常数项级数的概念和性质解析ppt课件.ppt
第十一章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,我们在上学期所学的定积分，其是一类和式的极限。,有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，前面所述和式的极限存在实质是指无穷多项相加之和是一个确定的数。,这一章我们专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子叫做无穷级数，当然在不至于引起混淆的情况下把无穷级数简称为级数。,第一节 常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,引例2. 计算棒长.,显然 小于1， 并且n值愈大，其数值愈接近于1，当 时， 的极限为1.,引例3. 斐波那契数列,若一个数列，前两项都等于1，从第三项起，每一项都,是其前两项之和，则称该数列为斐波动那契数列.,令,依次写出,，就是,例4.无理数e是一个重要而有趣味的数字，在数学和,自然科学中，它有着很多的应用，这个数可以用级数,表示为：,关于无穷大,有限与无限 有着本质区别,史铁生在“说死说活” 9 无限小与无限大,你在变动不居之中。或者干脆说，你就是变动不居：变动不居的细胞组成、变动不居的思绪结构、变动不居的经历之网。你一直变而不居，分分秒秒的你都不一样，你就像赫拉克利特的河，倏忽而不再。你的形转瞬即逝，你的肉身无限短暂。 可是，变动不居的思绪与经历，必定是牵系于变动不居的整个世界。正像一个音符的存在，必是由于乐曲中每一个音符的推动与召唤。因此，每一个音符中都有全部乐曲的律动，每一个浪的涌落都携带了水的亘古欲望，每一个人的灵魂都牵系着无限存在的消息。,顾沛释希尔伯特的例子：有无限个房间的旅馆,现实世界中旅馆只有有限个房间。有无限个（可数无穷）房间的旅馆是人脑的产物。为了叙述方便起见，不妨设一个房间只住一个客人。客满是指无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住。,1.这样的旅馆客满之后又来了1位客人，老板能否安排,2.这样的旅馆客满之后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为(常数项)无穷级数，简称(常数项) 级数.,次相加, 简记为,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,当n依次取1,2,3,时,它们构成一个新的数列:,称为部分和数列,记作,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,部分和数列收敛，极限值S叫做级数的和，并写成,注：收敛级数才有“和”的概念。,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,收敛,收敛,发散,发散,无穷级数收敛性再举例,认识几个常用的级数,调和级数,几何级数,等比级数,aqn-1,级数,例1. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,例*.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,证明调和级数 发散,例2.,解 部分和,所以上述算术级数发散。,解,用 “拆项相消” 求和法,例4. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,例如: 发散,例如: 收敛。,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,讨论级数 的收敛性,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,因此必有,例如,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,注意: 收敛级数可以加括弧.其收敛性不变,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,用反证法可证,注意: 正项级数加括弧与去括弧均不影响其敛散性。,例3.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,例3.判断级数的敛散性:,设收敛级数,则必有,证:,性质5.(级数收敛的必要条件),可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,再如,因此这个级数发散.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,并非级数收敛的充分条件.,再如,例*.判断级数的敛散性,若收敛求其和.,分析,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,作业 P442-443,3 (1) (3),4 (2) (5) (6),观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,
