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第四章 实数的连续性, 4.1 实数连续性定理 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.1 实数连续性定理,闭区间套定理,定理1：(闭区间套定理), 4.1 实数连续性定理, 4.1 实数连续性定理, 4.1 实数连续性定理,在什么情况下应用闭区间套定理？一般来说，证明某定理需要找到具有某种性质P的一个数，常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。, 4.1 实数连续性定理,确界定理,上确界定义：,下确界定义：, 4.1 实数连续性定理,定理2：(确界定理), 4.1 实数连续性定理,有限覆盖定理,定义：, 4.1 实数连续性定理,定理3：(有限覆盖定理),一般来说，如果我们已知在闭区间a,b上每一点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开区间）集覆盖了a,b，为了将性质P扩充到整个闭区间a,b上，这时，可用有限覆盖定理，将覆盖a,b的无限个邻域换成有限个邻域。, 4.1 实数连续性定理,聚点定理,定义：,注：有限点集没有聚点, 4.1 实数连续性定理,定理4：(聚点原理),数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。, 4.1 实数连续性定理,柯西收敛准则,致密性定理,定理5：(致密性定理),定理6：(柯西收敛准则),有界数列,必有收敛的子数列,., 4.1 实数连续性定理,总结：以上六个定理，是从应用公理证明了闭区间套定理，然后用前一个为条件，证明了后面一个定理，它们依次是：确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收剑准则的充分性，最后再应用柯西准则的充分性证明公理，这样这些的证明构成了封闭循环。因此，它们是待等价的，互为充要条件，它们都刻画了实数集的连续性，它们构成了数学分析的理论基础，舍此不能得证，特别是柯西收剑准则又称完备性，它对数学分析的发展起着重要作用。, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,性质的证明,定理1（有界性）, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,定理5（最值性）, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,定理3：零点定理,设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,一致连续性,定义：, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,定理4（一致连续性）,证法：应用反证法与致密性定理, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明, 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,完,