弹性体振动ppt课件.ppt

第六章 弹性体振动,前各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。,6.1 介绍,客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定。,由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个；主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性；,在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。,在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。,讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件：1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。,6.2 一维连续系统振动弦振动,从有限多自由度模型到无限多自由度模型连续系统,张力为T的弦振动多自由度模型,根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分方程为假定作微小振动，因此,考虑到Dxi=xi+1xili在微振动中保持不变。进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦中张力可近似看做常量T。并且有在弦的两端有y0yn+10。,写成矩阵形式，有,将上式两端向除以Dxi，得随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于连续函数y(x,t)。同时，分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度上的载荷。,于是方程(6.2.4)演化为一阶偏微分方程：其边界条件y(0, t)=y(l, t)=0可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的响应，这种做法在实际问题中常常用到。若把弦作为连续系统，精确地确定系统的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。,弦的振动微分方程及其自由振动,直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。如图在弦作微振动假设下，有：考虑到微元段在水平方向的平衡，弦中张力可近似看成是常量T。,微元段的运动微分方程为与方程(6.2.5)完全相同。,讨沦无阻尼自由振动的情形。 此时p(x，t)0，于是程(6.2.5)可写成 称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。要求给出系统的边界条件和初始条件,方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。波动解将弦的运动表示为y(x, t)=f1(xct)+f2(x+ct)即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加。振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布。,两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成。,对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。下面寻求方程(6.2.6)的振动解。,观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而变化。用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数和时间函数的乘积。即y(x, t)=X(x)Y(t) (6.3.9),其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于同一常数。设这一常数为a，有,只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定振动运动。所以，取a=p2于是，上述方程改为,方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是Y(t)=Asinpt+Bcospt (6.2.12)X(x)=Csinbt+Dcosbt (6.2.12)其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条件(6.2.7)，得X(0)=0 (6.2.14)X(l)=0 (6.2.15)于是有 D=0,而由条件(6.2.15)可得sinbl=0 (6.2.16)上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值bi所以系统的各阶固有频率为：,与其相应的特征函数，亦称振型函数为弦对应于各阶固有频率pi的主振动为,弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即有其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。将初始条件(6.2.8)代入上式，有,三角函数族具有正交性，即由此可得,由以上讨论可见，张紧的弦的自由振动除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动亦称谐波振动。,例 求前图(a)所示弦的前3阶固有频率和相应的振型函数。解 将i1，2，3分别代入式(6.2.18)和(6.2.19)中，有,系统的前3阶振型函数如下图所示。,讨论：,(1)弦的各阶固有频率由低到高成倍增长，相应的波形的波数逐渐增多。振幅始终为零的点称为节点。节点数随振型阶数的增向而逐一增加。一般地说，第i阶振型有i1个节点。 (2)如果将弦缩聚成三自由度系统(如下图所示)，用离散系统的振动分析方法，可以得到系统前3阶固有频率为,与弹性体的分析结果比较，基频的误差为2.6%，一阶主振型也较好地接近一阶振型函数X1(x)，随着阶次的增加，误差增大。,6.3 导致一维波动方程的其它振动系统,比较典型的有：杆的纵向振动轴的扭转振动。,杆的纵向振动,以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻的纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二定律，它的运动方程为,将它代入式(6.3.1)并化简，得,可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变量法。将u(x, t)表为：u(x, t)=X(x)U(t) (6.3.5),按上类似的方式可得：其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条件确定。典型的边界条件有以下几种：,(1)固定端 该处纵向位移为零，即有u(x, t)=0, x=0 or l(2)自由端 该处轴向内力为零，即有(3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图(a)，则此处轴向内力等于弹性力，即,(4)惯性载荷 设杆的右端附集中质量块(图(b)，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性力，即,例 一匀质细直杆的左端固定，右端通过弹簧与固定点相连(如上图(a)。试推导系统的频率方程。 解 杆在两端的边界条件可表示为u(0,t)=0 和 即,将此边界条件代入振型函数X(x)，(式(6.3.7)中，可得由此可知，系统的频率方程为,对应给定的a值，不难找到各固有频率pi的数值解，而与各个pi相应的振型函数为,轴的扭转振动,长为l的等截面直园轴。设轴单位体积的质量为r，圆截面对其中心的极惯性矩为Ip，材料剪切弹性模量为G。,假定轴的横截面在扭转振动中保持为平面作整体转动。以q (x, t)表示轴上x截面处在t时刻相对左端面的扭转角。为推导轴扭转振动的微分方程，从其中截取一微元段如上图。列出运动微分方程为其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力学知 ，代入式(6.3.8)，整理得,其中c2=G/r。可见轴的扭转振动微分方程仍为一维波动方程。常见的边界条件有以下几种：(1)固定端 该处转角为零，即有q(x, t)=0，x=0 or l,(2)自由端 该处扭矩为零，即(3)弹性支承 若轴的右端通过刚度为Kt的扭簧与固定点相连，则有(4)惯性载荷 若轴的右端附有一圆盘，则有,上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量。例 设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图所示。圆盘对转轴的转动惯量力J0，试考察这系统的扭振固有频率与振型函数。,解 设轴的扭转振动可表为q(x, t)=X(x)Q(t)且有 Q(t)=Asinpt+BcosptX(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c)轴在左端有u(0,t)0，轴的右端有,以上边界条件也可表示为由上二式可得,或写成b tanb=a (c) 其中 b=pl/c, a=Iprl/J0 式(c)即轴系的特征方程。 a的物理意义为轴的转动惯量与园盘转动惯量之比。对于给定的a值，不难找出轴系固有频率的数值解。 在实用上，通常基频振动最为重要。其对应于基频特征值b1。,注意，当a取小值时， b1亦为小值。如近似地取tanb = b，则式(c)化简为b2=a (d) 可写成 p2=c2rIp/(J0l)=GIp/(J0l)GIp/l就是轴的扭转弹簧常数，上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。可看到，当a0.3时，由上式给出的固有频率近似值的误差约为5%。,进一步的近似可取 tanbb+b 3/3，这时有即有再将式(d)中的b2代入上式右端。可得,或写成(e)上式也就是将轴转动惯量的1/3加到圆盘后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。它和瑞利法所得的结果相一致。可看到，当a1时，用式(e)所得的基频近似值的误差还不到1%。所以，只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那末计算基频近似式(e)在实用上已足够准确。,一维连续弹性系统的强迫振动,强迫振动响应总是工程实际所关心的。连续介质的弹性系统强迫振动响应也是建立在自由振动分析的基础上，即在获得了对该系统的特征值bi和振型函数Xi (x)的基础上。下以一个例子来说明过程。,例 考察左端固定、右端附有质量M的杆，设AE为常数，初始条件为零，质量M上作用有谐波力F(t)=F0sinwt。,解：由题意有(a)设主振动为 (b),这里的wi，Xi(x)分别为前(c)，(d)所给，Xi(x)中Ai由(e)的归一条件定出。将(b)代入(a)，两边前乘Xj(x) 并沿杆长积分，注意(e)，(f)及对d函数的积分性质，有,因为 由特征方程，有Mw2X(l)=EAX(l)，就有,(c) (d)(e)(f),最后,6.4 梁的弯曲振动,梁弯曲振动的运动方程考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动;假定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假定梁的长度与截面高度之比大于10。如下图,设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均为常数，建立如上图所示的坐标系。,根据材料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响；这种梁称做欧拉贝努利(Euler-Bernoulli)梁。梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示。,在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t，此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受力情况。微元段沿y方向的运动方程为忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点的矩之和应为零，即,略去二阶微量，有由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得,上式就是梁弯曲振动的运动微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振动，其运动微分方程为(6.4.5) 或写成(6.4.6) 其中a2=EI/r,粱的自由振动,粱弯曲振动的运动微分方程(6.4.6)是一个四阶偏微分方程。为求其振动解，仍采用分离变量法，即假定方程(6.4.6)的解为y(x, t)=X(x)Y(t) (6.4.7) 将(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得,要使仅依赖于t的左端与仅依赖于x的右端相等，两者应等于同一常数。取这一常数为p2，于是有方程(6.4.9)的通解为,方程(6.4.10)是一个四阶常系数线性微分方程，它的特征方程是l4b4=0 其特征值为 l1=b, l2=b, l3=bj, l4=bj 所以，方程(6.4.10)的通解为X(x)=Cebx+De-bx+Eejbx+Fe-jbx,或表示为X(x)=c1chbx+c2shbx+c3cosbx+c4sinbx(6.4.12) 特征值b及振型函数由梁的边界条件来确定。对于梁的弯曲振动，基本的边界条件有以下几种： (1)固支端 固支端的挠度和转角都为零，即,(2)铰支端 铰支端的挠度与弯矩都为零，即(3)自由端 自由端的弯矩与剪力都为零，即,还有其它一些边界条件，如图所示梁端具有弹性支承或附有集中质量。,图(a)所示梁右端的边界条件为,图(b)所示梁右端的边界条件为,在所有这些边界条件中，反映对端点位移或转角的约束条件称为几何边界条件，反映对弯矩或剪力的约束条件称为力边界条件。,根据梁的边界条件，可确定梁的无限多个固有频率pi和相应的振型函数Xi(x)因而梁弯曲自由振动的一般表达式为 式中Ai，Bi (i=1,2,)由系统的初始条件y(x,0)和y(x,0)决定。,.,固有频率与振型函数,讨论几种常见梁的情形。1简支梁 由简支梁的边界条件(6.4.14)推知,有 c1+c3=0, c1c3=0c1=c3=0c2shbl+c4sinbl=0c2shblc4sinbl=0因为bl 0时，shbl 0，得c2=0特征方程为 sinbl=0 (6.4.24)特征根为 bi=ip/l, i=1, 2, , (6.4.25),因为 b2=p/a 系统的固有频率和相应的振型函数为,2固支梁由下图固支梁的边界条件(6.4.13)可推知,由(6.4.28)， (6.4.29)有c1+c3=0, c2c4=0c1=c3， c2c4(chblcosbl)c1+(shblsinbl)c2=0(shbl+sinbl)c1+(chblcosbl)c2=0 (6.4.30),要使c1，c2有非零解，上式的系数行列式必须为零，即考虑到ch2blsh2bl=1, cos2bl+sin2bl=1(6.4.31)可化简为cosblchbl=1 (6.4.32),这是两端固支梁的特征方程。 用数值解法可以求得一系列bi值(i1,2,)。前5阶的特征根如下(不包括零根） ： 其中，对应于i 2的各个特征根可足够准确地取为bi l(i+1/2)p, i=2, 3, 4, ,梁的各固有频率相应地为pi=bi2(EI/r)1/2 i=1, 2, (6.4.33)求得各特征根后，由(6.4.30)可确定系数c1，c2的gi。,故与pi相应的各振型函数可取为Xi(x)=chbixcosbix+gi(shbixsinbix)(6.4.35) 其中前3阶振型函数如图。,3. 自由梁可证明：从自由梁的边界条件得到的自由梁弯曲振动的特征方程与固支梁特征方程(6.4.32)相同。,不过自由梁还有b0 的二重特征根。它们分别对应于自由梁的两种横向刚体运动，即在对称面内的铅直平动和绕质心的转动。需要指出，虽然自由梁与固支梁有相向的弯曲振动固有频率，但它们对应的振型函数却是不同的。,4. 悬臂梁 一端固定，一端自由梁的边界条件可表示为 X(0)=X(0)=0 (6.4.36)X”(l)=X”(l)=0 (6.4.37) 由上 c3=c1c4 c2 (chblcosbl)c1+(shblsinbl)c2=0(shblsinbl)c1+(chblcosbl)c2=0 (6.4.38),方程(6.4.38)有非零解的条件为 化简后有 即为悬臂梁弯曲振动的特征方程。它的前5阶特征根可借数值解法求得如下：,其中对于i 3的各特征根可足够准确地取为bil(i1/2)p, i=1, 2, 各阶固有频率相应地为pi=bi2(EI/r)1/2, i=1, 2, (6.4.40) 将各特征根代入方程(6.4.38)，可确定系数c1与c2的比值zi,故与pi相应的振型函数可取为,悬臂梁的前3阶振型函数如上图所示。 由基本边界条件组合的共它梁的情形列于下表。,悬臂梁自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数力k。对下图所示梁，其边界条件为：,由固定端的边界条件有c1=c3，c2=c4由边界条件(6.4.44)及上式，有,方程(6.4.45)有非零解的条件经整理化简后为,两种极端情形： (1)当k0时，(6.4.46)转化为1+chblcosbl=0 即得到悬臂梁的特征方程。 (2)当 k 时，弹性支承就相当于铰支端，(6.4.46)转化chblsinblshblcosbl=0thbl=tanbl (6.4.47) 即得到一端固定，一端铰支情形下的特征方程。,前讨论过多自由度系统主振型的正交性，这种正交性是模态分析法的基础。弹性体振动具有类似的特性。从前几节的讨论可以看到，一些简单边界条件下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较熟悉的。另些情形下得到的振型函数包含双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函救的正交性尚待进一步说明。,6.6 振型函数的正交性,讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式。所以放宽些假设条件，考察变截面梁的情形。这时，梁单位长度的质量r(x)以及截面刚度EI(x)都是x的已知函数，不必为常数，故梁自由弯曲振动微分方程为,采用分离变量法，将y(x, t)表示为y(x, t)=X(x)Y(t) (6.6.2)将它代入方程(6.6.1)进行分离变量后，可得分两种情形进行讨论。,1. 以基本边界条件组合的梁的情形 当梁的边界条件为基本边界条件时，与(6.4.13)，(6.4.14)，(6.4.15)相对应的边界条件分别为 固支端 铰支端,自由端 现假设方程(6.6.4)在一定的边界条件下，对应于任意两个不同的特征值pi或pj的振型函数分别为Xi(x)与Xj(x)，于是有,对(6.6.8)乘以Xj(x)dx，然后在0 xl上对x进行积分，得(6.6.10) 再对(6.6.9)乘以Xi(x)dx，然后在0 xl上对x进行积分，得,(6.6.11),(6.6.10)与(6.6.11)相减，可得,如果以(6.6.5)(6.6.7)中任意两个式子组合成梁的边界条件，那末(6.6.12)右端都将等于零。所以，在这情形下，就有 已假设pipj，故有 称振型函数Xi(x)与Xj(x)关于质量密度r(x)正交。亦称以r(x)为权的加权正交。,当r(x)等于常数时， Xi(x)与Xj(x)具有的通常意义下的正交性： 考虑到(6.6.13)，从(6.6.10)或(6.6.11)都可以看到，在上述边界条件下，有,梁弯曲振动振型函数关于刚度EI(x)的正交性，实际是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 当ij时，(6.6.12)自然满足。记下列积分为 Mi称为第i阶振型的广义质量，Ki称为第i阶振型的广义刚度。由(6.6.10)或(6.6.11)不难看到，有Ki/Mi=pi2,2梁边界条件中含有非基本边界条件情形当梁的边界条件含有非基本边界条件时，振型函数的正交关系需要修正。比如：当梁l端为弹性支承时，边界条件为,将它代入(6.6.12)与( 6.6.10)，可得,当梁l端具有附加质量时，边界条件为将它代入(6.6.12)与(6.6.10)，可得,6.7 连续系统的强迫响应,离散系统的动态响应分析中，利用主振型的正交性，使微分方程解耦，从而使多自由度系统的响应分析可以转化为多个单自由度系统的模态响应问题。在求得各模态的响应后，再进行叠加，就可以得到原系统的响应。这种模态分析方法也称主振型叠加法。,对于具有无限多自由度的连续系统，也可以用这种方法来求系统的强迫响应。前已对一维连续系统举例说明了过程，下面用梁的弯曲振动为例更一般地再次说明。设有弯曲刚度为EI(x)，质量分布密度为r(x)的梁。在分布载荷p(x，t)的作用下，梁的弯曲振动微分方程(6.4.4)可改写为,梁的各阶振型函数Xi(x)满足下列方程,和相应的边界条件。对于基本边界条件，振型函数也满足下列正交关系,设方程( 6.7.1)的解可以表示为振型函数的无穷级数，即 其中各qi(t)可以看做系统的广义坐标(相当于多白由度系统中的主坐标)。可用拉格朗日方程来推导各广义坐标满足的运动微分方程。,系统动能表达式由(6.7.5)，梁各点的速度可表示为 考虑到(6.7.3)，系统的动能可表达为,式中,系统势能表示式只考虑梁的弯曲势能，由(6.7.5)，梁各截面上的弯矩M(x)可表示为,式中,Ki称为对应于广义坐标qi的广义刚度。且有 广义力Qi 由式(6.7.5)，梁的虚位移可表示为,梁的分布载荷p(x, t)在上述虚位移上所做的虚功为,式中定义了广义力Qi为,将上得到的动能Ek、势能Ep以及广义力Qi的表示式代入拉格朗日方程 可得广义坐标qi的下列运动微分方程,方程(6.7.1)即是广义坐标qi(t)应满足的方程。它的解可利用单自由度系统讨论的结果得到。假设梁的初始条件为,利用振型函数的正交性，得到用广义坐标表示的初始条件为,方程(6.7.11)的通解可确定为,将上式代入式(6.7.5)中，得到梁在初始激扰及广义力作用下的响应，即,讨论：,(1) 如作用在梁上的载荷不是分布力，而是作用在梁上某点x1处的集中力p(t)，那末利用d函数，可将集中力的分布集度表示为,(2)在方程(6.7.11)中，要遇到积分,因为Xi(x)包含有双曲函数，所以要完成这个积分有时比较困难的，常借助于数值积分完成。对集中力来说，利用d函数的性质可以避免这一困难。,例 均匀简支梁在t0时除两个端点外，其它各点均获得横向初速度v，在xl/2处作用有一正弦激励力p(t)=Psinwt，求此后梁的响应。解 均匀简支梁的固有频率为 相应的振型函数为,第i阶振型的广义质量mi为 故 i = 1,2,设梁的响应可表示仍为,i=1, 2, ,模态坐标hi(t)所满足的方程为,i = 1,2,最后有,注意到对此问题，由于不考虑阻尼，除了以sinwt项代表的系统强迫稳态响应外，系统的初始激励振动和伴随自由振动响应(以sinwi t项代表)也不衰减。实际系统总是存在阻尼的，这些瞬态项理应随时间衰减掉，故对连续系统的数学处理中也应当考虑阻尼。,在连续系统模型中考虑一般阻尼，严格的说，如要保持振形函数的正交性，要求的数学处理要复杂的多。好在前面已经看到，多自由度的适用于比例阻尼或无阻尼系统的实模态方法，能够在非比例阻尼的条件下保持相当高的计算精度。,类比到这里无穷多自由度的连续系统，推荐的处理方法是假设无阻尼连续系统所对应振形函数的对质量和刚度的正交性在有阻尼时总是保持；因此可以定义各阶模态阻尼比zi(i = 1,2,)并获解耦的有阻尼“单自由度”模态坐标两阶微分方程,则各阶模态坐标时间响应函数中就会有如exp(-ziwit)项出现以代表阻尼效应。,最后所得就和前比例阻尼实模态叠加响应公式类似了，只是对连续系统叠加项为无穷多。这一包括阻尼的处理过程对弦、杆、梁及后将讨论的薄板问题都类似。,例 均匀简支梁受图所示突加分布载荷 P(x, t)=cxF(t)/l的作用。求梁的动响应。解 简支梁的固有频率、振型函数和广义质量在前例中已经确定，现将梁的动态响应表示为,广义坐标qi(t)所满足的微分方程为,其中广义力Qi(t)为,故广义坐标qi(t)的运动微分方程为对应零初始条件，上述方程的解为,故梁的动态响应可确定为,本章结束,下讲一点薄板问题。,