第三章 有限差分法.docx

第3章有限差分法1.1波动方程式的差分法(线性双曲线方程)即前进波波动方程(又称为移动方程或传递方程：COnVeCtiOneqUaiion)ul+cux=0(c>0)(3-1)w(x,0)=M0(x)Mr(x,O)=V0(x)ZU)从今方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。理论解:物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度C前进。(前进波)Ctu(x9t)= U0(X-Ct)u(x,t)=其中：M0(x)=w(x,O)V0(x)=m(x,O)例：M0(X)=1X<X0;Mo(X)=OXX0v0(x)=-x0)3.1.1 显式法对于进展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法(explicittimeintegrationmethod)。i. FTCS(ForwardinTimeandCentralDifferenceinSpace)方法r2-(3-9)则能产生:(3-10)<+,-<u,m-uni八/2x变形后:(3-11)”芍j(%F)这儿，V为CoUrant数。(3-12)Courant数表示物理的传播速度C和数值传播速度（AX/At）的比值。该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值Ax/At保持全都时，不管Ax和加取多小，其影响的范围是一样的。当物理传播速度C比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。（如图绿线所示），也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将担心定。1928年CourantFriedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。物理速度走的路程（CU>1）(Cu<l)即COUrant条件为(CFL条件)vl(3-13)但是波动方程不能由此方法判别的例子有：w(0,x)=1(x<x0),w(0,x)=O(xX0)(3-14)此问题有理论解，如图。例如，-0.5时，时间步长为l2Ax0表1FTCS的解O=O.5)Xj-2Xj-IXjXj+1Xj+2t=011OOOt=l15/41/4OOt=215/1623/169/16OOt=353/6449/3275/6413/64OFTCS的解其值是振荡不稳定的。随着时间的连续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分方程的FoUriOr绽开来分析。因此类绽开可与频率振幅相角等相关。设FTCS格式的解的绽开的某一分项为：uj=gjeij(3-15)声表示幅度，。为与波数有关的相位角。定义一个时间步长前后的解的幅度比为振幅，用表示。则令它可用振幅I”和相位差减表示：=麻。(3-16)但|偏离真实解时，振幅产生误差。M扁离真实解时表示该波数代表的波不能以正确的速度移动。对于线性双曲波动问题，其理论解的振幅和某一波段上的相位差为J"=1=-v(3-17)且U可空间时间分别变量：即g为时间的变量。代入FTCS格式:其振幅为:z,+,Li= - = 1 - isin g(3-18)(3-19)/(,)=l+2sin2(e)=-tanl(sin)可见，无论是振幅还是相位都偏离真实解。尤其是振幅，它始终保持这说明随时间的进展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为VonNeumann不稳定。FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor绽开为.+C=-c*"xo(x)2-3%(z)+.(3-20)代入波动方程(3-21)uu1/4212/a1-C-C_M(x)CMlI+.C,C/XXAxzCXXX/tx62可见其截断误差的第一项为负的集中值。负的集中项从物理上是不稳定的。ii. LaX差分格式(LaXMriedrich方法)FTCS式中的吗项用两边的平均值来代替：u，j+=g(w-+wJ÷)；(u-%)(3-22)其：(,=CoS*6+4sinPI'力(3-23)y)=-tan,(Utan6)在V的肯定范围内小于1。-1<v<l的范围内收敛。该方法使数值安定，但代价是解的集中性增加。即耗散误差大。空间时间都用中打差分:2r20(3-24)Uf!+l=u,lj-(uni+,-<1)(3-25)当v2l时：Uy=I(n-fUSine、°(,u)=an-r-lk(l-sm6>)(326)因此，无论对什么信号，振幅都不变。因此无振幅误差。称为中立稳定。但当V很小时，存在延迟相位误差(LaggingPhaSeelTOr)。即波的位置在真的波后发生。当v2>l时:为纯虚数。=sin6>±t>2sin26-l2(3-27)即当sin>lv时不稳定。此方法分散误差大。iv.Lax-Wendroff格式原始Lax-Wendroff格式二阶TayOr绽开，空间中心差分：为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的集中项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在呵<u<l的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。Lax-WendrofT两步格式第一步(前l2t):其次步(后l2l):V.MacCormack的方法为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采纳猜测修正因子法(PrediCtor-CorreCtor)。猜测阶段：修正阶段结果同LaX-WendrOff两步格式。vi.1阶精度上风法时间向前，空间向后：Taylor绽开右为截断误差。Utt、Uttt用UXX、UXXX表示：时间空间都为1阶精度。当V=O时，截断误差为零。0.5<v<1.0时：向前相位误差v<0.5时，延迟相位误差3.1.2显式法的小结1.粘性的附加FTCS格式ii. Lax格式iii. Lax-Wendroff格式iv. 1次精度上风法H+.7上述全部的格式都可认为对FTCS的格式的修正，而且都是2阶微分方程Uu的差分格式，为集中项。其中LaX格式集中最严峻，LaX-Wedroff集中最小,同2次精度中心差分接近。2.有限差分法的一般格式线性波动微分格式可写成：/+人=°(5)fx=cux一般的单纯的Eular显示法为:M/+l= U<x-Z-.)f称为数值流束(numericalux)j-1/2j+1/2j+3/2一->j-1jj+1图X.通过界面的流束FTCS格式=(i÷,)(7)ii. Lax格式加2=g(j)4+(1+必1(8)iii. Lax-Wendroff格式(9)iv. 1次精度上风法上式可表示为:0<l-lO(10)(H)Z>2=(÷i+)-i-wj)此式在后面的高精度上风法的争论中特别有用。3.1.3隐式法(implicittimeintegrationmethod)Grank-Nicolson格式rwrt÷-w+i u" -un “j+l "j-l + "/+I "j-l22=0(12)它可化成:+<l(13)它符合对三角型法则(trapezoidalrule)它的解同Leap-Frog格式一样振荡。隐式法的特点是，n时刻的任意坐标上的解的变化会影响n+1点上全部的点的解。情报无限制的快速传递。这是由于方法稳定，无CFL条件限制的原因。事实上，隐式法也有不稳定的时候。XOii.Beam-VVarming格式:对上方法更一般化:222+(1 2=0(14)3.2集中方程的差分法（抛物型方程）3.2.1 一般形式1维波动方程？（抛物性方程）的一般形式：u2u二a-rtx流淌和传热中常用形式稳态形式：1维稳定对流/集中问题次p）=3卜加xx）时，其解为Dirichlet边界条件:=atx=0=latx=xlexPelL-=金÷pe1(l.-。)(171Pe为PeClet数,定义为：由于此问题很简洁，常被用于检验离散和求解方法。物理上，它代表了在流线方向对流与集中间的平衡。事实上，很少有这种平衡起重要作用的流淌。通常，对流与压力梯度或垂直流淌方向的流淌平衡。假定：u0ando<u u0或大口直，PeO,对流项可以忽视。解是线性的。 Pe是大的，解在缓慢变化了一段后，在X二L四周很快变到我。此。的突然变化往往成为对离散方法的考验。3.2.2差分方法Euler显式法显式差分格式：(空间中心差分)小一J阳一2吐落r(Ar)2(19)简化成:(20(21)(22)(23其中形式同波动方程一样，可采用VonNeUmann稳定性条件，得到:ii.通用Crank-Nicolson法_ZJ嫖-2dX+娉（落一2d+媚呻一画一十（E（海iii.边值问题3点计算分子方法，最终的代数方程形式:4pi+线¢-1+AvI=Qi集中项,采纳中心差分(CDS)：k+1-,-1)对流项-采纳上风法(UDS)：xM>0；w<0;c_min(pw,)c_min(pu,)AE=；Av=；+1-Xi4=-(a；+Av)Aec或AWC有一个为零，取决于流淌方向。-CDS法4w)e,落F-PU(24)(25(26(27(28(29(30八JPU.y_PUAE一，Gy一xi+lXjTXi+Xi-4=-(星+/)=。(31(图：CDS和UDS对流项的比)结果表明，当网格数小的时候，UDS的数值集中严峻，假集中大于真集中。相反的，CDS消失振荡严峻。振荡是由于(|)值的梯度在最终二点突然变化的原因。当网格数增加，CDS比UDS更接近真正解。实行非匀称网格，CDS也可比UDS精度高。CDS的振荡取决于局部PeClet数的大小。它定义为Pe=pwx(32当满意Pe2时，CDS没振荡。振荡仅发生在变化很激烈的地方。3.3 椭圆型方程的差分方法(Laplance方程，抛物线性的稳态问题)3.4 边值问题:2u2ua-÷-T=Odxdy(33)椭圆型方程为满意适合性条件，必需给出全部边界的边界条件。差分形式：尸IA_2M+“j=Ik"j,k7_2j卜二菊而(34)直接求解法考虑等格式的条件：Ax=Ay,则：1,、=-(wi,a-+wa+wM-i+mM÷i)(35)此方程的联合求解，需要解一个大的矩阵，需要很大的计算机内存。因此，往往采纳结合缓和法(relaxationmethod)的迭代求解方法(Merativemethod).点迭代法(POinlJaCobiMethod)例如采用下面迭代求解方法：un=-(un+/+un+u")"4*上"川这儿，n为迭代次数。松弛法(relaxationmethod)Gauss-Seidal法SOR法