人教八年级数学上册与三角形有关的线段.ppt

人教八年级数学上册与三角形有关的线段,人教八年级数学上册与三角形有关的线段,三角形的定义及相关概念,概念图例三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成,概念图例三角形的基本元素边组成三角形的线段.图例中的线段BC,巧记乐背,首尾相接三线段，三边三角三顶点.,知识解读三角形的定义有三个要点：(1)不在同一条直线上,(2,数复杂图形中三角形个数的方法,可以先固定三角形的一个顶点，再确定另两个顶点，按一定的顺序数；可以固定三角形的一条边，再确定三角形的另一个顶点，按一定的顺序数；可以按照图形的形成过程来数等，原则是分类标准统一，做到不重不漏.,数复杂图形中三角形个数的方法 可以先固定三角形,例1 如图11-1-1，图中有几个三角形，分别表示出来，并指出其中一个三角形的边和角.,图11-1-1,解：图中共有五个三角形，分别是AMN,ABC,MBE,BEC,ENC.其中,AMN的三条边分别是AM,AN,MN，三个角分别是A,AMN,ANM.,例1 如图11-1-1，图中有几个三角形，分别,找三角形时，可以按“边”的顺序逐一来找，如此题中以AB为边的ABC，以AM为边的AMN，以BM为边的MBE，以NC为边的ENC，以EC为边的BEC.,找三角形时，可以按“边”的顺序逐一来找，如此题中以A,三角形的分类,三角形的分类按边分类按角分类三角形的分类知识解读（1）按内角,三角形,知识解读三角形,例2 下列说法中，描述正确的是_（填序号）.三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形是特殊的等边三角形；两边相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形.,例2 下列说法中，描述正确的是_（填序号）,解析：等腰三角形包含等边三角形，故错误；等边三角形是特殊的等腰三角形，故正确，错误；由等腰三角形的定义知，两边相等的三角形一定是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，故正确.,解析：等腰三角形包含等边三角形，故错误；等边三角形是特殊的,三角形的三边关系,三角形的三边关系文字叙述几何语言三角形的三边关系三角形两边的,(2)三角形两边的和大于第三边中“两边的和”是指任意两边的和，三角形两边的差小于第三边中“两边的差”是指任意两边中较长边与较短边的差；,(1),知识解读(2)三角形两边的和大于第三边中“两边的和”是指任意,（3）三角形三边关系的逆用：如果三条线段满足任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形；如果三条线段满足任意两条线段的差小于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形,知识解读（3）三角形三边关系的逆用：如果三条线段满足任意两条,巧记乐背,两边和大于第三边，两边差小于第三边,三边的关系不一般，反过来使用最广泛.,巧记乐背两边和大于第三边，,例3 下列长度的三条线段(单位：cm)，能组成三角形的是（ ） A. 1,2,3.5 B. 4,5,9 C. 5,8,15 D. 6,8,9,D,解析：选择较短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能组成三角形，否则不能组成三角形，只有68149，所以长度为6,8,9的三条线段能组成三角形.故选D.,例3 下列长度的三条线段(单位：cm)，能组成,例4 已知三角形三边长分别为2，x，13，则x的取值范围是_.,解析：由三角形的三边关系知13-2x13+2,即11x15.,11x15,例4 已知三角形三边长分别为2，x，13，则x,三角形的高、中线与角平分线,三角形的高、中线与角平分线概念图例几何语言推理语言三角形的三,概念图例几何语言推理语言三角形的三条重要线段中线顶点与其对边,概念图例几何语言推理语言三角形的三条重要线段角平分线三角形的,知识解读（1）三角形的高、中线与角平分线都是线段，特别是三角,巧记乐背,中线高线角平分线，各为三条是线段，有高可得线垂直，中线可得等线段，平分内角角平分线，灵活运用真简单.,巧记乐背中线高线角平分线，,（1）三角形的三条高所在的位置：如图，锐角三角形的三条高，都在三角形内部；直角三角形的三条高，其中两条是直角边，另一条在三角形的内部；钝角三角形的三条高，其中两条在三角形外部，另一条在三角形内部. （2）三角形的三个重要的点：三角形的三条高，三条中线，三条角平分线分别相交于一点，其中三角形三条高的交点叫作三角形的垂心；三条中线的交点叫作三角形的重心；三条角平分线的交点叫作三角形的内心.,（1）三角形的三条高所在的位置：如图，锐角三角形,（3）三角形三条高的交点的位置：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点上；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，如图.,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,（3）三角形三条高的交点的位置：锐角三角形三条高,例6 如图11-1-2,在ABC中，12，点G为AD的中点，连接BG并延长交AC于点E，点F为AB上一点，CFAD于点H，下面说法正确的是_（填序号）. AD是ABE的角平分线；BE是ABD的边AD上的中线；CH为ACD的边AD上的高；AH是ACF的角平分线和高线.,图11-1-2,例6 如图11-1-2,在ABC中，1,解析：因为12，所以AD是ABC的角平分线，AH是ACF的角平分线.又因为CFAD于点H，所以AH是ACF的高线，CH为ACD的边AD上的高，所以错误，正确.因为点G为AD的中点，所以BG是ABD的边AD上的中线，所以错误.,解析：因为12，所以AD是ABC的角,三角形的稳定性,( 1）生活中的三角形稳定性的应用：三角形吊臂、屋顶钢架、自行车钢梁等.,三角形的稳定性概念三角形的稳定性如果三角形的三条边的长度确定,（2）四边形及边数为四以上的图形不具有稳定性，构造出三角形，可使不稳定图形变稳定,知识解读（2）四边形及边数为四以上的图形不具有稳定性，构造出,让多边形变稳定则至少需再钉几根木条：四边形：再钉上1 根木条，使四边形变成2 个三角形；五边形：再钉上2 根木条，使五边形变成3 个三角形；n边形：再钉上（n-3）根木条，使n边形变成（n-2）个三角形.,让多边形变稳定则至少需再钉几根木条：,例7 如图11-1-3，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）,A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短,图11-1-3,A,解析：加上窗钩AB后，原图形中构造出AOB，故这种做法根据的是三角形的稳定性.故选A.,例7 如图11-1-3，一扇窗户打开后用窗钩A,忽略三角形三边之间的关系,例8 已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为_.,6.5,解析：当腰长为3时，底边长为16-3-3=10.因为3+310，所以不存在这样的三角形；当底边长为3时，腰长为（16-3）2=6.5.,忽略三角形三边之间的关系 例8 已知等腰三角形,在求等腰三角形的边长时，解答中有时会忽略分类讨论，从而造成漏解，有时会忽略组成三角形的条件（两边的和大于第三边，两边的差小于第三边），从而导致求解错误.,在求等腰三角形的边长时，解答中有时会忽略分类讨,遗漏图形的其他情形,例9 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和9 cm，求它的各边长.,解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y.,（1）,（2）,图11-1-4,遗漏图形的其他情形 例9 已知等腰三角形一腰上,如图11-1-4(1),当AB=AC,ABBC时，,如图11-1-4(2),当AB=AC,ABBC时,所以这个等腰三角形的各边长分别为8 cm,8 cm,5 cm或6 cm,6 cm,9 cm.,如图11-1-4(1),当AB=AC,ABBC时，如图11,题中没有给出图形，在解答时，常按自己熟悉的等腰三角形求解，从而遗漏了图（2）的情况，即没有做到运用分类讨论的思想方法求解，导致出现错误.,题中没有给出图形，在解答时，常按自己熟悉的等腰三角形求解，从,角度a 根据三角形三边关系求第三边,题型一 三角形三边关系的应用,例10 已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.10 C.11 D.12,B,角度a 根据三角形三边关系求第三边题型一 三角形三边,思路导图,根据三角形的三边关系求解,由8-3第三边的长8+3,从而确定第三边的取值范围,选择符合的选项,解析：因为三角形的三边关系为两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，所以第三边的长应大于5且小于11，观察选项，只有选项B在该取值范围.故选B.,思路导图根据三角形的由8-3第三选择符合 解,角度b 三角形三边关系在等腰三角形中的运用 例11 已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.11 B.16 C.17 D.16或17,D,思路导图,分别以6为腰长或底边长，判断能否组成三角形,求出等腰三角形的周长,角度b 三角形三边关系在等腰三角形中的运用D思路导图分别以,解析：（1）当6是腰长时，三角形的三边长分别为6，6，5，能组成三角形，所以等腰三角形的周长为6+6+5=17.（2）当6是底边长时，三角形的三边长分别为6，5，5，能组成三角形，所以等腰三角形的周长为6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17.故选D.,解析：（1）当6是腰长时，三角形的三边长分别为,角度c 三角形三边关系的综合运用,例12 已知a，b，c为ABC的三边长，b，c满足 ，且a是方程|x-4|=2的解，求ABC的周长，并判断ABC的形状.,思路导图,利用非负性分别求得b,c的值,解方程得a的值,由a,b,c的值判断三角形的形状，并求出三角形的周长,角度c 三角形三边关系的综合运用 例12 已知a,解：（b-2）0，c-30，且（b-2）+c-3=0，b-2=0，c-3=0，即b=2，c=3.a为方程x-4=2的解，a=2或6.当a=6时，不满足三角形的三边关系，a=2，b=2，c=3.ABC的周长为7，ABC为等腰三角形.,解：（b-2）0，c-30，且（b-2）+c-3,题型二 三角形三条重要线段的应用,角度a 三角形的中线在等腰三角形中的运用,例13 在ABC中,AB=AC,AD是中线,ABC的周长为34 cm,ABD的周长为30 cm,求AD的长.,思路导图,根据三角形的周长列等式,通过等量代换，求出AD的长,题型二 三角形三条重要线段的应用角度a 三角形的中线,解：如图11-1-5，因为ABC的周长为34 cm，所以AB+AC+BC=34.因为AB=AC,BD=CD，所以2AB+2BD=34.所以AB+BD=17.又因为ABD的周长为30 cm，即AB+AD+BD=30，所以17+AD=30.所以AD=13.故AD的长为13 cm.,图11-1-5,解：如图11-1-5，因为ABC的周长为34,角度b 三角形的中线与高在求解面积中的运用,例14 如图11-1-6，在ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且 ,则 =_.,图11-1-6,1,角度b 三角形的中线与高在求解面积中的运用,解析：因为D为BC的中点，且等底等高的三角形面积相等，所以 ,所以 ,所以 .因为F为EC的中点，所以 .,解析：因为D为BC的中点，且等底等高的三角形,角度c 三角形的角平分线的运用,例15 如图11-1-7,在MCD中，ABCD,AE与DF分别是ABD和ACD的角平分线，那么AE与DF有什么位置关系？试说明理由.,图11-1-7,角度c 三角形的角平分线的运用 例15 如,思路导图,观察图形中AE与DF的位置关系为平行,根据平行线的性质和判定定理可证AEDF,思路导图观察图形中AE与DF根据平行线的性质和,解：AEDF.理由如下：ABCD，BAD=ADCAE,DF分别是ABD和ACD的角平分线，DAE= BAD，FDA= ADCDAE=FDA.AEDF.,解：AEDF.理由如下：,题型三 三角形的组成的综合探究题,例16 问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 问题探究：不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为了探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.,题型三 三角形的组成的综合探究题 例16,探究一： （1）用3 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形.所以当n=3时，m=1. （2）用4 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1 根木棒、1 根木棒和2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形. 所以当n=4时，m=0. （3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多,探究一：,少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1 根木棒和3 根木棒，则不能搭成三角形； 若分成2 根木棒、2 根木棒和1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以当n=5时，m=1.,（4）用6 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1 根木棒和4 根木棒，则不能搭成三角形；,少种不同的等腰三角形？ （4）用6 根相同的木棒搭,若分成2 根木棒、2 根木棒和2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以当n=6时，m=1. 综上所述，可得下表一.,表一,若分成2 根木棒、2 根木棒和2 根木棒，则,探究二： (1)用7 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在下表二中） （2）分别用8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在下表二中）,探究二：,表二,你不妨分别用11 根、12 根、13 根、14 根相同的木棒继续进行探究， 解决问题：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？,n78910m表二 你不妨分别用11 根、12,（设n分别等于4k-1,4k,4k+1,4k+2,其中k是整数，把结果填在下表三中）,表三,（设n分别等于4k-1,4k,4k+1,4k+,问题应用：（1）用2 016 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程） （2）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_根木棒.（只填结果）,672,问题应用：（1）用2 016 根相同的木棒搭一,解：探究二： （1）若分成1 根木棒、1 根木棒和5 根木棒，则不能搭成三角形；若分成2 根木棒、2 根木棒和3 根木棒，则能搭成一种等腰三角形；若分成3 根木棒、3 根木棒和1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形.所以当n=7时，m=2.,解：探究二：,(2),表二,解决问题：,表三,问题应用：（1）2 016=4504，k=504.则可以搭成k-1=503 种不同的等腰三角形.,(2)表二n78910m2122解决问题：n4k-14k4k,知识链接,三角形三边关系的作用 （1）可判断已知的三条线段a,b,c能否组成一个三角形，判断的方法有三种：当a+bc,b+ca,a+cb都成立时，a,b,c可组成三角形；当|a-b|a时，a,b,c可组成三角形. （2）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围.已知三角形的两边长分别为a,b,设第三边长为c,那么有|a-b|ca+b.进而还可以得到这个三角形的周长的取值,知识链接 三,范围.当ab时,2aa+b+c2(a+b)，当ab时，2ba+b+c2(a+b). (3)可证明线段之间的不等关系.,范围.当ab时,2aa+b+c2(a+b)，当ab时,解读中考： 中考在这一节内容中，对三角形的三边关系及其运用，常常结合等腰三角形的周长考查，这也是本节内容的重点.在其他知识点中，如：三角形高的作法，三角形的中线与面积，三角形的稳定性等方面鲜有涉及.考查的题型主要有选择题和填空题，难度较小.,解读中考：,考点一 判断三条线段能否组成三角形,例17 （湖南岳阳中考）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2 cm，3 cm，5 cm B.7 cm，4 cm，2 cm C.3 cm，4 cm，8 cm D.3 cm，3 cm，4 cm,D,考点一 判断三条线段能否组成三角形 例17,解析：A中因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A不满足题意；B中因为2+47，所以不能构成三角形，故B不满足题意；C中因为3+48，所以不能构成三角形，故C不满足题意；D中因为3+34，所以能构成三角形，故D满足题意.故选D.,解析：A中因为2+3=5，所以不能构成三角形,考点二 三角形三边关系的运用,例18 （湖南长沙中考）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A.6 B.3 C.2 D.11,A,解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|7-3|第三边长3+7，所以符合条件的整数为6.故选A.,考点二 三角形三边关系的运用 例18 （湖,核心素养,例20 如图11-1-8,有四个村庄A,B,C,D，现在要修建一个物流中心P，物流中心P应建在什么位置，才能使它到四个村庄的距离之和最小，说明最节省材料的办法和理由.,图11-1-8,核心素养 例20 如图11-1-8,有四个,分析：显然，物流中心P应该选在四边形ABCD内部.要使物流中心P到村庄D与B的距离之和最短，那么点P应该在线段DB上，同理，点P也应该在线段AC上，则由此推断，点P应该在AC与BD的交点上.,分析：显然，物流中心P应该选在四边形ABCD,解：如图11-1-9，物流中心应建在线段AC和线段BD的交点P处,这样的设计最节省材料.理由：我们不妨任意取一点P，连接AP，BP，CP，DP，AB，BC,CD，DA.因为在APC中，AP+CPAC=AP+CP.在BPD中，BP+DPBD=BP+DP.+，得AP+BP+CP+DPAP+BP+CP+DP因为点P是任意的，所以线段AC和BD的交点P到4 个村庄的距离之和最小.,解：如图11-1-9，物流中心应建在线段AC和,图11-1-9,图11-1-9,感谢聆听,感谢聆听,