因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)ppt课件.pptx

因式分解,因式分解的方法,提公因式法,一。公因式的确定方法：,二。提公因式法分解因式的步骤：,1。取各项系数的最大公约数,2。取各项相同字母的最低次幂。,1。确定公因式,2。用公因式去除多项式的各项得另一个因式,3。写成这两个因式的积的形式。,四填空（1）3x2+6= （2）7x2-21x= （3）8a3b2-12ab2c+ab= （4）-24x3-12x2+28x= （5）（6）-5ab2+20a2b-15ab3= （7）am-am-1=（ ）（a-1）,3（x2+2）,7x（x-3）,ab（8a2b-12bc+1）,-4x（6x2+3x-7）,-5ab（b-4a+3b2）,am-1,(a+2b),注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号！,分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.,例 2 分解因式,.,讨论5：公因式是多项式时，如何提公因式？,提公因式法-因式分解：,24x3y18x2y ； 7ma+14ma2 ；(3)16x4+32x356x2 ；(4) 7ab14abx+49aby ；(5)2a(yz)3b(yz) ；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).,拓展与提高,1.20042+2004能被2005整除吗?,六利用分解因式计算： （1）-4.23.14-3.53.14+17.73.14 (2) 30.5768.3-768.320.5,解：原式=-3.14 (4.2+3.5-17.7)=-3.14(-10)=-31.4,解:原式=768.3(30.5-20.5)=768.310=7683,拓展与探究1. 已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2 n能否被30整除. 2. 若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。,解: 因为n是非零自然数,所以2n+4-2n=2n(24-1)=2n 15=2n-1 30 ，所以, 2n+4-2n能被30整除。,解: 因为a=-2，a+b+c=-2.8,所以-2+b+c=-2.8, 解得 b+c=-2.8+2=-0.8 原式=-a(b+c)(a+3.2)=2(-0.8)1.2=-1.92,专项训练一：确定下列各多项式的公因式。,专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。,专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“”，使等式成立。,公式法,(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2,平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积,a - b = (a+b)(a-b),因式分解,平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b,整式乘法,尝试一,下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,分解因式(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.,我优秀,将下面的多项式分解因式1) m - 16 2) 4x - 9y,m - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4),a - b = ( a + b)( a - b ),4x - 9y=(2x)-(3y)=(2x+3y)(2x-3y),例1.把下列各式分解因式（1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y,9,25,1,16,( 4 ) 9x + 4,解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1),解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn),例2.把下列各式因式分解( x + z )- ( y + z )4( a + b) - 25(a - c)4a - 4a(x + y + z) - (x y z )5)a - 2,1,2,思维延伸2. 对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被24整除吗? 为什么?,巩固练习：1.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y-4a +1分解因式的结果应是 （ ）-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)2. 把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1,D,D,完全平方公式,现在我们把这个公式反过来,很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”,我们把以上两个式子叫做完全平方式,“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.,判别下列各式是不是完全平方式,是,是,是,是,完全平方式的特点：,1、必须是三项式,2、有两个平方的“项”,3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍,下列各式是不是完全平方式,是,是,是,否,是,否,请补上一项，使下列多项式成为完全平方式,我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式,例题：把下列式子分解因式,4x2+12xy+9y2,a2 +2ab+b2,(a+b)2,请运用完全平方公式把下列各式分解因式：,5、把 分解因式得 （ ）A、 B、6、把 分解因式得 （ ）A、 B、,B,A,7、如果100 x2+kxy+y2可以分解为（10 x-y)2,那么k的值是（ ）A、20 B、-20 C、10 D、-108、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）A、6 B、6 C、3 D、3,B,B,思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：X4+4x2+( ),小结：,1、是一个二次三项式,2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍,3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解,完全平方式具有：,1.利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+ +22-12,【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+(2+1)(2-1) =199+195+191 + +3 =5050,知识解密,16、（2005年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。例如用多项式x4-y4因式分解的结果（x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗?,小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可),应用性作业,2、计算： 25 26521352 25,选做题：,1、分解因式：,4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.,5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.,课后作业:,3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?,6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？,十字相乘法,因式分解之 二次三项式,口答计算结果,(x+3)(x+4) (x+3)(x-4)(3) (x-3)(x+4)(4) (x-3)(x-4),整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,(x + a )(x + b),=,如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。,例一：,或,步骤：,竖分二次项与常数项,交叉相乘，和相加,检验确定，横写因式,十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）,顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。,举一反三：,小结：,用十字相乘法把形如,二次三项式分解因式为的形式,(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱),(x + a )(x + b),学以致用,将下列各式分解因式,试将,分解因式,提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。,独立练习：把下列各式分解因式,练习：将下列各式分解因式,答案(7x6)(x1),答案 (y6)(y2),答案 (3xy)(5x4y),答案 (2x1)(5x8),答案 (x1)(xa),1.十字相乘法分解因式的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。,2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和恰好等于一次项的系数。,通过这节课的学习你有什么收获？,1、十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）,2、用十字相乘法把形如 二次三 项式因式分解,因式分解之 分组分解法,1.我们学习了哪几种分解因式的方法？,2.什么样的多项式适合运用平方差公式进行分解因式？,3.什么样的多项式适合运用完全平方公式进行分解因式？,4.分解因式要注意什么？,一.四项式的二二分组,解：原式=,解：原式=,解：原式=,解：原式=,练习1 分解因式,二.四项式的三一分组,解：原式=,解：原式=,练习2 分解因式,一.五项及以上的分组分解举例,解：原式=,解：原式=,