幂级数 习题课ppt课件.ppt

幂级数习题课,一、主要内容,函数项级数,幂级数,收敛半径R,收敛域,Taylor级数,Taylor展开式,幂级数,(1) 定义,(2) 收敛性,对,总存在正数使得,收敛半径（，）收敛区间,注,形如,的级数，求收敛域,的收敛半径,原级数的收敛点,应先求出,原级数的发散点,再研究,用公式,求收敛半径,应是,的系数，,否则,可作代换或直接利用检比法或检根法来确定,求出收敛半径后,必须用常数项级数,审敛法判定端点,处的敛散性,的点的敛散性,(3)幂级数的运算,a.代数运算性质:,b.和函数的分析运算性质:,和函数连续，逐项微分，逐项积分,收敛半径不变,幂级数求和函数,利用几个已知的展开式，如,通过某些简单运算而求得,化成两个幂级数的和，差，积，商,作变量代换,求导或积分,通项形如,先微后积,通项形如,先积后微,步骤：,求收敛域,对,进行运算,保留所有的运算记号,的运算结果要具体算出,化成易求和的形式,再进行上述运算的逆运算得,幂级数展开式,(1) 定义,(2) 充要条件,(3) 唯一性,() 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,b.间接法,() 常见函数展开式,() 应用,欧拉公式,的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系,求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，,对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤,有理分式,化部分分式，利用几何级数展开,反三角函数或对数函数,先展开其导数，再逐,项积分，但此时必须注意积分的下限,注几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记,二、典型例题,例求收敛域,解,收敛半径,收敛半径,若,则,原级数成为,由于,收敛,原级数成为,发散,故,收敛域为,若,则,收敛,收敛,发散,收敛,原级数成为,绝对收敛,收敛,绝对收敛,原级数收敛,原级数成为,收敛,原级数收敛,故,收敛域为,解,收敛域,例求和函数,令,积分,求导,令,求导,积分,故,注意,先微后积，收敛域可能扩张,先积后微，收敛域可能收缩,例求级数和,解,考虑幂级数,由,乘以 x,求导,再乘以 x,再求导,例,解,两边逐项积分,例,解,或,积分,例,解,求,的幂级数展开式,及其收敛半径,并求,解,由于,收敛半径为,且,例7设,例8设,求,解一,由Leibniz公式,令,得,由,得,解二,故,