数值分析 第2章 插值法ppt课件.ppt

2022/12/25,第2章 插值法,1,第2章 插值（Interpolation）法,函数值的插值法,2.1 引言,2.2 Lagrange插值,2.3 差商与 Newton插值,2.4 带导数条件的Hermite插值,2.5 分段低次插值,2.6 三次样条插值,2022/12/25,第2章 插值法,2,插值法是数值分析中的一个古老的分支。,等距节点内插法隋朝数学家刘焯(公元544-610年)首先提出的,不等距节点内插法唐朝数学家张遂(公元683-727年)首先提出的,插值法在数值积分、数值微分、微分方程数值解、曲线曲面拟合、函数值近似计算中有着广泛的应用。,2.1 引言,2.1.1 插值法的提出,以近似计算函数值为例说明插值法的应用。,历史背景,2022/12/25,第2章 插值法,3,插值法就是一种最简单的重要方法,函数的插值法的提出背景,实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。,2022/12/25,第2章 插值法,4,设函数f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点 ax0 x1 xn b 处的函数值 y0 = f(x0), y1 = f(x1), yn = f(xn)，若存在一简单的函数 P(x)，满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0,1, n)，就称P (x) 称为f(x) 的插值函数。,插值法,点x0 , x1 , , xn 称为插值节点，区间a,b称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。,几何意义：,P(x) f(x),2022/12/25,第2章 插值法,5,常用,插值函数的类型,代数插值：多项式插值,有理插值：有理分式函数,三角插值：三角函数,2.1.2 多项式插值,（1.3）,设在区间 上给定 个点,上的函数值 ,求次数不超过 的多项式 ，使,多项式插值问题,2022/12/25,第2章 插值法,6,由插值条件得关于系数 的 元线性方程组,（1.4）,问题： P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？,系数矩阵为,（1.5）,2022/12/25,第2章 插值法,7,称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由 互异，故,因此线性方程组（1.4）的解 存在且唯一.,结论,定理1 设x0 ,x1,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,n)是给定的，那么存在唯一的次数n的多项式P (x)满足 P (xk)= yk, k=0,1,n。,P(x),但遗憾的是方程组(1.4)是病态方程组,阶数n越高，病态越严重。为此我们从另一途径寻求获得P(x) 的方法-Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）,2022/12/25,第2章 插值法,8,Interpolation polynomial,2022/12/25,第2章 插值法,9,2.2 拉格朗日多项式,n = 1,P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,2.1.1 线性插值与抛物插值,两点式,点斜式,线性插值,2022/12/25,第2章 插值法,10,二次插值,n = 2,方程组求解麻烦,抛物插值,思路：对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从中寻求规律得到拉格朗日插值(公式)和牛顿插值(公式).,我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式.,两点式,点斜式,2022/12/25,第2章 插值法,11,首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式的一种线性组合.,对称式,的一次插值多项式 ,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插值多项式，也称为线性插值的插值基函数 。,基函数的线性组合,基函数法,满足 li(xj)=ij,显然有l0(x)+ l1(x)1.,其中， l0(x)和l1(x)满足：,l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1,L1(x),L1(xj),=yj,2022/12/25,第2章 插值法,12,启发:,其中，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多项式，且应满足,满足(2.1) 的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?,（2.1）,二次Lagrange插值多项式为 L(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x),二次插值是否能由一些二次插值基函数来线性组合？,先考虑 l0(x)。,l0(x) 0(x x1)(x x2), 其中0 是待定系数。,2022/12/25,第2章 插值法,13,同理,l1(x) 1(x x0)(x x2),l2(x) 2(x x0)(x x1),此即二次拉格朗日插值公式, 其中, l0(x), l1(x), l2(x)是满足(2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数.,l0(x) 0(x x1)(x x2),由 l0( x0)=1，所以0(x0 x1)(x0 x2)1，则,L2(xj),=yj,2022/12/25,第2章 插值法,14,n 1,拉格朗日 多项式,与 有关，而与 无关,节点,f,2.2.2 拉格朗日插值多项式,展开,n 次插值多项式 :求次数n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , . , Ln(xn)=yn,令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn,2022/12/25,第2章 插值法,15,其中,满足条件,（2.9）,易求得,（2.10）,记,（2.11）,2022/12/25,第2章 插值法,16,三点共线,注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,二次插值多项式,一条直线,一次多项式.,2022/12/25,第2章 插值法,17,2.2.3 插值余项 (Remainder),罗尔定理 设f(x)在a,b内连续，在(a,b)内可导，且有 f(a)=f(b)；则在(a,b)内一定存在一点，使得 。,显然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 , i=0,1,n,设Rn(x)=K(x) n+1(x),现在任意固定一点 x a,b, xxi (i=0,1,n),引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x)n+1(t),则g(t)在a,b上具有n+1阶连续导数，在 t= x0, x1, xn, x 诸点处函数值皆等于零。,即g(t)在a,b中有n+2个零点。,由罗尔定理知g(t)在a,b中有n+1个零点。,2022/12/25,第2章 插值法,18,如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在a,b中有1个零点 ，即有 g(n+1)( )=0, a b.,则有,从而,截断误差,n = 1,n = 2,（2.12）,2022/12/25,第2章 插值法,19,注： 通常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,当 时，,于是,由此得,（2.17）,特别当 时，,（2.18）,2022/12/25,第2章 插值法,20,例1 证明 ，其中 是关于点 的插值基函数.,证明,例2 求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个点的二次Lagrange插值多项式.,解：,插值条件,2022/12/25,第2章 插值法,21,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,利用,选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。,2022/12/25,第2章 插值法,22,n = 2,sin 50 = 0.7660444,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,2022/12/25,第2章 插值法,23,例4 设 ，试证,其中,通过两点 及 的线性插值为,于是,证明,2022/12/25,第2章 插值法,24,Lagrange插值公式(利用插值基函数很容易得到): 含义直观,结构紧凑,在理论分析中非常方便; 计算机上实现也很容易.,也有一些缺点： 一是计算量大，这是显然的；另外，还有一个更严重的缺点，当插值节点增加时，全部插值基函数均要随之变化，整个计算工作必须从头开始：不仅原来的每一项都要改变，还要增加一项计算。,为克服上述两个缺点, 努力：把插值多项式变形为便于计算的形式。 希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.,下面我们将看到,这是可能的。我们可以有具有“承袭性”的所谓牛顿公式。,2022/12/25,第2章 插值法,25,线性插值的点斜式,常数(差商),启发：二次插值也能类似地有有规律的组合表达式:,P2(x)=0 + 1(x-x0) + 2(x-x0)(x-x1),利用P2(x0)=y0有: 0 = y0 ,利用P2(x1)=y1有: 1 =,= fx0,x1 ,利用P2(x2)=y2有: 2 =,fx0,x1,= fx0,x1,x2 ;,fx0,x2,x=x0时,0,2.3.1 插值多项式的逐次生成,2.3 均差与牛顿插值多项式,2022/12/25,第2章 插值法,26,注: 1. 事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待定系数法求得的; 2. 它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:,基函数法,更一般地，n+1个节点的插值多项式，我们希望由上述类似的一组特殊函数：,来线性组合为：,组合系数是什么样的呢？怎么求呢？,2022/12/25,第2章 插值法,27,当x=x0时，Pn(x0)=a0=f0.,当x=x1时，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1, 推得,当x=x2时，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)= f2,推得,依次递推可得到a3, , an. 为写出系数 ak的一般表达式,均差定义,2.3.2 均差及其性质,组合系数的规律性,2022/12/25,第2章 插值法,28,均差的基本性质,1 n 阶均差可表示为函数值f(x0), f(x1), f(xn)的线性组合,即,注：均差与节点的排列次序无关均差的对称性,fx0,x1,xn= fx1,x0,x2,xn= = fx1, , xn ,x0,2022/12/25,第2章 插值法,29, 实际计算过程为,f (x0)f (x1)f (x2)f (xn1)f (xn),f x0, x1f x1, x2 f xn1, xn,f x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xn,f x0, , xn,f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1,均差计算可列均差表如下：,3 若 是一个依赖于 的 次多项式，则 是关于 的 次多项式。,2022/12/25,第2章 插值法,30, ,Nn(x),Rn(x),2.3.3 牛顿插值多项式,Nn(x)牛顿均差插值多项式,下面验证,Nn(xi)=f(xi)(i=0,1,2,n),2022/12/25,第2章 插值法,31,下面说明Nn(x)即为拉格朗日插值Ln(x)。,记 是关于节点 的k 次拉格朗日插值多项式，则有,2022/12/25,第2章 插值法,32,4 若f(x)在a,b上存在n阶导数, 且节点x0,x1,xn a,b,则n阶均差与导数关系如下:,析,应用n次罗尔定理有,2022/12/25,第2章 插值法,33,Nn(x),余项形式,Rn(x),ai =,f x0, , xi ,2022/12/25,第2章 插值法,34,例5 依据如下函数值表建立不超过3次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式Nn(x),并验证插值多项式的唯一性.,解: (1)拉格朗日插值多项式Ln(x).,插值基函数,拉格朗日插值多项式为:,2022/12/25,第2章 插值法,35,(2) 牛顿插值多项式Nn(x).,建立如下差商表,牛顿插值多项式为:,(3) 唯一性验证.,通过比较牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式,知: Nn(x) = Ln(x)这一事实与插值多项式的唯一性一致.,2022/12/25,第2章 插值法,36,注： 当题目中没有指明用哪一种方法建立插值多项式时，原则上拉格朗日插值方法和牛顿插值方法都可行，做题目时选较为方便的一种方法。近似计算时，由于牛顿插值多项式的非整理形式可以直接写成秦九韶算法的形式，计算量小，且当节点增加时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而通常情况下牛顿插值比较方便，拉格朗日插值则没有该优点，但在理论证明上因其基函数的特点广泛应用。,解: 利用牛顿插值公式,N3(x),2022/12/25,第2章 插值法,37,建立如下差商表,P3(x)=N3(x),得,2022/12/25,第2章 插值法,38,2.3.4 差分形式的牛顿插值公式,设有等距节点，其中称为步长。,设 点的函数值为 ，称 为 处以 为步长的一阶（向前）差分.,类似地称 为 处的二阶差分.,差分,例 f(x)=x2 , xi=i (i=1,2,n), 求nf(xi),(i=1,n-1) n3,解：,f(xi)=f(xi+1)-f(xi)=(i+1)2-i2=2i+1,2f(xi )= f(xi+1)- f(xi)=2(i+1)+1-(2i+1)=2,3f(xi )= 2f(xi+1)- 2f(xi )= 2-2=0nf(xi)=0 n3,2022/12/25,第2章 插值法,39,两个常用算子符号,称为不变算子,称为步长为 的移位算子,差分与函数值,（3.9）,其中 为二项式展开系数,反之,可得,（3.10）,2022/12/25,第2章 插值法,40,均差与差分的关系,（3.11）,（3.12）,其中 .,差分表,差分与导数的关系,xi fi 2 3 n,x0 f0 x1 f1x2 f2x3 f3xn-3 fn-3xn-2 fn-2xn-1 fn-1xn fn,f0f1f2,fn-3fn-2fn-1,2f02f1,2fn-32fn-2,3f0,3fn-3,nf0,2022/12/25,第2章 插值法,41,令 ，用差分代替差商,（3.13）,（3.14）,牛顿向前插值公式,解 为使用牛顿插值公式，先构造差分表.,n(x),牛顿向前插值公式的余项,2022/12/25,第2章 插值法,42,取,则,得,2022/12/25,第2章 插值法,43,误差估计,其中,差商表,练习 给出函数y=(x)的函数表写出函数y=(x)的差商表，并求节点为x0,x1的一次插值x0,x1, x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插值多项式.,N1(x)=5-2(x+2)=1-2x,解,N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1) =3x2+7x+7,N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9,2022/12/25,第2章 插值法,44,2022/12/25,第2章 插值法,45,2.4 埃尔米特插值,假设函数y=f(x)是 在a,b上有一定光滑性的函数,在a,b 上有n+1个互异点xoxn, f(x)在这些点上取值yo.yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yi i=0,1,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值节点xi上的 1min阶导数，如何来构造插值函数呢? Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又满足微商条件的插值函数。,Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。,2022/12/25,第2章 插值法,46,2.4.1 重节点均差与泰勒插值,定理3 设 为 上的相异节点，则 是其变量的连续函数.,重节点的一阶均差,重节点均差,重节点的二阶均差,2022/12/25,第2章 插值法,47,（4.1）,令,（4.2）,这实际上是在点 附近逼近 的一个带导数的插值多项式，它满足条件,（4.3）,重节点的n阶均差,泰勒插值,泰勒多项式,Pn(x),泰勒插值多项式,2022/12/25,第2章 插值法,48,一个埃尔米特插值多项式，余项为,（4.4）,泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点 给出 个插值条件所得到的 次埃尔米特插值多项式.,2.4.2 两个典型的埃尔米特插值,不完全导数的Hermite插值,考虑满足条件 及 的插值多项式及其余项表达式.,多项式的曲线通过,故,2022/12/25,第2章 插值法,49,可由条件 确定,通过计算,余项,可设,其中 为待定函数.,构造,a, b上有四个零点x， x0，x1，x2 ；其中x1为 二重零点. 利用Rolly定理，知g(t)在x0，x1，x2 ，x组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为1, 2, 3 ，加上x1 ，在a, b上至少有4个零点.,反复应用罗尔定理，得 在 内至少有一个零点，,故有,(4.5),余项表达式为,2022/12/25,第2章 插值法,50,例8 给定 试求 在 上的三次埃尔米特插值多项式 ，使它满足并写出余项表达式.,由题意可求出,构造均差表,解,令,2022/12/25,第2章 插值法,51,可得,故,余项,由条件 ，可得,2022/12/25,第2章 插值法,52,(4.7),基函数法,插值节点取为 及 ，插值多项式为 ，插值条件为,其中 是关于节点 及 的三次埃尔米特插值基函数，分别满足,(4.6),完全导数,两点三次埃尔米特插值,插值多项式,2022/12/25,第2章 插值法,53,根据给定条件可令,显然,再利用,及,解得,于是求得,同理可得,(4.8),(4.9),2022/12/25,第2章 插值法,54,为求 ，由给定条件可令,直接由 ，得到,(4.10),(4.11),同理,2022/12/25,第2章 插值法,55,最后代入，得,(4.12),(4.13),余项 ，,2022/12/25,第2章 插值法,56,重节点均差构造Hermite插值,Newton形式的Hermite插值,解：,构造差商表,2022/12/25,第2章 插值法,57,根据Newton插值公式,插值余项,2022/12/25,第2章 插值法,58,采用基函数法,插值余项为,完全导数的Hermite插值(了解),2022/12/25,第2章 插值法,59,2022/12/25,第2章 插值法,60,2022/12/25,第2章 插值法,61,2022/12/25,第2章 插值法,62,输入,输出,令,对 作如下：,令,对 当 时,令,令,返回,2022/12/25,第2章 插值法,63,应用Hermite插值计算 的近似值。,例 ：已知函数 在点 数据表：,解：,2022/12/25,第2章 插值法,64,2022/12/25,第2章 插值法,65,我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。,2.5 分段低次插值,f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项,设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？,2022/12/25,第2章 插值法,66,2.5.1 高次插值的病态性质,构造拉格朗日插值多项式为,函数 在 上的各阶导数均存在.,例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,令,2022/12/25,第2章 插值法,67,n 越大，端点附近抖动越大，称为Runge 现象,实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？,2022/12/25,第2章 插值法,68,(1)分段线性插值,(2)分段二次插值与分段三次插值,(3)分段Hermite插值,(4)分段三次样条插值,2022/12/25,第2章 插值法,69,2.5.2 分段线性插值,分段线性插值是用通过插值点的折线段逼近f(x).,问题的提法,定义 设f(x)是定义在a,b上的函数，,分段线性插值函数的表达式,由定义,2022/12/25,第2章 插值法,70,由基函数法,2022/12/25,第2章 插值法,71,局部非零性,具有插值基函数的性质,分段线性插值函数的余项,若(x)C2a,b,则当xxk-1,xk时,有,若记,对任一xa,b都有,可见,当h0时,分段线性插值Ih(x)收敛于(x).,注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.,2022/12/25,第2章 插值法,72,分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。,2022/12/25,第2章 插值法,73,例10 设给出了cosx的函数表(0 x2)，其步长h=1 =(1/60)=/(18060) ，研究用进行分段线性插值求cosx近似值的最大截断误差界.,设f(x)=cosx,是一个以2为周期的函数，只要给出一个周期内的数据即可. 取等距节点xi=ih,0i218060,则任给x0,2 ，一定存在i使得xxi,xi+1, 以xi，xi+1为插值节点作f(x)的一次插值多项式,解,由于,因而,2022/12/25,第2章 插值法,74,在区间 上的表达式为,2.5.3 分段三次埃尔米特插值,问题的提法,在每个小区间 上是三次多项式.,设在节点 上已知函数值 和导数值 可构造分段三次Hermite插值函数 ，满足条件,分段三次Hermite插值函数的表达式,2022/12/25,第2章 插值法,75,在区间 上的表达式为,对应于节点xk的函数的基函数,对应于节点xk的导数的基函数,2022/12/25,第2章 插值法,76,由基函数法,2022/12/25,第2章 插值法,77,2022/12/25,第2章 插值法,78,分段三次Hermite插值的余项,利用三次埃尔米特插值的余项（4.13），可得误差估计,定理3 设 为 在节点上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有,其中,2022/12/25,第2章 插值法,79, 分段低次插值的收敛性,在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):,分段线性插值,分段三次Hermite插值,2022/12/25,第2章 插值法,80,2.6 三次样条插值,上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。,样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机械器件,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条.在绘制需要通过某点的光滑曲线时,对它在这些点的位置上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点.“样条函数”这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很象.,2022/12/25,第2章 插值法,81,2.6.1 三次样条函数,若在节点 上给定函数值 并成立,（6.1）,则称 为三次样条插值函数.,f(x),H(x),S(x),三次样条插值函数的定义,注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而埃尔米特插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,2022/12/25,第2章 插值法,82,如何求 的三次样条插值函数:,4n个未知数,因为 在 上二阶导数连续，所以在节点,处应满足连续性条件,（6.2）,满足 个插值条件；,三次样条插值条件的分析,个条件,共有 个条件，还需要2个才能确定.,2022/12/25,第2章 插值法,83,边界条件,通常可在区间 端点 上各加一个条件,常见的边界条件有以下3种：,（称为边界条件），,1. 已知两端的一阶导数值，即,（6.3）,2. 已知两端的二阶导数，即,当,（6.4）,自然边界条件,此时插值条件（6.1）中 .,（6.5）,称为周期样条函数.,2022/12/25,第2章 插值法,84,2.6.2 样条插值函数的建立三弯矩插值法,三弯矩插值法的基本思想,1、 未知，但设 ，,得到三弯矩方程,利用 的一阶导数连续,2、若求出 ，可用 和 构造出,3、如何求 ？,4、由三弯矩方程加边界条件求出,建立三弯矩方程,2022/12/25,第2章 插值法,85,设 的二阶导数值 ，求 .,（6.7）,对 积分两次并利用 及 ，,得三次样条表达式,（6.8）,未知数n+1个,1、三次样条函数的表达式,2022/12/25,第2章 插值法,86,对 求导得,（6.9）,求得,类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得,利用 可得,（6.10）,2、构造三弯矩方程组,2022/12/25,第2章 插值法,87,（6.11）,第一种边界条件（6.3）,（6.12）,其中,令,未知数n+1个,方程n-1个,（6.10）,（6.13）,矩阵形式,2022/12/25,第2章 插值法,88,第二种边界条件（6.4）,（6.14）,令 ,矩阵形式,第三种边界条件（6.5）,其中,（6.15）,2022/12/25,第2章 插值法,89,矩阵形式,（6.16）,三弯矩方程,（6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解, 求解方法追赶法，将解得结果代入,2022/12/25,第2章 插值法,90,若假设S(xi)=mi ,i=0,1,n,利用分段Hermite插值多项式,当xxi-1,xi时,有,其中hi=xi-xi-1 .为了确定S(x),只需确定mi ,i=0,1,n.可利用S(xi-0)=S(xi+0)来求出mi .,当xxi-1,xi时,2.6.2 样条插值函数的建立三转角插值法(了解),2022/12/25,第2章 插值法,91,于是有,由连续性条件S(xi-0)=S(xi+0)可得,两侧同除以,3(ixi-1,xi+ixi,xi+1)=gi,则有,imi-1+2mi+imi+1=gi , i=1,2,n-1.,2022/12/25,第2章 插值法,92,再结合不同的边界条件,可得关于mi的方程.,若边界条件为:m0=y0 ,mn=yn , 可得,若边界条件为:S(x0)=y0 ,S(xn)=yn ,则有,连同式上式一起,可得,2022/12/25,第2章 插值法,93,若边界条件为周期性边界条件，由S(x0+0)=S(xn-0) ,和S(x0+0)=S(xn-0),有,m0=mn,nmn-1+2mn+nm1=gn,和,其中,2022/12/25,第2章 插值法,94,于是有,对应不同的边界条件，只要求出相应的线性方程组的解，便得到三次样条函数在各区间xi-1,xi上的表达式.,由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵,所以都有唯一解,前两个方程组均可用追赶法求解,第三个方程组可用LU分解法或Gauss消元法求解.,2022/12/25,第2章 插值法,95,试求三次样条函数 ，使它满足边界条件,例11,解,由此得矩阵形式的方程组（6.13）为,由（6.11）及（6.12）,（6.13）,2022/12/25,第2章 插值法,96,求解得,代入（6.8）得,（曲线见图2-6）,2022/12/25,第2章 插值法,97,图2-6,2022/12/25,第2章 插值法,98,给定函数 节点,用三次样条插值求,取,直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值.,例8,2022/12/25,第2章 插值法,99,2022/12/25,第2章 插值法,100,下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：,2022/12/25,第2章 插值法,101,附：样条插值程序,n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x, spline);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Spline), gtext(y=1/(1+x2)title(Spline),注：interp1(x0, y0, x, spline)为Matlab中现成的样条插值程序.,2022/12/25,第2章 插值法,102,也可以将三种插值结果画在一起：,2022/12/25,第2章 插值法,103,2.6.3 误差界与收敛性,则有估计式,（6.17）,其中,这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差估计.,还说明了当 时， 及其一阶导数 和,二阶导数 均分别一致收敛于 ， 及,2022/12/25,第2章 插值法,104,2022/12/25,第2章 插值法,105,作业 (1) P48 1,4,5 (2) P48 7-11 (3) P48 12,14,16 (4) P48 20 21,