线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 根轨迹分析的MATLAB方法,4-1 根轨迹的基本概念,由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又由闭环零、极点的分布确定。闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较难确定。根轨迹法为我们提供了一种确定闭环极点简便的图解方法。根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。由于它简便、直观，在工程实践中得到了广泛的应用。,当某一参数从0变化时，系统闭环特征方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨迹。当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。,1.根轨迹的定义,闭环传递函数：,解：系统的开环传递函数为,一定要写成零极点的形式,引例：已知系统的结构图所示，分析 时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。,K系统的开环增益，Kg = 2K为系统的开环根轨迹增益,(1) Kg= 0时，s1 = 0、s2 = 2（对应两个开环极点，称为根轨迹的起点，用表示）。,2,1,(2) 0 Kg 1时，为两个不相等的负实根。 Kg s1 ，s2 。,(3) Kg= 1时， s1 = s2 = 1，为两个相等的负实根。,特征根的分布随着Kg的改变而变化。,(4) Kg 1时，,Kg= 0,Kg= 0,Kg=1,Kg,Kg,为一对实部为-1的共轭复数根。,闭环特征方程： 闭环特征根：,（1）n阶系统有n个根，有n条根轨迹分支；（2）每条根轨迹的起点(Kg= 0)位于开环极点处；,（3）每条根轨迹的终点(Kg ) 或为开环零点处或为无穷远 处。（4）重根点，称为分离点 或汇合点。,结 论：,（1） 稳定性当Kg从0 变化时，如系统的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，则该系统对所有的Kg值都是稳定的。,2.根轨迹与系统性能,如果系统的根轨迹有可能进入右半s 平面，此时根迹与虚轴交点处的Kg 值，称为临界开环增益。,由原点处的开环极点数可确定系统的型别，如果给定系统对稳态误差的要求，则对Kg（K）有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。,（2）稳态性能,当 时，闭环极点均位于负实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。,当 时，闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。当 时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。,（3） 动态性能,闭环传函：,闭环特征方程:,一定要写成零极点的标准形式,3. 根轨迹的条件方程,系统的结构如图所示：,开环传函：,根轨迹的条件方程,根轨迹上的点必满足根轨迹条件方程，而满足根轨迹方程的点必然在根轨迹上。,矢量运算复习,复平面上任意一点，都可用一个矢量表示，如图所示。根据矢量的运算法则 s-pj表示从开环极点pj 指向s的矢量； s-zi表示从开环零点zi 指向s的矢量；,矢量的模：,矢量的相角：（矢量与正实轴的夹角）,zi,pj,s-pj,s-zi,s=+j,图中，s复平面上任意一点pj 系统的开环极点zi 系统的开环零点,根轨迹的条件方程,模值条件方程,根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分解出以下的模值条件和相角条件方程：,相角条件方程,相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用模值条件。,模值条件方程,相角条件方程,下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹图。系统开环零极点分布如图。,p2,p3,p1,z1,s1,1,1,2,3,在s平面找一点s1，画出各开环零、极点到s1点的矢量。,检验s1是否满足幅角条件：,寻找在s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。,如果s1点满足相角条件，则是根轨迹上的一点。,4-2 常规根轨迹的绘制法则,模值条件方程：,相角条件方程：,常规根轨迹与参量根轨迹的定义：,除Kg以外，由其它某个参量变化所绘制的根轨迹，称为参量根轨迹。,根轨迹增益Kg由0时所绘制的根轨迹，称为常规根轨迹。,1.根轨迹是连续的,闭环特征根若为实数根，则位于实轴上；若为复数根则成对出现，是实部相等，虚部大小相等符号相反的共轭复数根。,根轨迹必定对称于实轴,j,0,S1,S2,S3,S4,S5,S6,常规根轨迹的绘制法则：,2.根轨迹对称于实轴,由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。,当Kg由0连续变化时，每一个特征根由起始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹分支。,3.根轨迹的分支数,根轨迹的分支数与特征方程的根的数目相一致。所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。,起点: kg=0时根轨迹上所对应的点称为根轨迹 的起点，起点在复平面上用“”表示。,4.根轨迹的起点和终点,起点：对应n个开环极点 pj 终点：对应m个开环零点zi,终点: kg=时根轨迹上所对应的点称为根轨迹 的终点。终点在复平面上用“”表示。,1）当 时，要使方程成立，必有即，根轨迹的起点对应n个开环极点。,证明: 根轨迹的模值条件：,起点：对应n个开环极点 pj；终点：对应m个开环零点zi,2）当 时，要使方程成立，必有即，根轨迹的起点对应n个开环极点。,另(n-m)条？,3）若nm,另(n-m)条根轨迹的终点？,另(n-m)条根轨迹终于无穷远处,当 时，,时，左边=,若把有限数值零点称为有限零点，而把无穷远处的点称为无限零点，则可以说根轨迹必终于开环零点。,方程成立，即,同理，若mn, 则有(m-n)条根轨迹起于无穷远处。,例：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的起点和终点。,解：,1）m=2、n=3有3条根轨迹分支。,z1= -1+j, z2 = -1-j,j,1,-1,-1,-2,0,p1,p2,p3,z1,z2,p3= -2,p2= -1,p1= 0,2）起点：起于三个开环极点：,终点：m=2有两条趋于两个有限开环零点：,另一条趋于无穷远处。,p1,p2,p3,p4,z2,z1,s, 1, 2, 1, 2, 3, 4,各开环零、极点到s点的矢量如图：,在实轴上任取一点s，若该点是根轨迹上的点，则必满足相角条件，即,5、根轨迹在实轴上的分布,设系统开环零极点分布为：,共轭开环零、极点构成的相角正负抵消,1）由图可知：,2）位于s点左侧的实数零极点对应的相角为0o,3）位于s点右侧的实数零极点对应的相角为180o,因此，只有当s点右侧开环零极数之和为奇数时，才能满足相角条件，也就是说，只有这样的s点，才是根轨迹上的点。,结论：“奇是偶不是”,实轴上的根轨迹是： 右侧的开环零、极点数之和为奇数的区间。,例: 已知系统的开环传递函数， 试确定系统的根轨迹图。,1)开环零、极点分布,j,0,p1,右侧有一个开环极点,右侧有三个开环零极点,z1,p2,2) 实轴上根轨迹区间,3)系统的根轨迹图,解：（1）,和,右侧有一个开环极点,1)开环零、极点分布,右侧有一个开环极点,右侧有三个开环零极点,2) 实轴上根轨迹区间,3)系统的根轨迹图,解：（2）,和,j,0,p1,z1,p2,已知,1和p2为根轨迹 的起点,z1和-为根轨迹 的终点,6、根轨迹的渐近线,当nm时，有(n-m)条根轨迹趋于无穷远处。渐近线是s很大时的根轨迹，因此渐近线对称于实轴；根轨迹的渐近线可由下式确定：,1）渐近线与实轴的夹角：,2）渐近线与实轴的交点：,显然，渐近线对称于实轴或与实轴重合。,由,可知，渐近线与实轴的夹角只与(n-m)的值有关,例 已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图。,和,解：,1）开环零、极点：,2）实轴上的根轨迹区间,p1=0,p2=-2,p3=-3,3）根轨迹的渐近线：,600,j,0,p1,p3,p2,-1,-2,4）系统的根轨迹,7、根轨迹的分离点,由代数重根法则可知，重根点必须同时满足：,联立求解可得：,求重根点的方程,闭环特征方程：,即,两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。,注意： 若求出的点不在根轨迹上应该舍去。 将重根点坐标代入模值条件，可求得重根点处所对应的根轨迹增益。,则求重根点的方程为：,若开环传函,例 绘制根轨迹图。,解：,渐近线和实轴上的根轨迹如前所述,600,j,0,p1,p3,p2,-1,-2,根轨迹的分离点：,（舍去）,由,将d1代入模值条件,根轨迹图,若无开环零点，此项取0,例4-2 已知系统的开环传递函数 试确定统的根轨迹图。,解：,1）首先将开环传函化为标准形式,2）零极点分布及实轴上的根轨迹如图,4）分离点,3）渐近线,（舍去）,由求分离点的方程可得,5) 根轨迹,结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当Kg从0 时，根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。,8、根轨迹与虚轴的交点,设根轨迹与虚轴的交点为：,解方程可求得和kg的值，,即可确定根轨迹与虚轴的交点坐标及对应的临界根轨迹增益。,例 确定根轨迹与虚轴的交点坐标。,解：,600,j,0,-p1,-p3,-p2,-1,-2,系统的特征方程为,令s=j，代入特征方程得,或,方法二：应用劳斯判据,例：绘制根轨迹图,解：,将开环传函转换为零极点标准形式,1）n=3、m=0有三条根轨迹分支,三条都趋于无穷远处,终点：,3）实轴上的根轨迹,2）起点：对应三个开环极点,和,4）渐近线,0,-2,-5,5）分离点,（舍去）,或,7）根轨迹图,600,令s=j，代入特征方程得：,6）根轨迹与虚轴的交点,9、根轨迹的起始角和终止角,起始角：根轨迹离开复数极点的出发角（切线方向与正实轴的夹角）。,设开环零、极点分布如图所示：,p1,p2,p3,p4,z1,1,1,2,3,4,由相角条件可得起绐角的计算公式：,开环零点到被测点的矢量角,根轨迹离开复数极点pj的起始角,开环极点到被测点的矢量角,“加零去余极”,终止角：根轨迹趋于开环复数零点的终止角（切线方向与正实轴方向的夹角）,入射角的计算公式：,式中：,开环零点到被测点的矢量角,根轨迹趋于复数零点zc的终止角,开环极点到被测点的矢量角,“加极去余零”,j,0,-p1,-p2,-p3,-p4,-z1,-z2,9、根轨迹的起始角和终止角,例 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的起始角。,解：,j,0,1）开环零、极点分布,P3.4=-1j,z1=-2,p2=-3，,p1=0，,p1,p2,p3,p4,z1,2）根轨迹离开p3的起始角,同理：,试绘制出系统的根轨迹。 解：,例4-3 设负反馈系统的开环传递函数为,起始角,1,2,3,1,3,2,= 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79,=18011790+153+63.5+119+121=149.5,若 ，则开环极点之和等于闭环极点之和。,式中(韦达定理),10、根之和,证明：,闭环特征方程：,证毕,在开环极点确定的情况下，开环极点之和为一不变的常数。所以，当Kg变化时，若一些闭环极点增大，则另一些必然减小；即若一些根轨迹右移，则一些必然左移。 1）根的分量之和是一个与Kg 无关的常数； 2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。,即，开环极点之和等于闭环极点之和。,解：,例：设负反馈系统的开环传函,渐近线： a = 2 a = 45, 135,分离点： d =2 d =2 j2.453,与虚轴交点：Kg=260 s = j3.16,试绘制出系统的根轨迹。,4-3 广义根轨迹,广义根轨迹包括：0根轨迹（正反馈系统）、参数根轨迹等。,负反馈系统中，根轨迹增益Kg变化时的根轨迹，称为常规根轨迹。除Kg以外，其它参数变化时的根轨迹，称为参数根轨迹。,在控制系统中，除根轨迹增益Kg作为可变参数外，其他情形下的根轨迹，统称为广义根轨迹。,设系统的特征方程为：,所谓等效，是指 和 的闭环极点相同；根据等效开环传函，绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。,可变参数,将特征方程转换为根轨迹方程的标准形式：,令,等效开环传函,1. 参数根轨迹,解：系统的特征方程为,例：已知系统的开环传递函数， 试绘制系统的参数根轨迹。,将特征方程转换为根轨迹方程的标准形式为：,即,根据常规根轨迹的法则，可绘制出开环零点b由0变化时的参数根轨迹如图 。,等效开环传函,例：某负反馈系统的开环传函为,试绘制参数a由 变化时，系统的根轨迹。,等效开环传递函数为：,按绘制常规根轨迹的法则，可绘制出a 变化时系统的参数根轨迹。,解: 系统的闭环特征方程为：,渐近线：a= 1/3a= 600，-600，1800。,根轨迹与虚轴的交点: a =1 s = j/2,a ,j0.5 a = 1,分离点： d1= 1/6 , d2= 1/2。,a,解：取k=1，由,例：已知系统的开环传递函数， 试绘制系统的参数根轨迹。,化标准形式为：,等效开环传函,根据等效开环传函，可绘制出参数a由0变化时的参数根轨迹如图 。,k取不同的值，可绘制出参数a的参数根轨迹如图。,2. 附加开环零点的作用,已知,式中，z1为符加的开环实数零点，当开环极点位置不变时，试分析开环零点z1为不同的数值时，系统根轨迹的变化。,结论：,当开环极点位置不变时，在系统中附加开环负实数零点时，可使系统的根轨迹向s左半平面方向变曲；在s左半平面内的适当位置上附加开环零点，可显著改善系统的稳定性。,4.4 系统性能的根轨迹法分析,一、稳定性分析,根轨迹反映了特征根随可变参数变化的规律，通过根轨迹分析系统的性能具有直观方便的特点。闭环极点在s左、右平面的分布反映了系统的稳定性。根据根轨迹与虚轴的交点，可确定使系统稳定的参数的取值范围。 根轨迹在左平面且离虚轴越远，系统的稳定性越好，即稳定裕量越大。,由 表3-5，可求出给定输入下，系统稳态误差的形式及大小。,二、稳态误差分析,确定开环增益k,确定系统的型别,原点处的开环极点数即为系统的型别，即开环传函中积分环节的个数。,开环零、极点的负值,根轨迹增益,式中，,确定稳态误差,三、动态性能指标的分析,阶跃响应无超调,所有特征根都在负实轴上时，系统的瞬态响应过程不产生超调，系统的动态性能指标仅有调节时间。 调节时间的确定方法： 当参数取值一定时，所有特征根的位置随之确定，取离虚轴最近的特征根估算调节时间。 准确的调节时间还与其他零极点位置有关。,三、动态性能指标的分析,阶跃响应有超调,所有特征根位于左半s平面，且至少有一对根轨迹在复平面左半平面上，则系统的瞬态响应过程产生超调，系统的动态性能指标主要有调节时间、超调量、峰值时间等。近似的估算可以采用闭环主导极点的位置来确定。,若闭环主导极点为一对共轭复数极点，如图所示：,d,-n,j,0,s1,s2,-d,n,n,闭环极点的张角,特征根离虚轴越近，,动态性能与复数极点的关系,1）等超调量线,j,0,s1,阻尼比相同的复数极点位于同一对射线上。这样的射线称为等线，或等超调量线。,闭环极点与负实轴的夹角反映了系统的超调量。,特征根离虚轴越近，,反之则反，所以有,l%2%。,2）等调节时间线,j,0,s1,若特征根的实部相同，则调节时间相同。 实部相同的特征根，位于同一条垂线上，这样的垂线称为等调节时间线。 调节时间与特征根实部的绝对值成反比，所以有ts1ts2。,s2,3）等峰值时间线,若特征根的虚部相同，则峰值时间相同。 虚部相同的特征根位于同一条水平线上，这样的水平线称为等峰值时间线。 特征根虚部的绝对值与峰值时间成反比，所以有tp1tp2。,j,0,s1,s2,例：画出满足性能指标要求的标准二阶系统特征根在s平面的范围。要求：,j,0,s1,解(1)由,(2)由,(3)由,（1）闭环复数极点的实部n反映了 系统的调整时间；,（2）闭环极点的虚部d表征了系统输 出响应的振荡频率；,（3）闭环极点与坐标原点的距离n表 征了系统的无阻尼自然振荡频率；,当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。,四、已知性能指标确定闭环极点和Kg,采用根轨迹法分析系统性能，有时需要根据性能指标的要求，来确定闭环极点的位置和对应的Kg值，使得系统满足性能指标的要求。,要求,=0.5,，试确定闭环极点和对应的Kg。,例 已知单位反馈系统的开环传递函数:,系统的根轨迹图如图:,解：,j,0,-p1,-p2,-p3,-1,-2,-s1,-s2,作张角 的射线,与根轨迹的交点为-s1和-s2,要求,j,0,-p1,-p2,-p3,-1,-2,-s1,-s2,令,将s1代入相角条件得：,将s1代入幅值条件得：,由,同理可得：,j,0,-p1,-p2,-p3,-1,-2,-s3,-s1,-s2,系统的特征方程为：,因式分解可得：,展开：,（负的开环极点之积）,可得系统的传递函数为：,由：,j,0,-p1,-p2,-p3,-1,-2,-s3,-s1,-s2,五、增加开环零极点对系统性能的影响,由以上分析知，闭环特征根应该位于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。,（1）设二阶系统的开环传递函数为,1. 增加开环零点,系统的根轨迹图如图:,j,0,-p1,-p2,-1,不管怎么选择kg 闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性.,-z1,-2,-s,-n,增加一个零点:,系统的根轨迹图为:,零点使根轨迹向左弯曲，选择适当kg值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离.,又可使角较小，以降低超调量。,增加合适的零点,可以减小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。,如果零点选择不合适，效果就完全不一样。设：,系统的根轨迹图如图:,j,0,-p1,-z1,-0.5,-p2,-1,不管怎么选择kg，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在00.5之间，系统的调节时间不可能缩短。,（2）设三阶系统的开环传递函数为,系统的根轨迹图如图:,j,0,p1,p2,p3,-5,增加零点后:,z1,-2,系统的根轨迹图:,加了零点后根轨迹的渐近线位于s左半平面， 系统由不稳定变成稳定。,如果增加零点后:,系统的根轨迹图:,z1,-10,根轨迹的渐近线位于S右半平面，系统仍然不稳定.,2增加开环极点,设二阶系统的开环传递函数为,系统的根轨迹图:,j,0,-p1,-p2,-z1,1）增加一个极点-p=-6,-p3,系统的根轨迹图:,2）增加一个极点-p=-2,系统的根轨迹图:,p3,开环传函中增加极点，系统的根轨迹向右弯曲，系统的稳定性变差。,3）增加一个极点-p=-0.5,系统的根轨迹图:,p3,所增加极点的模值越小，根轨迹向右弯曲趋势越明显，对系统稳定性的影响也就越大。,