知：R, m, h, v0 = 0, 下落时间 t ，绳轮之间无相对滑动， 绳不可伸长。,求：轮对 O 轴的 J,解：,动力学关系：,对轮：,对 m：,运动学关系：,(3),(4),(1),(2),15,5.4 转动定律应用举例已知：R, m, h, v0,(1)(4) 联立解得：,分析结果：, 量纲对；, h、m 一定，J t ，, 若 J = 0，得,正确。,合理；,这是一种用实验测定转动惯量的方法。,16,(1)(4) 联立解得：分析结果： 量纲对； h、m,5.5 定轴转动中的功能关系,一. 力矩的功,力矩的空间积累效应：,力矩的功,17,5.5 定轴转动中的功能关系一. 力矩的功力矩的空间积累效,二. 定轴转动动能定理,定义转动动能, 刚体定轴转动动能定理,18,二. 定轴转动动能定理定义转动动能 刚体定轴转动动能定理1,三. 刚体重力势能,四. 应用举例,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。,19,三. 刚体重力势能四. 应用举例对于包括刚体的系统，功能原理,解：,（杆+地球）系统，,只重力作功， E守恒：,20,解：（杆+地球）系统，只重力作功， E守恒：【例】均匀直杆质,应用质心运动定理求轴力：,(3),(4),(5),(6),21,B COAl, maCnaCt应用质心运动定理 (3,由(3)(4)(5)(6)解得：,Nn,Nt,22,B COAl, m 由(3)(4)(5)(6)解得：NnN,5.6 刚体定轴转动的角动量定理,质点系,对点,对轴,刚体, 刚体定轴转动的角动量定理,或,所以,23,5.6 刚体定轴转动的角动量定理质点系对点对轴刚体 刚体, 刚体定轴转动的角动量守恒定律,对刚体系，M外z = 0 时，,角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系对转轴总角动量不变（必须是同一轴）。,两轮磨合问题,两匀速转动的轮子接触后，,讨论摩擦力、运动状态变化，,能否用对轴的角动量守恒？,【思考】,24, 刚体定轴转动的角动量守恒定律对刚体系，M外z = 0 时,克服直升飞机机身反转的措施,25,克服直升飞机机身反转的措施尾浆推动大气，产生的力矩阻止机身反,猫从树枝和手的下落,26,猫从树枝和手的下落【TV】茹科夫斯基转椅转台车轮角动量守恒：,解：,此系统角动量并不守恒，因为O1和O2处的轴力产生的力矩和不为零。,应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。,设摩擦力方向如图示，有：,对轮1：,对轮2：,27,【例1】如图两轮磨合问题，r2r12010J2J1O1O,利用 f1 = f2 得：,对初末态积分得：,稳定条件：,接触点线速度相同：,（注意负号，两轮反着转）,解得：,28,r2r121J2J1O1O2f1f2利用 f1 = f2,解：,对 m +M 系统，碰撞瞬间，外力（重力和轴力）对 O 轴的力矩 = 0， 守恒，,（1）求、，,碰撞过程：,过程分 2 步：,29,解：【例2】粘土块斜射到匀质圆盘顶点 P 后与圆（水平）v0,(2),对 m +M+地球系统， E 守恒，,令m、x 重合时 EP = 0，有：,m + M 形成刚体，转动惯量为：,设碰后瞬间盘角速度为0，有：,定轴转动过程：,(3),(1)(2)(3)解得,(1),30,(2)对 m +M+地球系统， E 守恒，令m、x 重合时,m、x重合时 m +M 系统所受力矩：,（2）求轴力, 用质心运动定理求,m +M 的质心 C 在距 O 的 R/3 处，,质心加速度：,y 方向,x 方向,31,m、x重合时 m +M 系统所受力矩：（2）求轴力 用质,由质心运动定理有：,设轴力 的方向如图，,代入 的值得：,Nx 0 表明 的 x 分量与假设方向相反。,32,由质心运动定理有：设轴力 的方向如图， 代入,一. 刚体角动量和角速度的关系,5.7 进动,刚体的角动量 和角速度 方向一定相同吗？,O,例：如图由于绳的约束， 固连球的轻杆只能 绕 Oz 轴转动，O 是 杆的中点，但是：,33,一. 刚体角动量和角速度的关系 5.7,绕 OO 轴转，,因为此时 守恒。,答：,力矩突变,【演示】, 一般情况下，刚体的角动量 和角速度 的方向不一定相同。,质量均匀、几何对称的刚体，绕几何对称轴自转时，自转角动量 / 自转角速度 。,34,绕 OO 轴转，因为此时 守恒。答：力矩突变【演示,二. 进动,高速自转物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象，如玩具陀螺：,35,二. 进动 高速自转物体，其自转轴绕另,每一瞬时，角动量 只改变方向而不改变大小，而同时，使角动量 产生变化的力矩 也随之改变方向，使上面关系在每一瞬间总保持成立，这就意味着刚体在作进动。,对O点，分析对称陀螺自转角动量 的变化：,36,OC每一瞬时，角动量 只改变方向而不改变大对O点，,进动角速度：,车轮进动，对称陀螺的定轴性,【TV】进动防止炮弹翻转,【演示】,d,37,O进动角速度：车轮进动，对称陀螺的定轴性【TV】进动防止炮,进动稳定后，总角速度：,当刚体高速自转时有：,对非对称刚体，自转轴在进动中会出现微小的上下周期性的摆动 章动。,38,进动稳定后，总角速度：,产生左转的外力矩,【讨论】回转效应的利弊, 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。,附加力会损坏轴承，甚至翻船。, 三轮车拐弯时易翻车,【TV】内侧车轮上翘,左转,附加力,附加力,对海浪，回转效应则可使船体保持平衡、稳定。,轴承,39,产生左转【讨论】回转效应的利弊 轮船转弯时，涡轮机轴承要承,【讨论】地球进动与岁差,随着地球自转轴的进动，北天极方向不断改变。,北极星,3000年前 小熊座 ,现在 小熊座 ,12000年后 天琴座 （织女）,T = 25800年,自转轴进动,自转角动量,40,【讨论】地球进动与岁差随着地球自转轴的北极星3000年前,分点每年在黄道上西移50.2,太阳年（回归年）：太阳由春分 秋分 春分,恒星年：地球绕太阳一周的时间,岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒,西,41,地轴进动分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太,42,我国古代已发现岁差：每50年差1度（约72/年，精确值5,三. 自由度,自由度是确定力学体系空间几何位形所需的独立坐标数，与几何约束条件直接相关。,1. 质点的自由度, 不受约束（自由）的质点，, 约束在曲面上运动的质点，, 约束在曲线上运动的质点，,x, y, z 相互独立；,自由度为 3，,x, y, z 中有1个不独立，如 z = z(x, y)；,自由度为 2，,x, y, z 有2个不独立，如 z = z(x)，y = y(x),自由度为 1，,43,三. 自由度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的1. 质点,2. 刚体的自由度,自由刚体的自由度最大，等于6 。,解释：3 点可固定（完全约束）刚体：,C 点固定，则刚体固定。,所以刚体最大自由度是 6 。,A 点固定， 仍可绕 A 转动，,B 点固定，C 点仍可绕 转动，,3 个点总坐标数是 9，但 距离不变，这 3 个条件使独立坐标数减少 3 个。,44,2. 刚体的自由度自由刚体的自由度最大，等于6 。解释：3,转动用 3 个欧勒角描述：,6 = 3（基点平动）+ 3（绕基点转动）,刚体最大自由度：, 进动角, 章动角, 自转角,45,转动用 3 个欧勒角描述：6 = 3（基点平动）+ 3（绕基,5.8 刚体平面运动简介,一. 基本概念和运动学关系,1. 基面、基点、基轴, 可任选一轨道平面 作为基面，如 1 面。,与基面垂直的任意直线上的各点运动相同。, 在基面上可任选一点为参考基点，如 O1 点。, 过基点垂直基面的直线为基轴，如 O1O3 轴。, 基面各点运动可代表刚体运动。,46,5.8 刚体平面运动简介一. 基本概念和运动学关系1. 基,刚体平面运动为下列组合： 基轴平动 绕基轴的转动,选质心为基点，有利于动力学问题分析。,2. 基面上各点速度关系,是基点 O 的速度，,注意： 是唯一的，与基点选择无关。,基面各点运动为下列组合： 基点平动 (自由度2) 绕基点转动 (自由度1),47,刚体平面运动为下列组合： 选质心为基点，有利于动力学问题分析,3. 瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转轴）, 基面上必存在一个瞬时速度为零的点 P 瞬心, 过瞬心垂直基面的直线为瞬轴。, 瞬心位置一般随时间变化。, 瞬心速度为零，但加速度不一定为零。, 选瞬心为基点，有利于运动学问题分析。,48,3. 瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转轴） 基面上必存在,求瞬心位置的 2 个简便方法：, 瞬心位置可能在刚体内，也可能在刚体外。,2. 已知 2 点速度方向,1. 已知 1 点速度和,方向沿 的方向,49,求瞬心位置的 2 个简便方法： 瞬心位置可能在刚体内，也可,4. 均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作 纯滚动的运动学条件,纯滚动：接触点 P 是瞬心，无相对滑动 。,质心 C 的切向加速度：,质心 C 的速度：,（为何？）,（在平面上就是质心 C 的加速度）,50,4. 均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作纯滚动：接触点 P,二. 动力学关系,1. 质心运动定理,2. 对通过质心的基轴的转动定律,若瞬心加速度方向与瞬心质心连线平行，,则惯性力对瞬心的力矩为零，对瞬轴也有：,如均匀圆柱体的纯滚动,51,二. 动力学关系1. 质心运动定理2. 对通过质心的基轴的转,3. 对通过质心的基轴的角动量定理,角动量关系,O轴 ：刚体所在空间中平行于C 轴的固定轴 ：质心 C 相对 O 轴的垂直位矢 ：质心速度,52,3. 对通过质心的基轴的角动量定理角动量关系O轴 ：刚体所在,4. 能量关系,质心平动能（刚体平动能）,绕过质心的基轴的转动能（刚体转动能）, 动能关系 科尼希定理, 功能原理,53,4. 能量关系 质心平动能绕过质心的基轴的转动能 动,刚体动能改变 外力对质心作的功 外力矩对过质心的基轴作的功,质心平动能改变 外力对质心作的功：,绕过质心的基轴的转动能改变 外力矩对过质心的基轴作的功：,54,刚体动能改变 外力对质心作的功 质心平动能改变 外力,解：,设摩擦力向右，,由质心运动定理得：,(1),设顺时针方向为正，对质心轴的转动定律：,(2),纯滚动条件：,(3),55,解：设摩擦力向右，由质心运动定理得： (1)【例1】质量 m,(1)(2)(3) 解出：,当 时， f 与 F 同向；,当 时， f = 0 ；,当 时， f 与 F 反向。, 球沿顺时针方向加速转动、加速前进。,56,(1)(2)(3) 解出： 当,【例2】质量均匀、半径 R 的 圆球在斜面上作纯滚动，P 是 瞬心，C 是质心。,证明：P 点相对水平面的加速度 沿 PC 连线方向。,用相对运动关系证明。,如图建立坐标系 ，设圆球向下运动。,证：,设顺时针方向为正，不妨设角加速度 0， 即圆球沿顺时针方向加速转动。,57,【例2】质量均匀、半径 R 的证明：P 点相对水平面的加速度,设 是 P 点相对质心 C 的加速度，,(2),(1),根据相对运动关系有：,在质心系，P 点瞬间随球作沿顺时针方向的加速转动，所以：,方向为,方向为,(3),58,设 是 P 点相对质心 C 的加速度， (2) (,由 (1)(2)(3) 解出：, 沿 PC 连线方向。,本题所证明的结论也适用于其它质量分布均匀的圆形物体。,59,由 (1)(2)(3) 解出： 沿 PC 连线,【例3】 刚体撞击问题，如打击中心。,棒球手要做到轻松击球，必须使球击打合适位置，此位置称为打击中心。,已知：棒质量 m，对手的转动 惯量 J ，棒的质心 C 距 离手 rC 。,求：打击中心到手的距离 r 。,60,【例3】 刚体撞击问题，如打击中心。棒球手要做到轻松击球，必,棒受力,轻松击球,分析：,击球瞬间手的作用力 0,棒绕手作定轴转动,球的冲击力,手的作用力,解法一,对质心的动量定理、,设：,打击时间 ，此时间内：,棒质心的动量改变为,棒的角速度改变为,对手的角动量定理,61,棒受力CrCr手轻松击球分析：击球瞬间手的作用力 0棒绕,对质心：,对手：,(1),(3),(2),动量定理,角动量定理,(1)(2)(3) 消去 量得：,角量与线量关系：,62,对质心：CrCr手正向对手：(1) (3) (2) 动量定理,对质心：,由 (14) 并令 得：,解法二,对质心的动量、角动量定理,(3),(1),(4),(2),角量与线量关系：,63,对质心：CrCr手正向由 (14) 并令,此法简单实用！,对质心：,对手：,(1),(3),(2),解法三,质心运动定理、对手的转动定律,角量与线量关系：,由 (13) 并令 得：,64,此法简单实用！对质心：CrCr手正向对手：(1) (3) (,对质心和过质心的轴：,(1),(4),解法四,质心运动定理、对质心轴转动定律,角量与线量关系：,(2),(3),此法也不错。,由 (14) 并令 得：,65,对质心和过质心的轴：CrCr手正向(1) (4) 解法四质心,【例4】在固定斜面上的圆 柱体从静止开始作纯滚动， 圆柱体质量 m ，半径 R ， 转动惯量 J ，斜面倾角 。,求（1）接触点 O 是否存在摩擦力？若有， 其作用是什么？做功否？ （2）圆柱体下落高度 h 时，质心 C 的速 度 ，转动角速度 ，摩擦力 f 分 别是多少？,66,【例4】在固定斜面上的圆求（1）接触点 O 是否存在摩擦力？,证：,斜面参考系：不易判断！,（1）讨论摩擦力,以质心 C 为基点的参考系：,圆柱体作定轴转动，,重力、,斜面压力力矩 = 0，,可断定必存在静摩擦力,（纯滚），,力矩 0。,对斜面系，静摩擦力 f 作功否？,不做功。,= 0（纯滚）,方向与质心运动相反，,67,证：CO斜面参考系：不易判断！（1）讨论摩擦力以质心 C,f 对质心作负功，平动能 ,二者相等总功 = 0,f 力矩对质心轴作正功，转动能 ,（2）计算,解：,机械能守恒, 质心运动定理, 质心运动学,(1),68,f 对质心作负功，平动能 二者相等f 力矩对质心轴作正,(14) 解出：,(2),(3),(4),69,(14) 解出：(2)(3)(4)COR69,求摩擦力另法：, 对过质心基轴的转动定律,质心运动定理,或者 对瞬轴 O 的转动定律,用 (5)(6)(7) 或 (5)(6)(8) 都可解出 f 。,(5),(6),(7),(8),70,求摩擦力另法： 对过质心基轴的转动定律质心运动定理CO,J ， ，J 大的滚动慢,J/mR2 恒定，钢的、铝的一样快。,R ， ，R 大的滚动快,比较不同转动惯量、半径的圆柱体、球体在斜（曲）面上作纯滚动的快慢。,71,J ， ，J 大的滚动慢J/mR2 恒定，钢的,刚体 rigid body平动 translation转动 rotation定点转动 rotation about a fixed point定轴转动 rotation about a fixed axis转动惯量 rotational inertia进动 precession自转 spin章动 nutation,第五章结束,中英文名称对照表,72,刚体 rigid body 第五章结束中英文名称对照表7,