弹塑性力学问题的变分原理与变分法ppt课件.ppt
2022/12/29,1,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,引 言 基本概念 基于位移的变分原理 基于应力的变分原理 基于位移变分原理的直接解法 基于应力变分原理的直接解法,2022/12/29,2,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,弹塑性力学问题的提法及解法：（1）微分提法及其解法（2）变分提法及其解法,微分提法,微分单元体,微分边值问题, 引 言,2022/12/29,3,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,变分提法,整个固体系统,泛函极值问题,系统能量关系,能量原理,能量法,以欧拉为代表，它是一种把变分问题转化为对应的微分边值问题来求解的方法。,直接求解变分问题的各种近似解法, 引 言,变分原理,变分法,2022/12/29,4,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,弹塑性力学问题的基本关系可分为三类：,（1）变形几何关系 包括几何方程和位移边界条件，反映固体连续性要求。在变形几何关系中，只出现几何量，而与力学量无关。（2）静力（平衡）关系 包括力平衡方程和力边界条件，反映固体平衡要求。在静力关系中，只出现力学量，而与几何量无关。（3）物理（本构）关系 即物理方程或本构方程，反映材料固有的力学性质。本构关系建立了力学量与几何量之间的联系。,在能量原理中，同时满足弹塑性力学全部基本关系的广义应力状态或广义变形状态 真实状态仅满足部分基本关系的广义应力状态或广义变形状态 可能状态,2022/12/29,5,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,在经典的变分原理（能量原理）里，通常用到两类可能状态：(1）变形可能状态（或运动可能状态）：仅满足变形几何关系的广义变形状态。变形可能状态有无穷多个，其中只有一个状态能同时满足弹塑性力学的全部基本关系 固体的真实变形状态。真实变形状态是由固体所受的外部因素（荷载、温度变化）作用引起变形可能状态则与固体所受的外部因素没有必然的因果关系(2）静力可能状态：仅满足静力关系的广义应力状态，静力可能状态也有无穷多个。,2022/12/29,6,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,由变形可能状态出发 虚位移虚位移 从某一几何可能的位移状态变化到无限临近的另一几何可能的位移状态这一微小的位移变化。数学上：虚位移 几何可能的位移函数在无限邻域的变化，即几何可能的位移函数的变分，记作 。虚位移的特点：任意的、微小的、与荷载作用无关,2022/12/29,7,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,在小变形的条件下，根据虚位移的定义，有,2022/12/29,8,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,在给定位移的固体表面上，虚位移还满足以下的边界条件：,（在 上）,（在 上）,2022/12/29,9,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,从静力可能状态出发 虚应力虚应力 从某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一静力可能的应力状态这一微小的应力变化。数学上：虚应力 静力可能的应力函数的变分，记作 虚应力具有任意的、微小的、与变形无关的特点。,2022/12/29,10,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念真实状态与可能状态,在给定应力的固体表面上，满足边界条件：,（在 上）,（在 上）,虚应力应满足平衡微分方程：,2022/12/29,11,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念弹性系统的应变余能,弹性应变比能函数,定义状态函数,积分,弹性应变余能密度函数（应变余能）,线弹性材料：,应变余能与应变能的区别：应变能有明确的物理意义，表示固体受力变形后存储在内部的能量应变余能没有明确的物理意义，仅是为了处理问题方便而引进的概念,2022/12/29,12,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基本概念弹性系统的应变余能,2）应变余能的自变量为应力张量分量,对应变余能，强调3点： 1）应变余能和应变能对全功 是互补的,3）对于线性弹性体，应变余能和应变能在数值上相等,2022/12/29,13,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,考虑一个在外力作用下处于平衡状态的变形体，设其体积为V，表面积为S，受体力(X, Y, Z)和面力 作用。,变形体在其平衡位置发生了虚位移 ui，则在变形体的虚位移过程中，外力（实际力系）在虚位移上所作的功（虚功）就等于变形体的总虚应变能。虚位移原理（虚功原理）：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给定物体微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。,2022/12/29,14,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,位移变分方程,虚位移原理的证明,2022/12/29,15,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,散度定理,以及有,原理得证。,（平衡状态）,2022/12/29,16,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,关于虚位移原理，需要强调指出以下几点： 1）虚位移原理是一个普遍适用的原理，即对于弹性体、弹塑性体等都是适用的。 2）可以证明，外力的总虚功与总虚应变能相等实质上是物体处于平衡状态的充分和必要条件。这就是说，若把位移变分方程作为前提，则可以导出平衡微分方程和静力边界条件：,（在 上）,位移变分方程 平衡微分方程和静力边界条件在应用虚位移原理求解时，所选取的位移函数就无需验证是否满足平衡微分方程和静力边界条件，而只须满足变形几何方程及位移边界条件。,2022/12/29,17,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,3）在位移变分方程中，外力是实际的体力 和面力 ，而应力 则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中，对应力 ，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。,2022/12/29,18,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,【例 1】 如图所示简支梁，设在距梁左端 a 处作用一集中力P，试求梁的挠度，并求出当 a=l/2 时梁跨中的挠度值。【解】 建立直角坐标系，在该坐标系里，位移边界条件可写成,2022/12/29,19,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,若选取梁的挠度函数 w 为,所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。,虚位移,总虚功,一阶变分,2022/12/29,20,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,忽略剪切变形，梁体内的总应变能：,虚位移原理,或改写成,2022/12/29,21,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理虚位移原理,此时，梁跨中截面的挠度为,这个结果与微分解法求得的精确解完全相同。,当挠度级数只取一项时，有,与精确解相比，误差仅为1.5%。,当 a=l/2 时，由上式可得梁的挠度解为,2022/12/29,22,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,从位移变分方程出发，可以推出最小势能原理设ui为物体内的真实的位移场， 和 分别表示真实的位移场和应变场的变分，则由Green公式，有,代入位移变分方程,2022/12/29,23,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,令,可以证明，如果变形体处于稳定的平衡状态，则与真实的位移场相应的总势能为最小值。,由于虚位移与真实的外力作用无关 可假设在虚位移过程中，外力的大小和方向都保持不变，只是作用点有了变化。,真实的位移场使系统的总势能取驻值,(位移分量函数的泛函),2022/12/29,24,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,最小势能原理：在所有几何可能的位移场中，真实的位移场使处于稳定平衡状态的物体的总势能取最小值。最小势能原理适用于线性和非线性弹性体。对于弹塑性体：在应变沿应变极值路径变化时，全量理论的最小势能原理仍然成立。由于最小势能原理是由虚位移原理导出的，所以，关于位移变分方程等价于平衡微分方程和静力边界条件的结论，同样适用于最小势能原理的变分方程。因而，采用最小势能原理或虚位移原理求解弹塑性力学问题，只是数学形式上的不同。,2022/12/29,25,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,从数学上看，采用最小势能原理求解时，问题归结为满足变分方程：,即归结为在给定的约束条件下求泛函极值的变分问题。,以及约束条件,（在 上）,2022/12/29,26,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,【例 2】 如下图所示简支梁，跨中附有弹性支承，梁上受分布荷载q作用，假设梁的材料为线弹性的，试应用最小势能原理，导出梁处于稳定平衡状态时的挠曲微分方程和静力边界条件。,2022/12/29,27,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,外力功,【解】 假设剪切变形的影响可以忽略不计，则在该坐标系中，梁的总应变能U可表示为,2022/12/29,28,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,令,给定位移的边界条件处，虚位移w满足：,2022/12/29,29,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移的变分原理最小势能原理,（在 和 内）,以及, 梁处于稳定平衡状态时的挠曲微分方程和静力边界条件,以上应用最小势能原理，导出梁处于稳定平衡状态时的挠曲微分方程和静力边界条件的方法，实际上就是变分问题的欧拉解法。,2022/12/29,30,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理虚应力原理,仍考虑如图所示的在外力作用下处于平衡状态的变形体。设物体内的位移场和应变场为 和 ，则有,假想物体内的应力分量发生了一个微小的虚应力 ，则由于应力分量的变化，在给定位移的边界上，面力分量也随之变化，且有,（在V 内）,以及,（在 上）,（在 上）,虚面力,2022/12/29,31,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理虚应力原理,(在V内),(在边界S上),2022/12/29,32,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理虚应力原理,如令 为虚面力在真实的位移场上所做的功：,为物体内由虚应力引起的总虚应变余能：, 应力变分方程,2022/12/29,33,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理虚应力原理,应力变分方程 表示当物体处于平衡状态时，在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上所做的总虚功，等于虚应力在真实应变上所完成的总虚应变余能。 虚应力原理（虚余功原理）虚应力原理也是一个普遍适用的原理。在虚应力原理中，所取的位移和应变状态是真实的，而应力状态则是可能的，所以，可以把虚应力原理视为对物体变形协调的要求。应力变分方程实质上等价于变形协调方程和位移边界条件。应用虚应力原理求解时，对于所设的应力函数，就无需预先满足变形协调方程和位移边界条件，而只需使选定的应力函数解答满足平衡微分方程和静力边界条件。,2022/12/29,34,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理最小余能原理,假设虚应力 表示真实应力场的变分，则有,为给定位移的边界 Su 上的未知面力,应变余能定义：,2022/12/29,35,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理最小余能原理,令,当真实的应力场发生一个静力许可的微小变化时，总余能的一阶变分为零 真实的应力场使总余能取驻值,(应力分量函数的泛函),当物体处于稳定的平衡状态时，真实的应力场使物体的总势能取最小值 最小余能原理,2022/12/29,36,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力的变分原理最小余能原理,如果在物体表面S上全部给定面力，则有,最小功原理：若在物体表面全部给定面力，则当物体处于稳定的平衡状态时，在所有满足平衡微分方程和静力边界条件的应力场中，真实的应力场使总应变余能取最小值。, 最小功原理,最小余能原理适用于线性和非线性弹性体对于弹塑性体，在应力加载路径满足极值加载路径时，全量理论的最小余能原理仍然成立。,最小余能原理 变形协调方程和位移边界条件,2022/12/29,37,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移变分原理的直接解法,弹塑性力学问题,偏微分方程的边值问题,数学上求解精确解困难,变分提法,近似解,线弹性力学问题,求解线性代数方程组,非线性力学问题,基于变分原理的有限元法等,2022/12/29,38,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于位移变分原理的直接解法Ritz法,满足位移边界条件，即,步骤一：构造位移试探函数,满足给定位移的边界Su：,（在 上）,未知待定的任意常数,2022/12/29,39,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,步骤二：将位移函数代入位移变分方程或泛函驻值方程,或,步骤三：求解线性代数方程组,对于线弹性体，上式中的总应变能U或总势能 均可表示为 的齐二次多项式，因此，它是待定常数 的线性代数方程组。在联立解得 后，就得到问题的位移解；利用几何方程和本构方程，可进一步求得应变分量和应力分量的解。,基于位移变分原理的直接解法Ritz法, Ritz法,2022/12/29,40,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,在应用Ritz法求解时，如果能列出所有的几何可能的位移，即令位移试探函数中的 n，则根据最小势能原理可知，其中使总势能 P 取最小值的位移，就是要求的问题的真实位移；这就是说，当 n 时，由Ritz法得到的解答是精确解。但一般情况下，要列出所有的几何可能的位移是非常困难的，甚至于是不可能的。因此，n 一般只能取一个有限的数值，即只能选取有限个几何可能的位移，这就可能把真实位移排除在外，因而由Ritz法得到的解答就是近似的，但可以肯定的是，这个近似解是所选取的有限个几何可能的位移中与真实解最为接近的。,基于位移变分原理的直接解法Ritz法,2022/12/29,41,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,在用Ritz法求问题的近似解时，适当地选择函数 和 以及级数的项数n，可以获得精度较高的位移解，但直接由位移近似解导出的应力近似解的精度一般都较差。为了提高解的精度，在选取位移函数时，如果使它不仅满足位移边界条件，而且同时也满足静力边界条件，则不但可以提高位移近似解的精度，而且也使应力近似解的精度大为提高。,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,Galerkin (迦辽金) 法,2022/12/29,42,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,总势能的变分 化为,若ui为真实位移场，由最小势能原理,（在 上）,（在 内）,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,2022/12/29,43,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,假设ui为可能位移，且还满足静力边界条件，则利用最小势能原理得：, Galerkin法的基本方程,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,待定常数 的线性代数方程组,2022/12/29,44,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,步骤一：构造位移试探函数,注意：位移函数必须同时满足位移边界条件和静力边界条件,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,2022/12/29,45,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,步骤二：求解线性代数方程组,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,位移解,应变和应力解,几何方程本构方程,2022/12/29,46,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,当 n 时，由Galerkin法得到的解答是精确解；而当n只取有限的数值时，由Galerkin法得到的解答就是近似的。采用迦辽金法求问题的近似解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方程与一个加权函数 ui 的乘积在整个物体的定义域内积分等于零的条件。由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程，实际上会出现残差，因而， Galerkin法又称为加权残差法。,基于位移变分原理的直接解法Galerkin法,2022/12/29,47,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,【例3】 设有一长度为 l 的简支梁，受均布荷载 q 作用，设材料是线弹性的，而且剪切变形的影响可以忽略不计，试求梁的挠度。,2022/12/29,48,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,选取挠度函数为：,若挠度函数 w 仅取多项式级数的第一项，则总势能为：,根据Ritz法，有,与 “精确解”,相比，误差为17%。,【解】 1. 采用Ritz法求解,边界条件:,2022/12/29,49,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,如挠度函数取多项式级数的前两项，则应用最小势能原理：,与精确解相同。,【解】 1. 采用Ritz法求解 （续）,2022/12/29,50,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,总势能：,根据Ritz法，有,如果选取挠度函数为三角函数：,【解】 1. 采用Ritz法求解 （续）,2022/12/29,51,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,与精确解相比，误差仅为0.26%。,只取级数的第一项，有,【解】 1. 采用Ritz法求解 （续）,2022/12/29,52,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,考虑选取多项式形式的挠度函数。由于一次、二次多项式均不满足位移和静力边界条件，三次多项式不满足对称性要求，故选取下列四次多项式：,选取的位移函数要同时满足：,【解】 2. 采用Galerkin法求解,位移边界条件：静力边界条件：,由边界条件解得,2022/12/29,53,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,代入梁平面弯曲问题的Galerkin法基本方程：,【解】 2. 采用Galerkin法求解 （续）,近似解与精确解一致。实际上，这仅是一种偶然情况，即选取的有限个的可能位移函数中恰好包含了真实的位移。,选择适当的位移函数形式，可以提高解的精度。,2022/12/29,54,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,考虑选取挠度函数为三角级数的形式，即,这一结果与Ritz法得到的结果相同，因为两者选取的挠度函数相同。由于Galerkin法不必计算结构的总势能，而直接由平衡方程开始计算，所以，相对于Ritz法较为简便。,【解】 2. 采用Galerkin法求解 （续）,w,2022/12/29,55,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,【例 4】 设有一弹性矩形薄板，长和宽分别为 2a 和 b，它的左、右边和底边均被固定，而上边（自由边）具有如下给定的位移：,不计体力，试求板的位移。,2022/12/29,56,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,【解】 平面应力问题,薄板的弹性应变比能函数简化为,位移边界条件：,2022/12/29,57,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,对于平面问题，位移分量试函数可取成：,【续】,总应变能：,无面力、无体力,位移边界条件,2022/12/29,58,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,根据Ritz法，有,【续】,位移的近似解：,2022/12/29,59,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,因为本问题没有已知面力的边界，上述所取位移函数已满足了全部边界条件，故也能用Galerkin法计算。,将位移试探函数代入上式积分，可得到用Ritz法求得的完全相同的结果。,【续】,对于平面应力问题，Galerkin法的基本方程的形式为,2022/12/29,60,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,【例 5】 一四边固定的弹性矩形薄板，边长分别为 2a 和 2b。设薄板受横向均布荷载 q 作用，试用Ritz法求薄板的挠度。,【解】 位移边界条件:,2022/12/29,61,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,对薄板小挠度弯曲问题，根据Kirchhoff-Love假定，有,弹性薄板小挠度弯曲问题的总应变能,【续】,2022/12/29,62,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,利用Stokes公式,【续】,2022/12/29,63,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,总势能：,根据位移边界条件，取薄板的挠度函数为,若只取挠度级数的一项，即,【续】,2022/12/29,64,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,根据Ritz法，有,【续】,对正方形薄板：,精确解：,误差 = 5.5%,取挠度级数的前三项,误差 = 0.2%,中心点处的挠度,2022/12/29,65,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力变分原理的直接解法,根据虚应力原理或最小余能原理，其变分方程均等价于变形协调方程和位移边界条件 求解时，选取的应力函数只需满足平衡微分方程和静力边界条件 只要选取静力可能的应力函数即可。,Galerkin建议应力分量可取为：,满足平衡微分方程和静力边界条件的选定函数,满足无体力的平衡微分方程和无面力的静力边界条件的函数,待定任意常数,2022/12/29,66,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,基于应力变分原理的直接解法,对于线弹性体，总应变余能UB = 总应变能U，且都是应力分量的齐二次多项式 上式实际上是一个线性代数方程组,代入应力变分方程或最小余能原理的变分方程，可推得,在物体表面全部给定面力时，根据最小功原理，有,对于线弹性体，实际上也是一个线性代数方程组。,待定系数Am,应力分量的近似解,应变分量、位移解,2022/12/29,67,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,【例6】 一矩形截面杆，设杆长为l，截面尺寸为2a2b。设材料为线弹性的，求该杆弹性自由扭转问题的解。,基于应力变分原理的直接解法,2022/12/29,68,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,外力功：,【解】矩形杆横截面上的剪应力可以用应力函数表示为,杆件的总应变余能：,总余能：,2022/12/29,69,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,根据问题的边界条件，可取应力函数为,只取以上级数的第一项，即,【续】,代入扭矩公式，得,最大剪应力发生在长边中点处:,2022/12/29,70,第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法,对于正方形截面杆：,精确值:,误差 = -1.33%,最大剪应力的近似值：,精确值：,误差= -6.2%,如果,扭矩的误差 = -11.9%最大剪力的近似值的误差 = -40.1%,【续】,
