数学归纳法(一)PPT课件.ppt

数学归纳法,（一）,请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点,问题4：数列为1,2,4,8，则它的通项公式为an=2n-1(n4，nN ),1、错； 2、错，a5=251； 3、对； 4、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。,一、概念,1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。,2、数学归纳法：,我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？,-用数学归纳法,例1、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n2 （nN ）.,1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。,由以上可知，用数学归纳法需注意：,例2、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),证明： n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等式成立。 假设当n=k(kN ）时有： (k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2k 1 3(2k-1)(2k+1)2 = 2k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右边， 当n=k+1时等式也成立。 由 、可知，对一切nN ,原等式均成立。,例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，Sn=12+22+n2+(n-1)2+ +22+12.用数学归纳法证明：,练习：,1+a+a2,C,1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。,小结：,