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2022/12/28,集合论与图论第8讲,1,第8讲 等价关系与序关系,内容提要等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数偏序,线序,拟序,良序哈斯图特殊元素: 最?元,极?元,?界,?确界(反)链,2022/12/28,集合论与图论第8讲,2,等价(equivalence)关系,定义同余关系等价类商集划分划分的加细Stirling子集数,2022/12/28,集合论与图论第8讲,3,等价(equivalence)关系定义,等价关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 对称的, 传递的,则称R为等价关系例9: 判断是否等价关系(A是某班学生): R1=|x,yAx与y同年生R2=|x,yAx与y同姓R3=|x,yAx的年龄不比y小R4=|x,yAx与y选修同门课程R5=|x,yAx的体重比y重,2022/12/28,集合论与图论第8讲,4,例9(续),2022/12/28,集合论与图论第8讲,5,例10,例10: 设 RAA 且 A, 对R依次求三种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R )解: st( R )ts( R ), sr( R )=rs( R ), tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R ),2022/12/28,集合论与图论第8讲,6,例10(续),2022/12/28,集合论与图论第8讲,7,等价类(equivalence class),等价类: 设R是A上等价关系,xA,令 xR= y | yA xRy ,称xR为x关于R的等价类, 简称x的等价类,简记为x.等价类性质: xR ;xRy xR=yR ;xRy xRyR= ;U xR | xA =A.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,8,定理27,定理27:设R是A上等价关系,x,yA, (1) xR (2) xRy xR=yR ; (3) xRy xRyR= ; (4) U xR | xA =A. 证明: (1) R自反xRxxxRxR.,x,2022/12/28,集合论与图论第8讲,9,定理27(证明(2),(2) xRy xR=yR ;证明: (2) 只需证明xRyR和xRyR.() z, zxRxRy zRxxRy zRy zyR . xRyR.() 同理可证.,x,y,z,2022/12/28,集合论与图论第8讲,10,定理27(证明(3),(3) xRy xRyR= ;证明: (3) (反证) 假设z, zxRyR, 则 zxRyR zRxzRy xRzzRy xRy, 这与xRy矛盾! xRyR=.,x,y,z,2022/12/28,集合论与图论第8讲,11,定理27(证明(4),(4) U xR | xA = A. 证明: (4) A=U x | xA U xR | xA U A | xA =A. U xR | xA = A. #,x,y,2022/12/28,集合论与图论第8讲,12,同余关系: 设n2,3,4, x,yZ,则x与y模n同余(be congruent modulo n) xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)同余关系是等价关系0 = kn|kZ, 1 = 1+kn|kZ, 2 = 2+kn|kZ, n-1=(n-1)+kn|kZ.,同余(congruence)关系,6,3,9,8,7,5,4,2,1,10,11,0,2022/12/28,集合论与图论第8讲,13,例11,例11: 设 A=1,2,3,4,5,8, 求R3 = | x,yA xy(mod 3) 的等价类, 画出R3的关系图.解: 1=4=1,4, 2=5=8=2,5,8, 3=3. #,1,4,2,5,8,3,2022/12/28,集合论与图论第8讲,14,商集(quotient set),商集: 设R是A上等价关系, A/R = xR | xA 称为A关于R的商集, 简称A的商集. 显然 U A/R = A.例11(续): A/R3 = 1,4, 2,5,8, 3 .,2022/12/28,集合论与图论第8讲,15,例12(1),例12(1): 设A=a1,a2,an, IA, EA,Rij=IA,都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗?解: A/IA= a1, a2, an A/EA= a1,a2,an A/Rij= A/IAai,aj - ai,aj. 不是A上等价关系(非自反). #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,16,划分(partition),划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分块(block).,2022/12/28,集合论与图论第8讲,17,划分(举例),设 A1,A2,AnE, 则以下都是划分: Ai = Ai,Ai, ( i=1,2,n ) Aij = AiAj,AiAj, AiAj, AiAj- ( i,j =1,2,n ij ) A12n = A1A2 An, A1A2 An-1An, A1A2 An-. #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,18,划分(举例,续),Ai,Ai,2022/12/28,集合论与图论第8讲,19,等价关系与划分是一一对应的,定理28: 设A, 则(1) R是A上等价关系 A/R是A的划分(2) A是A的划分 RA是A上等价关系,其中xRAy z(zA xz yz) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系). #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,20,例12(2),例12(2): A=a,b,c, 求A上全体等价关系.解: A上不同划分共有5种:,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,R1= EA, R2=IA, R3=IA, R4=IA, R5=IA. #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,21,Bell数(Bell number),问题: 给n个对象分类, 共有多少种分法?答案: Bell数 Bn= (Eric Temple Bell, 18831960)Stirling子集数(Stirling subset number) : 把n个对象分成k个非空子集的分法个数. 递推公式:,2022/12/28,集合论与图论第8讲,22,Stirling子集数,递推公式:,剔除一个,其余分k类,加入一类,其余分k-1类,自成一类,2022/12/28,集合论与图论第8讲,23,第一、二类Stirling数,第一类Stirling数(Stirling number of the first kind): s(n,k) 第二类Stirling数(Stirling number of the second kind): S(n,k)=,2022/12/28,集合论与图论第8讲,24,Bell数表,2022/12/28,集合论与图论第8讲,25,第二类Stirling数表,2022/12/28,集合论与图论第8讲,26,例13,例13: 问A=a,b,c,d上有多少种等价关系?解: #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,27,划分的加细(refinement),划分的加细: 设A和B都是集合A的划分, 若A的每个划分块都包含于B的某个划分块中, 则称A为B的加细. A为B的加细 RARB,2022/12/28,集合论与图论第8讲,28,例14,例14: 考虑A=a,b,c上的划分之间的加细.解:,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,加细,加细,加细,加细,加细,加细,#,2022/12/28,集合论与图论第8讲,29,序关系,偏序,线序,拟序,良序哈斯图特殊元素: 最?元, 极?元, ?界, ?确界(反)链,2022/12/28,集合论与图论第8讲,30,偏序(partial order)关系,偏序关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 反对称的, 传递的, 则称R为偏序关系通常用表示偏序关系,读作“小于等于”R xRy xy“严格小于”: xy xy xy偏序集(poset): , 是A上偏序关系例子: , , , ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,31,偏序集, , ,AR = | x,yA xy , = | x,yA xy ,AZ+= x | xZ x0 | = | x,yA x|y ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,32,偏序集,AP(A), = | x,yA xy 设A=a,b, A1=,a,b, A2=a,a,b, A3=P(A)=,a,b,a,b,则1 = IA1 , 2 = IA2 3 = IA3 , , ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,33,偏序集,A, 是由A的一些划分组成的集合加细 = | x,y x是y的加细 设A=a,b,c, A1=a,b,c,A2=a,b,c,A3=b,a,c,A4=c,a,b,A5=a,b,c取1=A1,A2,2=A2,A3,3=A1,A2,A3,A4,A51 = I1 , 2 = I2, 3 = I3 , , ,. #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,34,哈斯图(Hasse diagram),设是偏序集, x,yA可比(comparable):x与y可比 xy yx覆盖(cover):y覆盖x xy z( zA xzy )哈斯图: 当且仅当y覆盖x时,在x与y之间画无向边, 并且x画在y下方,2022/12/28,集合论与图论第8讲,35,例16(1)(2),例16: 画出下列偏序关系的哈斯图.(1) , A=1,2,3,4,5,6,9,10,15(2) , A=a,b,c, AP(A), A=,a,b,c,a,b,b,c,a,c解:,1,2,4,3,6,9,15,5,10,a,b,c,a,b,a,c,b,c,2022/12/28,集合论与图论第8讲,36,例16(3),例16: 画出下列偏序关系的哈斯图.(3) , =A1,A2,A3,A4,A5,A6, A=a,b,c,d A1 = a, b, c, d , A2 = a,b, c,d , A3 = a,c, b,d , A4 = a, b,c,d , A5 = a, b, c,d , A6 = a,b,c,d 解:,A1,A2,A5,A3,A4,A6,#,2022/12/28,集合论与图论第8讲,37,偏序关系中的特殊元素,最大元, 最小元极大元, 极小元上界, 下界最小上界(上确界), 最大下界(下确界),2022/12/28,集合论与图论第8讲,38,最大元, 最小元,设为偏序集, BA, yB最大元(maximum/greatest element): y是B的最大元 x( xB xy )最小元(minimum/least element): y是B的最小元 x( xB yx ),2022/12/28,集合论与图论第8讲,39,最大元, 最小元举例(例16(1),例16(1): , A=1,2,3,4,5,6,9,10,15 B1=1,2,3, B2=3,5,15, B3=A. B1的最大元是, B1的最小元是1 B2的最大元是15, B2的最小元是 B3的最大元是, B3的最小元是1,1,2,4,3,6,9,15,5,10,1,2,4,3,6,9,15,5,10,2022/12/28,集合论与图论第8讲,40,极大元,极小元,设为偏序集, BA, yB极大元(maximal element): y是B的极大元 x( xB yx x=y )极小元(minimal element): y是B的极小元 x( xB xy x=y ),2022/12/28,集合论与图论第8讲,41,极大元,极小元举例(例16(1),例16(1): , A=1,2,3,4,5,6,9,10,15 B1=1,2,3, B2=3,5,15, B3=A.B1的极大元是2,3, B1的极小元是1 B2的极大元是15, B2的极小元是3,5B3的极大元是4,6,9,15,10, B3的极小元是1,1,2,4,3,6,9,15,5,10,1,2,4,3,6,9,15,5,10,2022/12/28,集合论与图论第8讲,42,上界, 下界,设为偏序集, BA, yA上界(upper bound): y是B的上界 x( xB xy )下界(lower bound): y是B的下界 x( xB yx ),2022/12/28,集合论与图论第8讲,43,上界, 下界举例(例16(1),例16(1): , A=1,2,3,4,5,6,9,10,15 B1=1,2,3, B2=3,5,15, B3=A. B1的上界是6, B1的下界是1 B2的上界是15, B2的下界是1 B3的上界是, B3的下界是1,1,2,4,3,6,9,15,5,10,1,2,4,3,6,9,15,5,10,2022/12/28,集合论与图论第8讲,44,最小上界, 最大下界,设为偏序集, BA最小上界(least upper bound): 设 C = y | y是B的上界 , C的最小元称为B的最小上界, 或上确界. 最大下界(greatest lower bound): 设 C = y | y是B的下界 , C的最大元称为B的最大下界, 或下确界.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,45,最小上界,最大下界举例(例16(1),例16(1): , A=1,2,3,4,5,6,9,10,15 B1=1,2,3, B2=3,5,15, B3=A. B1的最小上界是6, B1的最大下界是1 B2的最小上界是15, B2的最大下界是1 B3的最小上界是, B3的最大下界是1,1,2,4,3,6,9,15,5,10,1,2,4,3,6,9,15,5,10,2022/12/28,集合论与图论第8讲,46,特殊元素比较,2022/12/28,集合论与图论第8讲,47,链(chain), 反链(antichain),设为偏序集, BA,链(chain): B是A中的链 xy( xByB x与y可比 ) |B|称为链的长度反链(antichain): B是A中的反链 xy( xByBxy x与y不可比 ) |B|称为反链的长度,2022/12/28,集合论与图论第8讲,48,链, 反链(举例),设偏序集如图所示, A=a,b,k.,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,B1=a,c,d,e是长为4的链 上界e,f,g,h, 上确界e 下界a, 下确界aB2=a,e,h是长为3的链B3=b,g是长为2的链B4=g,h,k是长为3的反链 上界,下界,上确界,下确界: 无B5=a是长为1的链和反链B6=a,b,g,h既非链,亦非反链,2022/12/28,集合论与图论第8讲,49,定理31,定理31: 设为偏序集, A中最长链的长度为n, 则 (1) A中存在极大元 (2) A存在n个划分块的划分, 每个划分块都是反链(即A划分成n个互不相交的反链)推论: 设为偏序集, 若|A|=mn+1,则A中要么存在长度为m+1的反链, 要么存在长度为n+1的链.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,50,定理31(举例),a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,最长链长度为6, 如B1=a,c,d,e,f,h, B2=a,c,d,e,f,g, A=a,b,k可以划分为A 1= a,b,i, c,j, d, e, f, g,h,k ,A 2= a,b, c,i, d,j, e,k, f, g,h |A|=11=25+1, A中既有长度为2+1=3的反链,也有长度为5+1=6的链,2022/12/28,集合论与图论第8讲,51,定理31(证明(1),定理31: 设为偏序集, A中最长链的长度为n, 则 (1) A中存在极大元证明: (1) 设B是A中长度为n的最长链, B有极大元(也是最大元)y, 则y也是A的极大元, 否则A中还有比y“大”的元素z, B就不是最长链.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,52,定理31(证明(2),定理31: 设为偏序集, A中最长链的长度为n, 则 (2) A存在n个划分块的划分, 每个划分块都是反链(即A划分成n个互不相交的反链)证明: (2) A1 = x | x是A中的极大元 , A2 = x | x是(A-A1)中的极大元 , An = x | x是(A-A1-An-1)中的极大元 , 则 A = A1, A2, An 是满足要求的划分.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,53,定理31(证明(2):举例),a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,最长链长度为6, A1 = g, h, k , A2 = f, j , A3 = e, i , A4 = d , A5 = c , A6 = a, b , A = a,b, c, d, e,i, f,j, g,h,k ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,54,定理31(证明(2)续),证明(续): 1 A1 = x | x是A中的极大元 , 极大元互相之间不可比, 所以A1是反链, 同理A2,An都是反链. 2 显然A1,A2,An互不相交. 3 最长链上的元素分属A1,A2,An, 所以A1,A2,An都非空. 4 假设zA-A1-An,则最长链上的元素加上z就是长度为n+1的链, 矛盾! 所以A=A1A2An. 综上所述, A= A1,A2,An 确是所求划分. #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,55,全序(total order)关系,全序关系: 若偏序集满足xy( xAyA x与y可比) 则称为全序关系, 称为全序集全序关系亦称线序(linear order)关系例: , ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,56,拟序关系,拟序关系: 设 RAA 且 A, 若R是反自反的, 传递的, 则称R为拟序关系通常用表示拟序关系(对比:“严格小于”)反自反性与传递性蕴涵反对称性拟序集: , 是A上拟序关系例子: 设AR, BZ+,| = | x,yB x|y xy,2022/12/28,集合论与图论第8讲,57,定理29,定理29:设是非空集合A上偏序关系,是A上拟序关系,则 (1) 是反对称的; (2) -IA是A上拟序关系; (3) IA是A上偏序关系.证明: (1) xy yx xx , 矛盾! (2)(3) 显然.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,58,定理30,定理30:设是非空集合A上拟序关系,则 (1) xy,x=y,yx中至多有一式成立; (2) (xy x=y) (yx x=y) x=y. 证明: (1) 两式以上成立导致 xx , 矛盾!(2) xy (xy ) (yx ), (由已知条件) 与(1)矛盾! #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,59,三歧性(trichotomy),三歧性: 设是非空集合A上拟序关系, 若xy,x=y,yx中有且仅有一式成立,则称具有三歧性.拟全序关系:设是非空集合A上拟序关系, 若具有三歧性, 则称为拟全序关系, 或拟线序关系,称为拟线序集.,2022/12/28,集合论与图论第8讲,60,良序(well-order),良序关系: 设为拟全序集, 若A的任何非空子集B均有最小元, 则称为良序关系, 为良序集例: 是良序集, 不是良序集良序原理(well-ordering principle): 每一个集合都可以良序化(建立良序关系) 良序原理等价于选择公理良序集可做超限(transfinite)归纳证明,2022/12/28,集合论与图论第8讲,61,总结,等价关系,等价类,商集,划分偏序,线序,拟序,良序哈斯图,特殊元素,(反)链,2022/12/28,集合论与图论第8讲,62,习题讲解(#2,#3),习题一11. A-B=AAB=证一: 利用 A=(A-B)(AB), (A-B)(AB)=证二: AB x(xAxB) x(xAxB) AB=,2022/12/28,集合论与图论第8讲,63,习题讲解(#2,#3),13.(1) 证一: 直接证. 证二: 利用XY=Y XY (2) AC= (利用文氏图)14. 20. - OK习题二 6.(1)(2) 7.(1)(2) - OK,2022/12/28,集合论与图论第8讲,64,习题讲解(#2,#3),11.(1) R1R2=, , R1R2= R1R2=, , ,(2) domR1=a,b,c domR2=a,b,d dom(R1R2)=a,b,c,d,2022/12/28,集合论与图论第8讲,65,习题讲解(#2,#3),11. (3) ranR1=b,c,d ranR2=b,c,d ranR1ranR2 =b,c,d(4) R1A=, R1c=,(R1R2)A=,R2A=,2022/12/28,集合论与图论第8讲,66,习题讲解(#2,#3),11.(5) R1A=b,c,d R2A=c (R1R2)A=(6) R1R2=,R2R1=,R1R1=,. #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,67,习题讲解(#2,#3),12. (1) R-1=,(2) RR=, , ,(3) R= R=, R= R,=, ,2022/12/28,集合论与图论第8讲,68,习题讲解(#2,#3),12. (4) R= R= , R= R,= , (5) domR= , ranR= , fldR= , , #,2022/12/28,集合论与图论第8讲,69,作业(#6),84, 习题二, 35,39,45,46,47,50,52今天3班交作业(#4,#5),