综合法和分析法（一）ppt课件.ppt

2.2.1综合法和分析法（一）综合法,合情推理与演绎推理的区别,合情推理,归纳推理,类比推理,由部分到整体,个别到一般的推理,由特殊到特殊的推理,结论不一定正确，有待进一步证明,演绎推理,由一般到特殊的推理,在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确,合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的,引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA,证明 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB/CD，BC/DA,又AC=CA,故 AB=CD，BC=DA,本题条件,已知定义,已知定理,已知公理,本题结论,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,练习.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,分析：,首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.,其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y22xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.,证明:, b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.,又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2) 2abc., a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),例1.如图所示,ABC在平面外,ABP, BCQ,AC=R,求证：P、Q、R三点共线,分析：P、Q、R，P、Q、R平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线,你会证明吗？,三、例题讲解,又因为PAB ,P平面ABC,因为 ABP,所以 P, PAB,例3.在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证ABC为等边三角形,分析,将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；,A，B，C为ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180；,a，b，c成等比数列转化为符号语言就是,三、例题讲解,证明：,由A，B，C成等差数列，有,因为A，B，C为C的内角,所以,注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。,学会语言转换,找出隐含条件,由余弦定理及，可得,再由，得,三、例题讲解,四、课堂小结,1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想。,万事开头难怎办？ 请听下节课分解,再见,2.2.1综合法和分析法（二）分析法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:,一、回顾复习综合法(顺推证法或由因导果法),利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”,综合法是由一个个推理组成的 2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.但开头难怎办？如何找到开头？,分析基本不等式：,证明:要证,只需证,只需证,只需证,因为 成立,所以 成立,(a0,b0)的证明.,判定一个明显成立的条件,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因.即要证结果Q，只需证条件P.,二、讲授新课分析法（逆推证法或执果索法）,类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:,注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：,已知条件、定理、定义、公理等,分析基本不等式： (a0,b0)的证明.,证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为; 成立所以 成立,还原成综合法：,分析法,综合法,思考：上述两种证法有什么异同？,都是直接证明,证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法,相同,不同,证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法,分析法,综合法,已知条件,结论,综合法和分析法的推证过程如下：,判定一个明显成立的结论,在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.,反思,练习.求证：,证法一：为了证明,成立,因为,所以只需证明,成立,展开得,即,因为,成立，所以,成立,证法二：,第一高考不会估算也不用计算器。同学们你觉得可以是依葫芦画瓢，但我希望同学们你对自己提高要求那就是心算出开头。,综合法和分析法的各自优劣 综合法是万事开头难，我们很难找到那个证明的起点即开头。我们一般用分析法找到证明的起点即开头然后用综合法书写。 分析法像警察破案，一步步推理，最终找到犯罪的证据。整个案件清晰明朗。 综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的，就像一只狡猾的狐狸，一边前进，一边抹去自己前进的足迹。这就是历史上后人评价高斯的数学文章，说高斯像只狡猾的狐狸，让后人不知道他的思路是怎来的，后人评价高斯说高斯只所以这样是为了显示自己的高明。人家会问你是怎么想到的。但综合法没给出我是怎么想到的。研究的学者指出，如果高斯能公布自己是如何想到的，那会极大推动世界数学的发展。,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:,回顾复习综合法(顺推证法或由因导果法),其特点是:“由因导果”,其特点是：执果索因.即要证结果Q，只需证条件P.,分析法（逆推证法或执果索法）,用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:,分析法转化结论,综合法拓展条件,推证过程不同,例5.如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E 作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证法一:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以. AFSC成立,分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，,因为AESB,因为EFSC,因为ABBC,证法二: SA平面ABC，且BC在平面ABC内, AEBC,又AESB,且BCSB=B, AE平面SBC, AESC,又EFSC,且AEEF=E, SC平面AEF, AFSC,BCSA, BC平面SAB,又ABBC,且ABSA=A,这是道经典题，年年有，高考只会换个角度考。同学们你会遇到云里雾里剪不断理还乱的解题现象。这里线面垂直转化为线线垂直，线线垂直转化为线面垂直，把你头脑转晕掉。,又 AE在平面SAB内,又SC在平面SBC内,又 AE在平面SAB内,分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？ 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切。,证明：,（3）,由于上式与相同，于是问题得证.,解题就是思维的发生发展且为什么这样发生发展。世界上没有无缘无故的恨也没有无缘无故的爱，思维的发生几乎没有莫名其妙。已知条件三个角，要证结论两个角，所以消失一个，消失后发现得到的是正弦式子，但要证的结论正切，所以又要化正切为正弦。,1.综合法：,(sin+cos)2-2sincos1,(2sin)2-2sin21,4sin2-2sin21,2(cos2sin2)cos2-sin2,即：, 2cos2=cos2,小结,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.,再见,例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab, 试证： s 2a,解:欲证s2a,只需证,即证bs,也即证,即证ba+c,因为a,b,c为一个三角形的三边,所以ba+c成立.,故s2a成立.,例3.ABC三边长,的倒数成等差数列，求证：,.,证明：,因为a,b,c为ABC三边,所以 a + c b,所以 cosB0,因此,http:/www.99dyw.co/ 九九电影网 http:/www.99dyw.tv/ 九九电影网 天堂网2014 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网2014www.avttt2015.info 天堂网2014www.avttv2017.info 天堂网2014www.avttv2017.org 天堂网 天堂网 天堂网2014www.avttv2018.org 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网 天堂网2014,