资料-奥本海姆信号与系统2版下册知识点.docx

一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1.冲激串采样(1)冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串P去乘待采样的连续时间信号x(t),该周期冲激串p(t)称为采样函数，周期T称为采样周期，而P的基波频率3=2T称为采样频率。(2)采样过程(图7-1)在时域中有Xf)=Xa)PS其中Mi)=Z(f-nT)即xr(r)Vx(nT)6(r-nT)XLMPO(3-。)此由相乘性质有2r8POS)=下6(0-9)因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有I*Xplj3-X(j(-kf)'Av.c即Xp(j)是频率3的周期函数，它由一组移位的X(j)的叠加组成，但在幅度上标以1"的变化。冲激串采样(3)采样定理设x(l)是某一个带限信号，在3>om时，X(j)=0°如果s>2w,其中s=2T,那么X唯一地由其样本x(nT),n=0,±1,±2,所确定。己知这些样本值，重建x(t)的办法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为T,截止频率大于3M而小于、一M的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x(l)。频率2om称为奈奎斯特率。2.零阶保持采样(1)零阶保持的含义(图72)在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止。)零阶保持图7-2利用零阶保持采样零阶保持采样的过程零阶保持的输出XO在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统(该系统具有矩形的单位冲激响应)来得到。用一个单位冲激响应为hr(t),频率响应为HrO3)的线性时不变系统来处理X(t)o给出一个Hr(j),以使r(t)=x(t)ouz.、r212snT2)M)(J3)eW这就要求Hr(j)=*77(W)2sin®772)若H的截止频率等于2,则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。图7-3作为冲激串采样，再紧跟一个具有矩形单位冲激响应的线性时不变系统的零阶保持二、利用内插由样本重建信号内插是指用一连续信号对一组样本值的拟合。1 .零阶保持2 .线性内插(一阶保持)(1)线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来。(2)利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插(即带限内插)：输出xo(t)为。=孙")*(0时Xr(t)=Zx(nT)h(t-nT)上式体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。对于理想低通滤波器H(j),h(t)为W)=丝吗M所以有小/Tsin(t(r-n)xt)=>x(n)五一“MK%"一仃)按照上式在c=s2时的重建过程如图7-5所示。图7-5利用sine函数的理想带限内插(a)带限信号x(t)：(b)X的样本冲激串；(c)用Xr的SinC函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。3.高阶保持三、欠采样的效果：混叠现象混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当sV2M时,x(t)的频谱X(j)不在XO(J3)中重复,因此利用低通滤波不能把X(t)从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号Xr不等于x(t).四、连续时间信号的离散时间处理L对连续时间信号的处理方法(图7-6)枷十I连线时间到w离散时间系统.U"I离敝时间到it续时间的利换II-1»1.（/）I图76连续时间信号的离散时间处理(1)连续时间信号Xc(t)可以完全用一串瞬时样本值Xc(nT)来表示：xdn=xc(nT)把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节。c>H*<n冲微用剑序列的丹铁I» <.4"l (n()r=2图7-7用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换。(a)整个系统；(b)两种采样率的xp(t),虚线包络代表xc(t);<c)两种不同采样率的输出序列。第一步代表一个采样过程，冲激串Xp(t)是一个冲激序列，各冲激的幅度与Xc(t)的样本值相对应，而在时间间隔上等于采样周期To在从冲激串到离散时间序列的转换中，得到xdn;这是以XC的样本值为序列值的同一序列，但是其单位间隔采用新的自变量no实际上从样本的冲激串到样本的离散时间序列的转换可认为是一个时间的归一化过程。离散时间到连续时间的转换，即恢复过程。连续时间的频率变量用表示，将离散时间的频率变量用。表示。2Xc(j)Xp(j)和Xd(即)的关系XC(I)和yc(i)的连续时间傅里叶变换分别用xc(j)和Yc(j)表示；而Xdn和ydn的离散时间傅里叶变换分别用XKeG)和匕()表示。(1)用Xc(t)的样本值来表示XP的连续时间傅里叶变换Xp(j)xz()=nT)(t-nT)”3T-又6(t-nT)的傅里叶变换是e>n,所以Xz,(j)=3Z(")eM*现在考虑Xdln的离散时间傅里叶变换，即W)=VXJHe3”因为Xdn=xc(nT)%(一。)=2z(4)e-JC"从而可得Xd(ei)和Xp(j3)的关系Xt(ej)=×r(jT)又因为IMXr(j)=工X<(j(s-kj)因此得到1+*X<(ej°)isff×H-2kVT)k-1»Xc(j)>Xp(j)和Xd(声)三者之间的关系Xd(ej)是Xp(j)的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。Xdn和Xr(t)之间的频谱关系，是通过先把xc(t)的频谱Xc(j)按1苫.Xr(j)=-5X<(j(-痴、)k-X进行周期重复，然后再跟着一个按XMem)=XKjCm的线性频率尺度变换联系起来的。AXjA,c(j)Op(j)11Tf次.202 T1T1E(ei0久-2 O 2 _Op(j)1 I T=T2 = 2T WV2O2T2 不Xc(j)Xp(j)和Xd30)之间的关系图7-8在两种不同采样率下,3.利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统图7-9利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统小>v0e>(a)W)木-W；/0ft>vW.MHlAi.V4j<'>)XY. ZVCoq一伙-O>v - i y 2“ 伙(e)(b)V,t<0,O0MytT<，)J= 2X Q图7-10图7-9所示系统的频域说明。®连续时间信号的频谱Xc0);(b)冲激串采样以后的谱；0离散时间序列Xdn的谱；(d) H«e巧和Xd(ejn)相乘后得到的Yd®。)；(e) Hp(j)和Xp(j3)相乘后得到的Yp(j);(f) Hc(j)和XCtj)相乘后得到的Yc(j)o图7-10左边是某一代表性的频谱XCO3)、Xp(j3)和Xo(Cift),其中假定M<s2,所以没有混叠发生。相应于时间淀波器输出的谱yd®。)是Xd®。)和Hd®。)相乘，如图7-10(d)所示。变换到Yc(j)就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-10(e)和图7-10(f)所示。 因为丫，城1)是两个互为重叠的频谱积，如图7-10(d)所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。 将图7-10(a)和(f)讲行比较，可得K(j<)=在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-10的整个系统事实上就等效于一个相应为Hc(j)的连续时间系统，而Hc(j)与离散时间频率响应Hd(ejC)的关系为H=IH*eM),同VJ2t'I0,<>,2等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。4 .数字微分器(1)连续时间微分滤波器的频率响应M(W)=j0>(2)截止频率为3C的带限微分器的频率响应H(m=血IMV5jom>(3) s=23c时相应的离散时间的频率响应Hd(ein)%(ejn)=<因此只要Xc(t)的采样中没有混叠产生，yc(t)一定是Xc(t)的导数。图7-11连续时间理想带限微分器的频率响应HcG)=j,<c<c*z>图7-12用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应5 .半采样间隔延时在输入Xc(t)是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出是用下列关系联系起来的：其中代表延时时间。根据时移性质，频率响应为K(j)Cf(W截止频率为3°的带限微分器的频率响应(图7-13(a)。要被实现的等效连续时间系统必须是带限的，因此选取I其他c是该连续时间滤波器的截止频率。即H<j)对于带限内的信号就相应于-A)的一个时间移位，而对于比c高的频率则全部滤除。(4)若取采样频率s=2,则相应的离散时间频率响应(图7-13(b)为：%(eA)=eJ05,IQVTr(a)连续时间延时系统频率响应的模和相位特性；(b)相应的离散时间延时系统频率响应的模和相位特性。半采样间隔延时当MXeM)=针叫10<N，即输入的延时，若T是一个整数，序列y<n是Xdn的延时,即五、离散时间信号采样1 .脉冲串采样(1)采样过程由采样过程形成的新序列xpn在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列xn,而在采样点之间都是零,>h)= xn,若为N的鞋倍数0.其他×)pn=AV2 2)X(e'")，Xr(eH和X"(e*)的关系+8xffn=(n)pnJ=YxkNn-kN4=-8在频域内有Xp(eN)=±尸化吗丫(/3-6)*，J2采样序列pn的傅里叶变换是2.8P(e,w)=Z(tt-左3JV-式中采样频率以=2WN.于是有NlX>(e)=ZXN%)NAOA(Cm)2k-2-«,vO ft>w2e>,)In0(b)2Aw)A人Z人Z人Z-O叫/«)、2n(C)(t-1,)禺叱)Ow42(d)图7/4一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果(a)原始信号的频谱；(b)采样序列的频谱；(O在叫>23”时己采样信号的频谱；(d)在®,<2侬”时己采样信号的频谱，这时发生了混叠。信号的恢复(图7-15)在3,2/“没有频谱重叠的情况下，X(*)如实地在3=O和2五的整数倍附近再现，这样/就能利用增益为N,截止频率大于3n而小于。,-”的低通滤波器从中恢复出来。(该低通滤波器的截止频率为“2(a)(b)(c)(d)(e)Aw)图7-15利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号。一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；信号式周的频谱：与门的频谱：截止频率为e/2的理想低通滤波器的频率响应；(4)该低通滤波器的单位脉冲响应重建信号与八的频谱。N3、sin4n,重建的序列欠,几是或者等效地写成xr=xz,(hnr1Ef.j.nVsint(n-iV)Xrl=>xkNrr7EOc(n-kN)上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。X在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器,这时等效的内插公式为舟川=ExkNhrn-kN,«其中儿储是内插滤波器的单位脉冲响应。2.离散时间抽取与内插(1)离散时间抽取采样序列川：用已采样序列#,"冲的每隔N点上的序列值构成的，即XbM=xrnWI或因为与储用"n在N的整数倍上都是相等的，可等效为X=XmNX")和ej*)的关系或利用XM)=XPmN,有0CXN*)=ExrkNlciuk令n=kN或者k="N,且因为当n不为N的整数倍时，xl,n=O,所以XmN)=xr(nle-,wnzjv于是与几的傅里叶变换为Zxr(Me-Jv=Xr(e*,1)*X所以二者的关系为XMe2)=XZ)(Ci)已采样序列/zl和抽取序列力/几的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。如果原来的频谱X(e")被适当地带限，以至于在X<e")中不存在混叠，抽取的效果是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。与n和抽取序列4n之间的关系：a如果这个原始序列彳经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将采样率减小为原来的1/N的结果。b为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列t的>(e"擀不能占满整个频带。即，如果序列能够被抽取而又不引入混叠，那么原来的连续时间信号是被过采样了的，从而原采样率可以减小而不会发生混叠。因此，抽取的过程往往就称为减采样。(2)内插(或增采样)内插(或增采样)是把一个序列转换到一个较高的等效采样率上的过程，基本上是抽取或减采样的逆过程。由Xbn可形成序列xpn,这只需要在Xbn的每一个序列值之间插入(N-I)个幅度为零的序列值即可。然后可以利用低通滤波从xjn中得到这个已被内插了的序列xno第8章通信系统几个基本概念：(1)调制：将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号中的过程。(2)解调：将载有信息的信号提取出来的过程。(3)复用：将若干个彼此独立的信号，合并为一个可在同一信道上同时传输的复合信号的方法。(4)幅度调制：正弦幅度调制和正弦频率调制。(5)正弦幅度调制：一个复指数信号或正弦信号c(t)的振幅被载有信息的信号x(t)相乘。信号x(t)称为调制信号，而信号C称为载波信号，己调信号y是这两个信号的乘积，即y(t)=x(t)c(t).一、复指数与正弦幅度调制1 .正弦幅度调制的两种常用的形式(1)载波信号c(t)为如下复指数：c(r)=载波信号是正弦的c(r)=cos(t+&)频率3c都称为载波频率,2 .复指数载波的幅度调制选c=0,已调信号y(t)是y)=x()ej*fo(1)信号的傅里叶变换x(t)y(t)和C的傅里叶变换分别为X(j)Y(j)和C(j)<,*jg)=JX(j8)C(j(s-g)d6C(j)=2(-4)y(M=X(一M)已调输出y(t)的频谱是输入的谱，只是在频率轴上位移了一个等于载波频率做的量。(2)解调将x(t)从己调信号y(t)中恢更出来，只要将y(t)乘以复指数e-w，即X(D=y(f)c"'在频域，这等于把己调信号的频谱在频率轴上往回挪到调制信号原先所在的频谱位置。3.正弦载波的幅度调制取c=O,载波是正弦波。(1)信号的傅里叶变换载波信号的频谱C(j)=(-c)+(÷c)已调信号的频谱Y(j«O=gX(j3-jl)+X(j÷j.)(2)解调只要3“<3,就能从y(t)中恢复出x(t)；否则，这两个重复的频谱将会有重叠。二、正弦幅度调制的解调1 .同步解调同步解调是指解调器载波在相位上与调制器载波是同相的解调过程。(1)解调器载波在相位上与调制器载波是同相假设8'>3”，己调信号为y(r)=x(r)costt原始信号可通过用y来调制同样一个正弦载波并用一个低通滤波器把它恢复出来，即w(t)=y()costr于是u<r)=x(r)cos2ct=b+SCOS2«M3由两项之和组成：一项是原始信号的一半，另一项则是用原始信号的一半去调制一个2赳的正弦载波。因此应该应用低通滤波器就相应于保留第一项，消除掉第二项。(2)调制器和解调器在相位上不同步在复指数载波的情况下，用仇代表调制用载波的相位，用6,代表解调用载波的相位，即y(r)=eJE"a)x(f)w(t)=如果8、8,那么3将有一个复振幅因子。对于X为正值的特殊情况，x(t)=w(),因而x(t)可以通过取已解调信号的绝对值而恢复出来。对正弦载波而言低通滤波器的输入(t)是w(r)=(0cos(tr+<)cos(tr+4>)=1CoS(K-c)x(t)+x(r)cos(2+&+6、)a.若调制器和解调器中的振荡器是同相位的，即仇二那低通滤波器的输出是x(l)。b.若这些振荡器有2的相位差，则输出是零。为了获得最大的输出信号，振荡器应该同相，且全部时间内保持不变，以使振幅因子cos(仇-#,)不变。2 .非同步解调非同步解调避免了在调制器和解调器间需要同步的困难。(1)包络检波器包络检波器是指通过提取连接y(t)中峰值的一条平滑曲线(包络线)而将载波信号x(t)恢复出来的系统。(2)非同步解调的要求载波频率3c比调制信号的最高频率3M高得多，这个要求总是满足的。X总是正的，要把一个适当的常数值加到X(I)上，或者在调制器中进行一些简单的变化，就能保证这一点。这样，包络检波器的输出就近似为X(t)+AoA的取值：令K是x(t)的最大幅度值，即IXWK°欲要x(t)+A总是正的，就要求AKo(3)调制系数m调制指数m是指K/A之比。若调制信号的最大幅度K固定不变，则随着A的减小，存在于已调信号输出中载波分量的相对值就会减小。因为输出中的载波分量不含有任何信息，所以希望K/A之比，即调制指数m尽可能大。跟踪包络线以提取x(t)的能力，则是随着调制指数m的下降而改善的。因此在调制器输出中，系统在功率利用上的效率和解调信号的质量之间存在折衷考虑。3 .同步解调和非同步解调的比较非同步解调系统，其调制器的输出有一个额外的分量4CoS,在领域中表现为在S和一r处的冲激；这个分量在同步解调系统中是不存在的，也是不必要的。小z1z-3"Ow<«)-«),。<->.<>（C）图8-1同步与非同步正弦幅度调制系统频谱的比较。（a）调制信号的谱；（b）在同步系统中代表已调信号4（1）COS的谱；（C）在非同步系统中代表已调信号fx（t）+4COS3的谱。（2）同步系统要求有一个更高档的解调器，因为解调器中的振荡器必须与调制器中的振荡器在相位和频率上保持同步。（3）非同步调制器则比同步调制器要求有更大的输出功率，因为若要包络检波器能正常工作，则包络线必须是正的，即在被发射的信号中必须有载波分量存在。三、频分多路复用1 .频分多路复用的概念如果有频谱互相重叠的单个声音信号，利用正弦幅度调制把它们的频谱在频率上进行搬移，使这些已调信号的频谱不再重叠，就能够在同一个宽带信道上同时传输这些信号。2 .利用正弦载波的频分多路复用原理（图8-2）（1）每一个欲传输的信号假设都是带限的，并用不同的载波频率进行调制；（2）把这些已调信号组合在同一个通信信道上同时传输；（3）每一个子信道和复合多路信号的频谱如图8-3所示；（4）通过这一复用过程，每一输入信号都安排在这个频带内的不同部分。3 .为了在解复用过程中恢复每一信道的两个基本步骤（1）先用带通流波器来滤出某一特定信道的已调信号。（2）紧跟着利用解调来恢复原始信号。图8-2利用正弦幅度调制的频分多路复用.VXi)一叫/OwGG-ft>O为>(i)-3卜°M(t)OJS)AA-fl>f0(ocAGGIGGA-g-b-a0no¼M图8-3图8-2所示频分多路复用系统中的有关频谱-解复用解调四、单边带正弦幅度调制1双边带和单边带调制(图8-5)(1)双边带调制仅保留正、负频率的上边带部分(图8-5(b),X(j3)就可以恢复出来。(2)单边带调制仅保留正、负频率的下边带部分(图8-5(c)和(d),X(j3)也可以恢复出来。>U<>)图8-5双边带与单边带调制。(a)调制信号频谱；(b)用正弦载波调制后的频谱；(O仅包含上边带的频谱；(d)仅包含下边带的频谱2获得单边带信号的方法O应用一个锐截止的带通或高通滤波器，滤掉不需要的边带(图8-6)。图8-6利用理想高通滤波器保留上边带的系统9采用移相技术来滤掉一个边带而保留另一个边带(图87)。图8-7中的H(j)称为“90。相移网络”，其频率特性为H(j)=-j.>Oj,<O若要保留上边带，H(j3)的相位特性就应该相反，而为/(j)=j，-j.单边带系统的同步解调可以和双边带系统的同步解调采用一样的方式来实现。图8-7利用一个90。相移网络，仅保留下边带的单边带幅度调制系统五、用脉冲串进行载波的幅度调制1.脉冲串载波调制脉冲串载波幅度调制相应于等间隔地传输x(t)的时隙样本，如果X是带限的，并且脉冲重复频率足够高,信号就可能从这样一组时隙样本中得到恢复。