数值传热学第五章 数值计算ppt课件.ppt

第五章 对流与扩散,主要内容： 5.1 任务5.2 一维稳态对流与扩散5.3 二维问题的离散化方程5.4 三维问题的离散化方程5.5 单向空间坐标5.6 假扩散,5.1 任 务,1、上章内容总结 在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的形式，方程组的求解方法仍然适用。 2、本章任务 在已知流场（V分量及）的情况下，求解分布。对流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.,3、通用方程的改写形式,获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜测估计得知。“扩散”的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起的一种化学组分的扩散，由的梯度引起的扩散流是 ，即方程中的 二阶导数项为扩散项。,两式相加得,原通用方程可改写为,对于已知的、uj、及S（常量）的分布，任何解及+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。,5.2 一维稳态对流与扩散,讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控制方程为：,连续方程：,任务：导出相应方程的离散化形式,5.2-1 预备性的推导 （中心差分格式）,选三点网格群见右图。控制容积界面e、w的实际位置不会影响最终的公式。在此,1、离散化方程的导出,设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。,在控制容积内对微分方程积分,对流项及扩散项中的均采用分段线性的函数表示,(e、w位于节点中间),对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。,式,e、w可以用算术平均法或调和平均法求得。,整理后的离散化方程,其中：,定义：,可写成,由于连续性，Fe=Fw， （只是在流场满足连续性条件时才具有这一性质）；方程 隐含着分段线性分布的含义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示界面上的值以及界面上的导数值）；方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的结果。,2、对方程的几点说明,例如：,若E、W给定，即可由离散方程求得P 。,两个值均不符合实际,扩散项为零（=0），中心差分格式导致 于是方程 不适用于逐点迭代法求解了，也不适用于采用其它的迭代解法了。,这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低Re(低的F/D)的原因.,为解决中心差分在 之后产生解失去物理上真实性的问题，提出了上风方案。以后介绍的格式，除特殊说明，扩散项均采用中心差分格式离散。因此离散格式的不同是指对流项离散方法的不同。上风方案充分考虑了流动方向对导数差分计算式及界面上函数取值方法的影响。,5.2-2 上风方案,1、上（迎）风格式两种离散方式的定义,. 泰勒级数展开法定义（第一类迎风格式）,(a),一阶上（迎）风的构造方式,以流动方向而言，P 点的一阶导数是该方向的向后差分，即永远是从上游获得构造一阶导数的信息，公式表示：,(b),控制容积积分法定义（第二类迎风格式）,控制容积界面上值的规定：界面上的值等于界面上风侧网格节点上的值。,类似地，w界面上,上述条件语句紧凑格式的写法：,2、离散化方程,采用一阶上风方案,代入上式整理得,式中：,此类格式的离散化方程不会产生负系数（因格式须满足连续方程 Fe=Fw ，故aP0）, 解总是在物理上真实的解，同时斯卡巴勒准则也将得到满足；在对流项中心差分的数值解不会出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果比采用上风方案的结果更精确；为构造更为优良的离散格式，应当在迎风方向获取比背风方向更多的信息，以较好地反映对流过程的物理本质；一阶上风格式由于其绝对稳定的特性，使其在过去半个世纪中得到广泛的应用，至今仍有其应用价值,3、几点说明,5.2-3 精 确 解,1、方程的精确解,控制方程,连续方程,令：,上述方程,整理得:,2、精确解随x 及Pe 变化关系讨论,Pe1,不同Pe下 随x 变化的关系曲线,当Pe=0时， 与x 呈线性关系，成为常物性的纯扩散问题。,当Pe到中等数值（小于5），整个求解区域内曲线的变化仍是平稳的；当Pe继续增大（如大于10），精确解越来越呈现出边界层类型的特性。在x=0到x=L的大部分范围内，上游的0占了优势，仅在靠近x=L的薄层内上升到L。这时，对流的作用就把上游的信息一直带到下游。Pe0时，流动方向正好与x轴正向相反。 L成为上游值，它支配着域内的值，当Pe为相当大的负值时，在该区域的大部分范围内接近于L。,3、迎风格式的缺点 (对照精确解),对于任意大小的Pe值，它的计算误差都较大，因为：,当Pe较小时，扩散项采用中心差分格式有较高的精度；但此时处理对流项用上游节点的值来代替界面值e 、w 则误差较大。当Pe较大时，将界面值e 、w取为它们的上游节点值具有较高精度，但这种情况下还用中心差分离散扩散项将会带来较大的误差。因为如图所示，节点间的大部分区域上界面导数已基本等于零，即扩散项为零。,5.2-4 指数方案,以精确解为基础推得离散化方程，将不会有上述方案所存在的缺陷。根据精确解构造的格式称为指数格式,1、方程格式的导出,设总流量密度,则原微分方程化为,在三节点群W、P、E控制容积内积分上述方程得：,将精确解代入总通量密度式中：,对于节点W和P之间的控制界面w，用W、P分别代替0 、L，并用(x)w代替L，可得：,同理,将两式代入,与x无关,离散化方程式为,式中,上述系数定义了指数格式,2、格式的优缺点,应用于一维稳态问题时，该格式保证对任意的Pe数，任意数量的网格节点以及任意控制容积面位置都可以得到精确解；但这种精确解只是对一维、稳态、无源的对流和扩散问题才成立，如用这种格式处理二维或三维以及源项不为零的问题，必将失去精确解的含义；此外，大量的系数计算中都要用到指数运算，这也是不经济的。,鉴于上述原因，指数格式未得到广泛应用,5.2-5 混合方案,既具有指数方案的定性特性，又有易计算的优点。,1、差分格式系数的构成,指数方案中,由图可见,上述三条线构成准确曲线的一根包络线，并代表这一准确曲线的合理近似。,格式的不同在于系数不同,用特殊符号表示aE,2、差分格式的特征,-2Pe2, 混合方案同中心差分格式；在该范围之外，简化为上风格式。所谓“混合”是指中心差分格式与上风格式的组合。,3、离散化方程,式中,对界面位于节点间任意位置的情况均适用,5.2-6 幂函数方案,当Pe=2时，混合方案偏离准确曲线距离较大，表示在Pe数绝对值刚超过2就马上把扩散效应置为0的做法有些早了。本节给出的幂函数方案是一个对准确曲线的更好近似。,1、格式系数的构成,系数的紧凑形式,2、格式的特点,幂函数方案较混合方案复杂一些（四条线逼近），但幂函数表达式中系数的计算并非特别费时，且表达式极好地代表着指数状态。此格式与混合格式的差异很小， 后两种方案一致。因幂函数格式计算省时被推荐为对流-扩散公式采用方案。,5.2-7 一个通用化的公式,为了便于处理对流和扩散问题以及编制通用的计算机程序，本节将讨论上述几种格式的通用形式。,离散方程实际上是守恒定律的一种离散形式，而守恒定律是一种通量(密度)的平衡式，即在一维、稳态、无内热源的对流扩散问题中，对流与扩散总通量(密度)处处相等。 曾由J 的平衡式导出了以aE、aW表示的离散形式，讨论aE、aW的关系时用aE/De、 aW/Dw表示。下面将由此思路寻求几种格式都适用的表达式。,1、J*、通量密度及其离散表达式,设总流量密度,可以看出A和B均是P的函数，且,2、系数A、B间的关系分析,. 和差性,由系数A、B的定义式可得：,. 对称性,如果将坐标轴的方向反转, 得到右侧两图，P将显示为-P，A与B将相互交换其角色，所以有如下关系： 对界面而言,以指数格式为例验证上述结论,指数格式通量表达式,见图5.6所示,.系数特性的重要推论,两式合并,3、通用离散化方程的导出,将A、B的表达式代入此方程,可见，对于不同的格式，只是 表达式不同而已。各种不同格式的 函数关系式已由表5.2给出。可以通过与相应的精确解比较来评判每一种函数的满意程度。,5.2-8 各种方案(格式)结果比较,为了比较对给定的E 和 W 值用上述几种格式计算得到的P值，且不失一般性，取：,结果示于图5-8中，由图可以看出：,用幂函数格式得到的结果，对任何Pe数都与精确解符合得很好，以致在图中很难分开，只好用一条线表示。中心差分格式的解在小Pe时与精确解很符合，但在Pe=2，误差明显增大；绝对值大于2后结果均已超出边界值所限定的范围，违反了物理上的真实性。,上风格式对任何Pe数都能得到物理上真实的解，即P都落在边界值范围内，但在整个Pe数范围内都有较大的误差存在。这是由于小Pe时，对流项用了上游节点计算，而在大Pe时，扩散项仍用中心差分格式离散所致。混合格式所得结果在-2Pe2时, 与中心差分格式相同；在该范围之外（-5Pe5），比上风格式有较大改进，因为此时将扩散项取成了零，因此与精确解符合得很好。,5.3 二维问题的离散化方程,在二维直角坐标系中，对流扩散方程的通用形式,引入 x 及y 方向的对流-扩散通量密度,二维问题的控制容积,1、用控制容积法进行离散,法一：直接对给定方程离散,格式为全隐式,代表整个控制容积面上的积分总流量，其它的类同。,除了时间项外尚未引入离散格式，为使上式最终化为相邻节点上未知值间的代数方程，需,要对界面上的总通量建立起节点值的表达式离散格式,(1),依界面上导数离散方式及函数插值方式的不同形成了多种格式。除了指数及乘方格式外，界面上扩散项的导数都采用分段线性的型线来构造，因而主要的区别在于界面函数的插值方法不同。,法二：将连续方程加入后再进行离散,也在图示控制容积上积分,(2),(1),(2),(1) 式-(2) 式P 得：,(3),消除B得：,(4),同理：,将上述J的表达式代入（3） 式并整理得：,式中：,式中热导的定义分别为：,贝克列数定义：,先将动量方程和连续方程分别离散，然后合并在一起得到离散方程；或者将连续方程引入动量方程后再进行离散，所得结果应该是一样的，且都满足邻近系数之和的规则。当已知的速度与密度恰恰满足连续性离散化方程时，由法一和法二得到的离散化方程相同；当已知的流场不满足连续性方程时，这两种推导将给出不同的结果，这时建议采用由第二种方法导出的离散化方程，因为它满足邻近节点系数和的规则。,2、几点说明,不满足连续性流场的产生：由于流场常常不是实际给定的，而是通过迭代算得的。在迭代中间阶段的不完善的流场可能并不满足连续性方程。正因如此，需要特别留意满足法则4（系数和的规则）。相邻节点系数代表四个控制容积面上对流与扩散的影响， 表示在时刻t 控制容积内的含量除以时间步长。,5.4 三维问题的离散化方程,与二维离散化方程的写法相同，只是增加了一个坐标，用T、B表示此坐标方向的相邻点。,三维离散化方程：,5.5 单向空间坐标,前面曾提到，在一般情况下，空间坐标具有双通道性质。但在对流-扩散问题中，如果存在主要流动方向，且该方向对流强度远大于扩散强度(P很大)，下游邻点系数将变得很小。对于混合格式来说, 下游邻点系数即取为0；而对乘方格式 取为0。在此情况下，给定点的状态不再受下游状态变化的影响，即该方向的空间坐标具有了单通道性质。,同上风格式的思想,5.5-1 使空间坐标成为单向坐标的条件,如图所示的二维问题中，假定沿x方向有较高流率P数很大，对于沿一根y方向的所有网格点，系数aE=0，即图中P与E无关，x 就成为一个单向坐标，这样在 x 方向就有可能构成一个“前进解”的程序。,5.5-2 出流边界条件,第四章所述边界条件处理的方法同样适用于对流-扩散问题。不过出口边界是最难处理的边界条件，因为在出口边界处，通常值以及它的流量均是未知的。但按微分方程理论，应给定出口截面上的条件。,1. 边界的处理方法,通常假定出口截面上的节点对第一内节点已无影响，因而可以令边界节点对内节点的影响系数为0，出口截面上的信息对内,部节点的计算就不起作用，也就无需知道出口边界之值了，其物理实质相当于出口界面附近的区域流动方向的坐标是局部单向的。 令 aE=0 见图所示。,2. 出流边界位置的选择,为了在数值计算中应用这一简化处理方法而又不致引起过大误差，计算区域边界位置应满足以下条件：,出口边界上无回流。因为有回流，出口边界的一部分有“入流”（参见图5.11、5-12）出口截面应离开感兴趣的计算区域较远。 在实际计算中，可以通过改变出口截面的位置，计算并检查其结果是否受到影响，从而判断所取的位置是否合适。,3. 对流-扩散问题的边界条件,只要没有流体流过计算区域的边界，那么经过该边界的流量密度就是纯粹的扩散流（第四章）；流体流入计算区域的那些边界部分（入口条件），的值通常是已知的（若不知道流体携带入的值时，问题是不确定的）；流体离开计算域的那些边界形成出流边界，用本节提出的方法处理。,5.6 假扩散,假扩散是对流项离散过程中所引入的一个重要误差。由于对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假扩散。对假扩散研究的目的是要查明如何来构造对流项的差分格式, 才能在不过分细密的网格下得到没有振荡且具有足够准确度的解。,5.6-1 关于假扩散的一般观点,关于假扩散问题的讨论始于对上风与中心差分格式精度的讨论中。,1. 上风与中心差分格式的比较,. 系数,中心差分,上风格式,上风格式的系数都比中心差分格式的系数大 ，相当于上风格式在真实的扩散系数D上增加了一个大小为 的虚假扩散系数。,. 精度,中心差分具有二阶精度，而上风格式只有一阶精度。上风格式精度低，并被认为增加了一个不真实的扩散系数。因此认为上风格式似乎不好，这种说法是不正确的。,2. 关于假扩散的一些观点,在处理大Pe的对流问题时，CD格式本身就不能给出物理上真实的解，不能把它作为一种精确的参考系统来评价FUD。否则，其它格式（由精确解构造的幂函数-Power格式）都带有虚假扩散了，这显然是不能接受的，即这种含义的虚假扩散是不正确的。,相反，所谓的假扩散系数 实际上是在大Pe数条件下的一种理想补充，它修正了由中心差分格式可能带来的错误结果。,在Pe很小时，CD格式比FUD格式准确，且其它格式在小Pe时与CD格式相符，即在小Pe数时，假扩散不会是个严重问题。 对大Pe以及上风格式应予以重视。,5.6-2 有关假扩散的正确看法,虚假扩散是一种多维的问题，在稳态的一维问题中绝对不会有相应形式的假扩散，但非稳态的一维问题确实也存在某种形式假扩散的干扰。以下讨论稳态问题。,1. 一般格式中是否包含虚假扩散？,2. 如何检验数值解方案会引起假扩散？,把真实扩散系数定为0，其数值解产生一个逐渐变化的温度分布就可以得出结论该数值方案引起了假扩散。 举例说明.见图5.13,扩散系数为0，CD格式的ap=0, 无法采用迭代方法求解代数方程组，若用直接解法求解，将不会得到唯一解或真实解。,3. 网格线布置对上风方案计算结果的影响,在x方向均匀流动：左边界上存在阶跃不连续的温度场，设=0 且y方向无速度，则aN、aS为0，上风方案aE=0，于是aP= aW P=W，这样上游温度分布的不连续性将保存到下游无假扩散。,流速与网格线成 45的均匀流动, 且为均匀网格，在x与y方向流动速度相等。结果上游邻点系数aS、 aW变得相等，下游邻点（N、E）系数变为0。,求解结果如图5.15所示。结果表明，当流场方向与网格线成一倾角并在与流动方向垂直的方向上存在因变量非零的梯度时有假扩散出现,图5.15,对二维情况的假扩散系数，按下式计算：,为速度方向与x方向的夹角,4. 减小假扩散的措施,减小x 、y及，采用细网格且网格线布置得接近主流线；若实际问题有扩散，尽量使假扩散系数小于真实系数采用CD格式不是解决假扩散的灵丹妙药。,作 业： 5.1,