恰当微分方程与积分因子ppt课件.ppt

1,2.3 恰当微分方程与积分因子,2,变量分离方程,线性微分方程,对称形式的微分方程,3,一、恰当方程的定义及条件,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,4,定义1,则称微分方程,是恰当微分方程.,1 恰当微分方程的定义,恰当方程(Exact Equation),5,例：,上述方程是恰当微分方程,6,对于方程,(1) 方程(1)是否为恰当微分方程?,(2) 若(1)是恰当微分方程,怎样求解?,(3) 若(1)不是恰当微分方程, 是否可能转化为恰当方程求解?,考虑,7,2 方程为恰当微分方程的充要条件,定理1,为恰当微分方程的充要条件是,8,证明,“充分性”,设(1)是恰当方程,故有,从而,故,9,“必要性”,即应满足,10,因此,11,此时，要求(7)的右端与x无关,(7)的右端对x求偏导为0！,12,事实上,13,故,14,若(1)为恰当方程,则其通解为,注:,15,二、恰当方程的求解,1. 不定积分法2. 凑微分法,16,1 不定积分法,17,解:,故所给方程是恰当方程.,18,19,即,积分后得:,故,从而方程的通解为,20,另一种思路：,改写,从而方程的通解为,凑微分,21,2 分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,22,23,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,24,或写成,故通解为:,故所求的初值问题的解为:,25,考虑方程:,是恰当方程？,是恰当方程!,再考虑方程:,是恰当方程？,不是恰当方程!,解相同!,非恰当方程能否变成恰当方程？,26,三、积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,27,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,28,1 定义,29,例5,解:,对方程有,由于,30,把以上方程重新“分项组合”得,即,求通解,故方程的通解为:,31,2 积分因子的确定,即,32,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.,33,变成,即,由于上式左侧仅与x有关，所以上式右侧只能是x的函数的微分。,34,此时求得积分因子,35,3 定理,微分方程,36,37,解:,由于,故它不是恰当方程,又由于,38,利用恰当方程求解法得通解为,39,积分因子是求解微分方程的一个极为重要的方法绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.,几点说明,40,积分因子的不唯一性,根据实际情况确定,41,例 求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,42,即,故方程的通解为:,43,例 求解方程,解:,故方程不是恰当方程,44,方法1:,即,故方程的通解为:,45,方法2:,方程改写为:,容易看出方程左侧有积分因子:,故方程的通解为:,积分因子不唯一,46,方法3:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为:,变量还原得原方程的通解为:,47,方法4:,方程改写为:,故方程的通解为:,即方程的通解为:,48,作业,P60 习题2.3 2(1,5, 10)8,