人教版八年级数学上册113多边形及其内角和课件.pptx
11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形,人教版 数学 八年级 上册,11.3 多边形及其内角和人教版 数学 八年级 上册,在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？,在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形,导入新知,中国某一村远景图,五角大楼,五角大楼导入新知,1. 理解并掌握多边形、正多边形的概念及相关定义.,2. 了解什么是凸多边形和正多边形.,3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运用公式解决相关问题.,1. 理解并掌握多边形、正多边形的概念及相关定义.,多边形的定义及相关概念,观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？,在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.,什么是三角形？,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.,问题1：,问题2：,多边形的定义及相关概念 观察画某多边形的过程，类,【思考】 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？,这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.,多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.,【思考】 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平,内角：多边形相邻两边组成的角.,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角,顶点,边,外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.,n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角,多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.,问题3：,内角：多边形相邻两边组成的角. 根据图示，类比三角形的有,请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？,（1）,（2）,如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.,A,B,C,D,E,F,G,H,此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.,问题4：,请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么,例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明,解：六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.,多边形的截角问题,例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是,一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.,从所截角的两边截，边数增加1.从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.,探究新知 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增,1. 下列图形包含了哪些多边形？,六边形,四边形,五边形和六边形,1. 下列图形包含了哪些多边形？六边形四边形五边形和六边形巩,多边形的对角线,A,B,C,D,E,定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.,线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.,多边形的对角线ABCDE定义： 线段AC是五边形ABC,请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：,0,1,2,3,5,n-3,1,2,3,4,6,n-2,三角形六边形四边形八边形五边形请画出下列图形从某一顶点出,从n(n3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.,n(n3)边形共有对角线 条.,从n(n3)边形的一个顶点可以作出(n-3,例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数,解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2， n-3+n-2=21， 解得n=13答：该多边形的边数有13条,利用多边形的对角线相关公式求边数,例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该,2. 画一画：画出下列多边形的全部对角线.,2. 画一画：画出下列多边形的全部对角线.巩固练习,3. 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：,十边形有多少条对角线？n边形呢？,3. 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问,解：四边形的对角线条数为4(43) 2.五边形的对角线条数为5(53) 5.六边形的对角线条数为6(63) 9.十边形的对角线条数为10(103) 35.n边形的对角线条数为 n(n3) .,解：四边形的对角线条数为4(43) 2.巩固练,正多边形的概念,定义 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.,正多边形的概念定义正三角形正方形正五边形正六边形知识点 3探,下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？,答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.,下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（四条边都相等,4.下列属于正多边形的特征的有()各边相等；各个内角相等；各个外角相等；各条对角线都相等；从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n2)个三角形A2个 B3个 C4个 D5个,B,4.下列属于正多边形的特征的有()B巩固练习,通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_度,解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形所以该多边形的内角和是3180=540,540,通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题,1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）,B,2. 九边形的对角线有（ ） A. 25条 B. 31条 C. 27条 D. 30条,C,1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）ABCDB,3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形,A,课堂检测基础巩固题3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个,1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.,十三,2.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.,六,1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则,过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(mk)n为多少？,解：m10，n3，k5.(mk)n(105)353125.,过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k,多边形,定义,前提条件是在一个平面内,对角线,它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题,正多边形,定义既是判定也是性质,定义,用途,公式,连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线,从一个顶点出发的对角线的总条数（n-3）条，多边形对角线的总条数,多边形定义前提条件是在一个平面内对角线它是多边形的一条重要线,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,11.3 多边形及其内角和11.3.2 多边形的内角和,人教版 数学 八年级 上册,11.3 多边形及其内角和人教版 数学 八年级 上册,【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？,【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？导入新知,1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.,2. 能运用多边形的内角和公式与外角和公式解决问题.,素养目标,1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.2. 能,你知道长方形和正方形的内角和是多少度？,三角形内角和是多少度？,三角形内角和是180.,都是360.,猜想任意四边形的内角和是多少度？,多边形的内角和,问题1：,问题2：,问题3：,你知道长方形和正方形的内角和是多少度？,猜想：四边形ABCD的内角和是360.,你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？,解法一：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为 1802=360.,猜想与证明,问题4：,猜想：四边形ABCD的内角和是360.你能用以前学过的知识,解法二：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 1803(AEB+AED+CED) =1803180 =360.,E,解法二：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE，ABCD,解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：ABE，ADE，CDE，CBE.所以四边形ABCD内角和为：1804(AEB+AED+CED+CEB)=1804360=360.,E,解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，ABCDE探究新,P,解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.,所以四边形ABCD内角和为1803 180= 360.,这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.,结论： 四边形的内角和为360.,ABCDP解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB,例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.,解：,如图，四边形ABCD中，A+ C =180.,A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，,因为,BD= 360（AC） = 360 180 =180.,所以,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.,运用四边形内角和定理进行证明或计算,例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系,1. 如图，求ABCDEF的度数,解：连接BE.DOBCD，DOBCBEDEB，CDCBEDEB，AABCCDDEFFAABCCBEDEBDEFFAABEBEFF.在四边形ABEF中，AABEBEFF(42)180360，AABCCDDEFF360.,1. 如图，求ABCDEF的度数巩固,你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?,内角和为1803 = 540.,内角和为1804 = 720.,问题5：,ACDEBABCDEF你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方,0,n 3,1,2,3,1,2,3,4,n 2,（ n 2 ）180,1180=180,2180=360,3180=540,4180=720,由特殊到一般,n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个,分割,多边形,三角形,分割点与多边形的位置关系,顶点,边上,内部,外部,转化思想,多边形的内角和公式,n边形内角和等于(n2)180 .,注意：n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180.多边形的内角和是180的整倍数.,归纳总结,分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化,例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？,解：设这个多边形边数为n，则 （n2）180=360+720， 解得n=8， 这个多边形的每个内角都相等， （82）180=1080， 它每一个内角的度数为10808=135,利用多边形内角和公式求角度或边数,例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这,2. 根据多边形的内角和完成下列题目.,(1) 一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是()A4条 B5条 C6条 D7条(2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是()A900 B540 C1080 D360(3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和()A增加180 B增加360 C减少360 D不变,C,C,A,2. 根据多边形的内角和完成下列题目.(1) 一个多边形的内,例3 已知n边形的内角和=（n2）180（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由；,解： 360180=2， 630180=3.90， 甲的说法对，乙的说法不对， 360180+2=4 故甲同学说的边数n是4；,例3 已知n边形的内角和=（n2）180解：,（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x,解：依题意有 （n+x2）180（n2）180=360， 解得x=2 故x的值是2,（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，,3. 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数,分析：根据五边形的内角和等于540，由C，D，E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数,3. 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75,解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540CDE=230.AP平分EAB，PAB EAB，同理可得ABP ABC，P+PAB+PBA=180，P=180PABPBA=180 (EAB+ABC)=180 230=65,解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=,用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？,241324132413241324132413241324,多边形的外角和,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和,任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？,互补,5180=900,多边形的外角和 如图，在五边形的每个顶点处各取,五边形外角和,=360 ,=5个平角,五边形内角和,=5180,(52) 180,结论：五边形的外角和等于360.,这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,EBCD123 45A五边形外角和=360 =5个平角,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和,n边形外角和,n边形的外角和等于360.,(n2) 180,=360 ,=n个平角n边形内角和,= n180 ,思考：n边形的外角和又是多少呢？,与边数无关,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和,回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？,每个内角的度数是,每个外角的度数是,练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 ，那么这是正_边形.(2)已知多边形的每个外角都是45，则这个多边形是 _边形.,六,正八,回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少,例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.,解： 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)180， 多边形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 这个多边形的边数为6.,多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用,例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边,例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.,解法一：设这个多边形的内角为7x ，外角为2x，根据题意得,7x+2x=180，,解得x=20.,即每个内角是140 ，每个外角是40 .,360 40 =9.,答：这个多边形是九边形.,还有其他解法吗？,例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多,解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得,解得 n=9.,答：这个多边形是九边形.,探究新知,解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得解得 n=9,4. 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数,解：由题意得AB=AE，所以AEB= (180A)=36，所以BED=AEDAEB=10836=72.,4. 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的,1.已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（）A6 B7 C8 D9,解析：正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，则这个正多边形的边数是：36040=9,D,1.已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数,2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_,解析：设多边形的边数为n，根据题意，得 （n2）180=3360， 解得 n=8 则这个多边形的边数是8,8,2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数,1.判断(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（）(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（）(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （）,2.一个多边形的每一个外角都是36，则这个多边形的边数是,10,1.判断2.一个多边形的每一个外角都是36，则这个多边形,3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米,150,3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24,4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A. 360 B. 540 C. 720 D. 900 ,B,4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形B基础,一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.,一个多边形的内角和为1800，截去一个角,如图，求1234567的度数.,解：如图，3489，12345671289567五边形的内角和540.,8,9,如图，求1234567的度数.解：,多边形的内角和,内角和计算公式,(n2) 180 (n 3的整数） 边数增加1，内角和增加180；内角和是180的整倍数.,外角和,多边形的外角和等于360特别注意：与边数无关.,正多边形,内角= ，外角=,多边形的内角和内角和计算公式(n2) 180 (n,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,
