人教八年级数学上册与三角形有关的角课件.ppt

第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角,三角形内角和定理,如图，在ABC中，A+B+C=180,（1）已知三角形的两个角A和B，求另一个角C的度数.C=180-(A+B)；（2）已知三角形的三个内角的度数之比是abc，求相关角的度数.设三角形三个内角的度数分别是ax,bx,cx，通过方程ax+bx+cx=180求解每一份的度数，再求相关角的度数；（3）已知三角形的三个内角的度数之间的数量关系，求相关角的度数.由已知的数量关系，建立方程，进而求解相关角的度数,例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为234，则该三角形最大角的度数是_.,80,解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，3x,4x.由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180，解得x=20.该三角形最大角的度数是4x=80.,如果三角形三个角的度数之比为abc，可先设这三个角分别为ax，bx，cx，再运用三角形的内角和定理求解三个角的度数.,例2 在ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大12，那么B=_.,解析：设B=x，则A=2x，C=3x+12.A+B+C=180，x+2x+3x+12=180，解得x=28.故B=28.,28,直角三角形的性质与判定,在RtABC中C=90，则A+B=90,在ABC中，A+B=90，则C=90,（1）已知直角三角形的一个锐角A，那么另一个锐角B=90-A；（2）如果A，B是RtABC的两个锐角，那么A+B=C；（3）在ABC中，如果A+B=C，那么这个三角形是直角三角形；（4）在ABC中，如果A=B=45，那么这个三角形是等腰直角三角形,例3 如图11-2-1，BD是ABC的高，AE是角平分线，BAE=26，求BFE的度数.,解：AE是角平分线，BAE=26， FAD=BAE=26. BD是ABC的高，AFD=90-FAD=90-26=64. BFE=AFD=64.,图11-2-1,(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直角三角形两锐角互余，求解另一个锐角；（2）如果已知的角与要求解的角没有直接联系时，就要通过等角的代换进行搭桥.,例4 如图11-2-2，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF与DFE的平分线相交于点P.求证：EFP是直角三角形.,图11-2-2,证明：ABCD，BEF+DFE=180又BEF与DFE的平分线相交于点P， ， .PEF+PFE+P=180,P=90.EFP是直角三角形.,三角形的外角及三角形内角和定理的推论,ACD是ABC的一个外角,在ABC中， ACD=A+B,注意：推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.,（1）三角形的外角和等于360；（2）三角形任何一个外角大于与它不相邻的每一个内角.,例5 如图11-2-3，DE分别交ABC的边AB，AC于点D，E，DE的延长线交BC的延长线于点F，若B67，ACB74，AED48，求BDF的度数.,图11-2-3,解：A+B+ACB=180，A=180-B-ACB=180-67-74=39. BDF=A+AED=39+48=87.,“三角形的内角和等于180”是一个隐含条件，在三角形中，解与角有关的问题时，多从这一角度出发思考问题，还要注意，可将其与内角和定理的推论综合运用.,混淆方位角,例6 如图11-2-4，A点在B处的北偏东40方向，C点在B处的北偏东85方向，A点在C处的北偏西45方向，求BAC及BCA的度数.,图11-2-4,解：由题意，得DBA=40，DBC=85，BDCE， ECB=180-DBC=180-85=95，ABC=DBC-DBA=85-40=45. ECA=45，BCA=ECB-ECA=95-45=50. BAC=180-ABC-ACB=180-50-45=85.,不能正确识别图形中的方位角，把“A点在B处的北偏东40方向”当作“ABC=40”，把“C点在B处的北偏东85方向”当作“ECB=85”，直接导致求解错误.,错以为三角形每一个外角都大于内角,例7 若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）,A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定,B,解析：因为这个三角形的一个外角是锐角，而这个外角与相邻的内角互为邻补角，所以与它相邻的内角为钝角，所以这个三角形是钝角三角形.故选B.,由于受刚刚学完“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的影响，容易错误地认为三角形的每一个外角都大于内角，从而误选A.要注意三角形内角和定理的推论只针对与该外角不相邻的内角，而外角与其相邻内角互为邻补角.,题型一 三角形内角和定理的运用,角度a 三角形内角和定理与角平分线的综合运用,例8 如图11-2-5，在ABC中，ABC=C，BD是ABC的平分线，且BDE=BED，A=100，求DEC的度数.,图11-2-5,思路导图,在ABC中，由三角形内角和定理求出ABC的度数,在DBE中，由角平分线定义和三角形内角和定理求出DEC的度数,解：A=100，ABC=C， .BD平分ABC，DBE=20.BDE=BED， .DEC=180-DEB=100.,角度b 三角形内角和定理与高的综合运用,例9 如图11-2-6，在ABC中BACABCBCA=345，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于点H，试猜想BHC的度数，并证明你的结论.,图11-2-6,思路导图,由题中角的比值关系和三角形内角和定理求出三个角的度数,由直角三角形的性质求出ACE的度数,由三角形内角和定理的推论求出BHC的度数,解：BHC=135.证明如下：设BAC=3x，则ABC=4x，ACB=5x.BAC+ABC+ACB=180，3x+4x+5x=180，x=15，BAC=45，ABC=60，ACB=75CEAB，AEC=90.ACE是直角三角形，ACE=90-BAC=45（直角三角形的两个锐角互余）.BDAC，BDC=90.BHC=HCD+HDC=45+90=135.,角度c 三角形内角和定理的实际应用,例10 如图11-2-7，按规定，一块模板中AB,CD的延长线应相交成85角因交点不在模板上，不便于测量，工人师傅连接AC，测得BAC=32，DCA=65，此时AB,CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？,图11-2-7,思路导图,将实际问题转化为求三角形中角的问题,由三角形内角和定理求出所需角的度数,判断模板是否符合规定,分析：只要确定AB,CD的延长线所成的角是不是等于85即可.,解：不符合规定.理由：如图11-2-8,延长AB,CD相交于点O.在AOC中，BAC=32，DCA=65，AOC=180-BAC-DCA=180-32-65=8385.模板不符合规定.,图11-2-8,题型二 三角形内角和定理推论的运用,角度a 三角形内角和定理推论的应用,例11 如图11-2-9，A+B+C+D+E+F=_.,图11-2-9,360,思路导图,用三角形内角和定理的推论分别表示出A+B,E+F和C+D,由三角形外角和为360可求解,解析：如图11-2-10，1=A+B，2=E+F，3=C+D，且1+2+3=360， A+B+C+D+E+F=360.,图11-2-10,角度b 巧用三角形内角和定理的推论证明角的大小关系,例12 如图11-2-11，P是ABC内的一点，有下列结论：BPCA，BPC一定是钝角，BPC=A+ABP+ACP其中正确的结论是_.（直接填写序号）,图11-2-11,思路导图,作辅助线,利用三角形内角和定理的推论进行证明,解析：如图11-2-12,连接AP并延长，则1是ABP的外角，2是APC的外角，故1=BAP+ABP，2=CAP+ACP，1BAP，2CAP，即BPC=BAC+ABP+ACP，1+2BAP+CAP，BPCBAC，故正确；BPC不能确定其大小，故错误.,图11-2-12,题型三 三角形内角和定理的推论的综合运用,角度a 求三角板拼接中所成的角,例13 （四川内江中考）将一副直角三角板按图11-2-13放置，使含30角的三角板的直角边和含45角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1的度数为（ ）,A. 75 B. 65C. 45 D. 30,图11-2-13,A,思路导图,明确三角板各角的度数,由对顶角相等和三角形内角和定理的推论求出1的度数,解析：在ABC中，A=180-30-90=60，3=90-60=30.4=3=30.由三角形内角和定理的推论，得1=45+4=75.故选A.,角度b 在折叠图形中的综合应用,例14 如图11-2-14，在折纸活动中，刘明制作了一张ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将ABC沿着DE折叠压平，点A与点A 重合，若A=75，则1+2=_.,150,图11-2-14,解析：连接AA1.由题意，得DAE=DA1E.因为1是AA1D的一个外角，所以1=DA1A+DAA1.又因为2是AA1E的一个外角，所以2=EA1A+EAA1,所以1+2=DA1A+DAA1+EA1A+EAA1=DAE+DA1E=2DAE=275=150.,题型四 运用三角形内角和定理探索角之间的规律,例15 （四川内江中考）问题引入：(1)如图11-2-15（1），在ABC中，点O是ABC和ACB的平分线的交点，若A=，则BOC=_(用表示)；分析：,如图11-2-15（2），CBO = ABC，BCO = ACB，A =,则BOC=_(用表示)，并说明理由.理由：BOC,类比研究： (3)BO，CO分别是ABC 的外角DBC，ECB的n等分线，它们交于点O，CBO = DBC,BCO = ECB,A=,试猜想BOC=_.分析：BOC =,(3),(1),(2),图11-2-15,解读中考： 三角形内角和定理是中考中必考的内容作为独立知识点考查时，常以选择题或填空题的形式出现，考查时经常与平行线、角平分线、直角三角形等知识相结合，出题以三角板的拼接、图形的折叠等为热点题型.,考点一 三角形的内角和定理的运用,例16 （黑龙江大庆中考）如图11-2-17，在ABC中，A=40，点D是ABC和ACB角平分线的交点，则BDC=_.,110,图11-2-17,解析：点D是ABC和ACB角平分线的交点，CBD=ABD= ABC，BCD=ACD= ACB.ABC+ACB=180-A=140，DBC+DCB= (ABC+ACB)=70.BDC=180-70=110.,考点二 直角三角形的性质的运用,例17 （浙江宁波中考）如图11-2-19，在ABC中，ACB=90，CDAB，ACD=40，则B的度数为（ ）,A.40 B.50 C.60 D.70,图11-2-19,B,解析：CDAB，ACD=40，A=ACD=40.ACB=90，B=90-A=90-40=50.故选B.,考点三 三角形的内角和定理的推论的运用,例18 （四川广安中考）如图11-2-21,直线l l ,若1=130,2=60,则3=_.,70,图11-2-21,图11-2-22,解析：如图11-2-22，直线l1l2,1=130,4=1=130.2=60,5=4-2=70,3=5=70.,例19 （山东枣庄中考）如图11-2-24，在ABC中，AB=AC，A=30,E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D=（ ） A.15 B.17.5 C.20 D.22.5,A,图11-2-24,解析：如图11-2-25,ABC与ACE的平分线相交于点D，1=2，3=4.ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A.1=3+D，D= A= 30=15.,核心素养,例20 （1）如图11-2-26(1),1+2与B+C有什么关系？为什么？,解：（1）根据三角形的内角和定理，得1+2=180-A，B+C=180-A，1+2=B+C.,(2）把图11-2-26(1)中的ABC沿DE折叠，得到图11-2-26(2).填空：12_B+C(填“”“”或“=”)，当A=40时，B+C+1+2=_.,=,280,（3）图11-2-26(3)是由图11-2-26(1)的ABC沿DE折叠得到的,如果A=30,那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-_=_,猜想BDA+CEA与A的关系为_ .,300,60,BDA+CEA=2A,（3）,（2）,（1）,图11-2-26,分析：（1）根据三角形的内角和定理，得1+2=B+C.（2）1+2+BDE+CED=B+C+BDE+CED=360，1+2=B+C.当A=40时，B+C+1+2=1402=280.（3）如果A=30，那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-300=60，所以BDA+CEA与A的关系为BDA+CEA=2A.,