数学建模《数学模型》ppt课件.ppt

第二章 数学建模初步,2.1 数学模型与数学建模2.2 数学建模的步骤和方法2.3 数学建模实例分析2.4 数学模型的特点和分类2.5 数学建模的学习方法 与数学建模竞赛简介,玩具、照片、飞机模型 , 直观模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,2.1 数学模型与数学建模,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“行程问题”,解：设甲、乙速度分别为 x、y ，列出方程组：,答：甲速为86米/分，乙速为74米/分.,A、B两地相距960米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向行走，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少?,x =86y =74,行程问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（甲、乙速度为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示甲速和乙速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程组）；,求解得到数学解答（x=86, y=74）；,回答原问题（甲速为86米/分，乙速为74米/分）。,数学模型 (Mathematical Model),建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模（Mathematical Modeling),2.2.1 数学建模的基本步骤,2.2 数学建模的步骤与方法,2.2.2 数学建模方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,综合分析,用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数,2.3 数学建模示例,2.3.1 方桌问题,模型假设,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;,把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，就放稳了。为什么？,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用 (对角线与 x 轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f (),B,D 两脚与地面距离之和 g (),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,f( ) , g ( )是连续函数,对任意, f ( ), g ( )至少一个为0,数学问题,已知： f ( ) , g ( )是连续函数 ; 对任意， f ( ) g ( )=0 ; 且 g (0)=0， f (0) 0. 证明：存在0，使 f (0) = g (0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的零点定理, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子？,和 f(), g()的确定,2.3.2 席位的公平分配,问题,三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.,因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?,若代表会议增加1席，如何分配21席?,比例加惯例,对丙系公平吗,背景,Hamilton (比例加惯例) 方法-1792年美国国会用于分配各州众议员名额,已知: m方人数分别为 p1, p2, pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N.,记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, ,m),各方先分配qi的整数部分qi, 总余额为,记ri =qi-qi, 则第i方的分配名额ni为,Hamilton方法的不公平性,1. p1, p2,pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).,Hamilton方法的不公平性,2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(下例).,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,实际上右面对A的不公平程度已大大降低!,虽然左右两种情况的绝对不公平度相同.,若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B?,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平., 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况:,初始 p1/n1 p2/n2,问：,1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,“公平”分配方法,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,计算,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,“公平”分配方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103, n1=10乙系：p2= 63, n2= 6丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,Q2, Q3同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席, 乙系6席, 丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,模型的公理化研究,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的公理 (1974),份额qi=Npi /P, 分配名额ni = ni (N, p1, , pm ),已知p1, p2, pm , P, N,1) qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公平分配性,2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 名额单调性,“比例加惯例”方法满足公理 1，但不满足公理2.,Q值方法满足公理2, 但不满足公理1（如下例） .,模型的公理化研究,不存在满足上述公理的席位分配方法 (1982),公平的席位分配,建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标.,在以相对不公平度为衡量指标的前提下, Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平.,如果采用公理化方法提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决已证明不存在满足一组公理的席位分配方法.,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,2.3.3 人口发展问题,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),中学数学思想,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,?,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合（用MATLAB软件）,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),令 t=2000，r=0.2557, xm=392.1,相对误差为2.5%,例 商人们怎样安全过河?,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人抢货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk) 状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk) 决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k, 状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,d1, ，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、几何、统计 ,表现特性,优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,2.4 数学模型的分类,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模的具体应用,预报与决策,控制与优化,2.5 数学建模的学习方法与数学建模竞赛,2.5.1 数学建模的重要意义,2.5.2 数学建模的学习方法,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,美国MCM竞赛规模,我国CUMCM竞赛规模,学生欢迎：“一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同企业界的认同赞助教育改革同行的认同：“成功范例”国际同行的认同,竞赛的反响,IBM 中国研究中心- 招聘条件Position title: Business Optimization(BJ)1Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artificial Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, data analysis, simulation and optimization 3. Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus -Feb. 18, 2010, http:/,竞赛的反响（一例）,