图论ppt课件平面图的判定与涉及平面性的不变量.ppt

1,图论及其应用,应用数学学院,2,本次课主要内容,(一)、平面图的判定,(二)、涉及平面性的不变量,平面图的判定与涉及平面性的不变量,3,这次课要解决的问题是：给出判定一个图是否是可平面图的充分必要条件。,(一)、平面图的判定,在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的具有m条边的图G来说，如果G满足如下条件之一： (1)m3n-6; (2) K5是G的一个子图；(3) K3,3是G的一个子图，那么，G是非可平面图。,但上面的条件仅为G是非可平面图的充分条件。,最早给出图的平面性判定充要条件的是波兰数学家库拉托斯基(30年代给出)。后来，美国数学家惠特尼，加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都给出了不同的充要条件。,4,所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。,我们主要介绍波兰数学家库拉托斯基的结果。,库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一事实而提出的平面性判定方法。,一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是G不含子图K5和K3,3。,上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？,十分遗憾！下面例子给出了回答：NO!,下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。考虑 F=GK3,5,注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷贝中的边没有画出。图中虚线不是对应的Gi中边。,6,可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。,尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于K5与K3,3得到了图的平面性判据。,1、相关概念,定义1 在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在2度顶点内收缩。,7,定义2 两个图G1与G2说是同胚的，如果 ，或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同构的图。,上面的G1, G2, G3 是同胚的。,注：图的平面性在同胚意义下不变。,8,定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当它不含K5或K3,3同胚的子图。,例1 求证：下面两图均是非平面图。,证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。,9,对于G2来说，先取如下子图,对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K3,3:,所以，G2是非可平面图。,10,例2 确定下图是否是可平面图。,分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图是非可平面图。但我们必须找到证据！,当然我们可能考虑是否m3n-6。遗憾的是该图不满足这个不等式！,11,所以，我们要在该图中寻找一个与k5或K3,3同胚的子图！,由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与K5同胚的子图。因此，只有寻找与K3,3同胚的子图！,解：取G中红色边的一个导出子图：,也就是得到G的如下形式的一个子图：,12,上图显然和K3,3同胚。由库拉托斯基定理知，G是非可平面的。,注： (1) 库拉托斯基定理可以等价叙述为：,库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。,13,(2) 库拉托斯基 (1896-1980) 波兰数学家。1913年开始在苏格兰格拉斯哥大学学习工程学，1915年回到波兰发沙大学转学数学，主攻拓扑学。1921年获博士学位。1930年在利沃夫大学作数学教授期间，发现并证明了图论中的库拉托斯基定理。1939年后到发沙大学做数学教授。他的一生主要研究拓扑学与集合论。,库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。,定义2 给定图G, 去掉G中的环，用单边代替平行边而得到的图称为G的基础简单图。,14,定理2 (1) 图G是可平面的，当且仅当它的基础简单图是可平面的；,(2) 图G是可平面图当且仅当G的每个块是可平面图。,证明： (1) 由平面图的定义，该命题显然成立。,(2) 必要性显然。下面证明充分性。,不失一般性，假设G连通。我们对G的块数n作数学归纳证明。,当n=1时，由条件，结论显然成立；,设当nk 时，若G的每个块是可平面的，有G是可平面的。下面考虑n=k时的情形。,15,设点v是G的割点，则按照v，G可以分成两个边不重子图G1与G2, 即G=G1G2,且G1G2=v。,按归纳假设，G1与G2都是可平面图。取G1与G2的平面嵌入满足点v都在外部面边界上，则把它们在点v处对接后，将得到G的平面嵌入。即证G是可平面图。,关于图的可平面性刻画，数学家瓦格纳(Wangner)在1937年得到了一个定理。,16,定义3 设uv是简单图G的一条边。去掉该边，重合其端点，在删去由此产生的环和平行边。这一过程称为图G的初等收缩或图的边收缩运算。,称G可收缩到H,是指对G通过一系列边收缩后可得到图H。,定理2 (瓦格纳定理)：简单图G是可平面图当且仅当它不含有可收缩到K5或K3,3的子图。,注：这是瓦格纳1937年在科隆大学博士毕业当年提出并证明过的一个定理。,17,例3 求证彼得森图是非可平面图。,证明：很明显，彼得森图通过一些列边收缩运算后得到K5。由瓦格纳定理得证。,定理3 至少有9个顶点的简单可平面图的补图是不可平面的，而9是这个数目中的最小的一个。,18,注：该定理是由数学家巴特尔、哈拉里和科达马首先得到。然后由托特(1963)给出了一个不太笨拙的证明，他采用枚举法进行验证。还不知道有简洁证明，也没有得到推理方法证明。,例4 找出一个8个顶点的可平面图，使其补图也是可平面的。,19,例5 设G是一个简单图，若顶点数n11,则G与G的补图中，至少有一个是不可平面图 (要求用推理方法).,证明：设G是一个n阶可平面图，则：,所以：,考虑：,20,令:,则：,所以， 当n6.5时，f(n)单调上升。而当n=11时：,所以， 当n11时，有：,即证明了简单可平面图G的补图是非可平面图。,21,例6 设Gi是一个有ni个点，mi条边的图，i=1,2。证明：若G1与G2同胚，则：,证明：设G1经过p1次2度顶点扩充，p2次2度顶点收缩得到H1, G2经过q1次2度顶点扩充，q2次2度顶点收缩得到H2, 使得：,又设H1与H2的顶点数分别为n1*和n2*,边数分别为m1*与m2*。那么：,22,所以：,而由 得：,所以：,(二)、涉及平面性的不变量,我们将要讨论的问题是：如何刻画一个非可平面图与平面图之间的差距。只作简单介绍。,1、图的亏格,23,环柄：边交叉处建立的“立交桥”。通过它，让一条边经过 “桥下”，而另一条边经过“桥上”，从而把两条边在交叉处分开。,定义4 若通过加上k个环柄可将图G嵌入到球面，则k的最小数目，称为G的亏格，记为：(G)。,24,定理4 对于一个亏格为，有n个顶点，m条边和个面的多面体，有：,因多面体对应一个连通图，所以上面恒等式称为一般连通图的欧拉公式。,推论：设G是一个有n个点m条边，亏格为的连通图，则：,25,证明 (3): 因为G的每个面是三角形，所以每条边是两个面的公共边，得：3=2m。于是由定理4得：,对于完全图的亏格曾经是一个长期的，有趣的，困难的和成功的努力。1890年希伍德提出如下猜想：,26,希伍德由推论(1)证明了：,同时希伍德也证明了(K7)=1.,1891年，赫夫曼对n= 8-12 进行了证明；,1952年，林格尔对n= 13 进行了证明；,记阶数n=12s+r,1954年，林格尔对r= 5 进行了证明；,1961-65年，林格尔对r= 7、10、3 进行了证明；,27,1961-65年，杨斯、台里等对r= 4、0、1、9、6 进行了证明；,1967-68年，林格尔、杨斯对r= 2、8、11进行了证明；,1968年后，法国蒙特派列尔大学文学教授杰恩对n=18、20、23进行了证明.,对于完全双图，结果由林格尔独立得到。,定理5 设m, n是正整数，则：,28,2、图的厚度,定义5 若图G的k个可平面子图的并等于G，则称k的最小值为G的厚度，记为,定理6 (1)若 ,则：,(2),(3) 对任意的单图G=(n, m),有：,3、图的糙度,29,定义6 图G中边不相交的不可平面子图的最多数目称为G的糙度，记为：,定理7 完全图的糙度由下式给出：,（3n+119并且3n+19r+7，其中r为面数）；,30,定义8 将G画在平面上时相交的边对的最少数目称为G的叉数，记为,定理9,31,作业,P143-146 习题5 ：6，7，8，11、12。,32,Thank You !,