化工传递工程;第七章 热传导课件.ppt

1,化工传递过程基础,2,第七章 热 传 导 热传导(导热)是介质内无宏观运动时的传热现象，导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于此，本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。 描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如式(6-17a)所示，即,3,式(6-17a)在不同坐标系的一般形式为,直角坐标,柱坐标,球坐标,(7-1),(7-3),(7-2),4,求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度t与时间 及位置(z，y，z)的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布(温度场)，所得的解为t=f(x，y，z)，它不但要满足式(7-1)或式(7-2)、式(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。 上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算等方法进行求解。本章将主要针对以直角坐标系和柱坐标系表达的某些简单的工程实际导热问题的求解方法进行研究。,5,第一节 稳态热传导 一、无内热源的一维稳态热传导 对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间无关， ，且无内热源， 。又设沿x或r方向进行一维导热，则热传导方程(7-1)、(7-2)、(7-3)可简化为一维的拉普拉斯方程，即直角坐标,柱坐标,6,球坐标 工程上一维(沿x或r方向)稳态热传导的例子很多，如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器的管壁以及球形压力容器的器壁等。,(一)单层平壁一维稳态热传导 单层平壁(如方形燃烧炉的炉壁)沿一个方向的导热问题是最简单的热传导问题，当导热系数k 为常数时，式(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即,设边界条件为,7,将式(7-7)积分两次，可得,式中， 为积分常数，代人边界条件(1)，可求出 ；代入边界条件(2),可求出 。将 代入式(7-7)，即可得到此情况下的温度分布方程为,由式(7-8)可知,平壁稳态热传导过程的温度分布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出,求出温度分布之后，便可进一步求出沿x方向通过平壁的导热通量。根据傅立叶定律,通过某x处的导热通量q/A 可表示为,8,将式(7-8)对x求导后代入上式，得,9,(二)单层筒壁的稳态热传导 化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便，若筒壁的长度很长，Lr，则沿轴向的导热可略去不计，于是可认为温度仅沿径向变化，在此情况下，描述无内热源的一维稳态热传导方程为式(7-5)，即 设边界条件为,10,将式(7-5)积分两次，可得式中，C1、C2为积分常数，经向该式代人边界条件(1)和(2)后，可得,将C1、C2代人式(7-11) ，即可得到沿筒壁径向一维稳态导热时的温度分布方程为,(7-12),11,上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是r的对数函数。 通过半径为r的筒壁处的传热速率或热通量，可由柱坐标系的傅立叶定律导出即,式中，q和qAr分别为半径r处的导热速率和热通量；Ar为该处的导热面积，Ar=2丌rL，其中L为筒壁的长度； 为该处的温度梯度。将式(7-12)对r求导并代入式(7-13)和式(7-13a)可得,(7-13),12,式(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸式表明，尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半径r而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即,式(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即,将式(7-17)与式(7-14)对比，可知,(7-15),(7-17),13,式中 简壁的对数平均半径； 筒壁的对数平均面积。 应予指出，当 2时，上述各式中的对数平均值可用算术平均值代替。 通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则由式(7-14)可得,14,以上均假定导热系数k为与温度无关的常数。当k为温度t的线性函数时，上述各式中的导热系数k可采用 、 算术平均温度下的值 来代替。,二、有内热源的一维稳态热传导 有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。若柱体很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，此时，柱坐标下的能量方程式(7-2)可化为,15,式(7-19)系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态热传导时的微分方程。若内热源均匀，则 为常数。 结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为此，将式(7-19)进行第一次积分，得再积分一次，又得 式中， 为积分常数，可根据两个边界条件确定，具体方法参见例7-1和例7-2。,16,例7-1 有一半径为R，长度为L的实心圆柱体，其发热 速率为 ，圆柱体的表面温度为 ，LR，温度仅为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导热系数k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值。 解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为,依题意，设边界条件为,17,边界条件(2)表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速率必等于表面热损失速率。 由边界条件(2)可得,将上式代入式(7-20)中，并取r=R，得故 将Cl=0及边界条件(1)代人式(7-21)中，得故,18,最后解出温度分布为由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处，即,上式亦可写成无因次形式，即,(上两式相比),19,【例7-2】 有一外径为4cm、内径为1.5 cm、载有电流密度I为5000 A 的内冷钢制导体。导体单位时间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面的温度为70。假定外壁面完全绝热。试确定导体内部的温度分布并求算导体内部最高温度处的温度值。 已知钢的热传导系数k=380 w(mK) 电阻率,解：由式(7-21)出发，求出导体内部的温度分布。为此首先求出 、 、 各值。,根据题意，可知本题的两个边界条件为,20,将边界条件(2)代人式(720)中，得,由此得,再将边界条件(1)代入式(7-21)中，得,解之得,21,将C1、C2代入式(7-21)中，即可求出导体内部的温度分布方程为或最高温度发生在外壁面处，该处r2=2cm =0.02 m，故,22,三、二维稳态热传导 上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个空间坐标的函数来表示，但工程中还常遇到二维或三维稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简单时，才有可能应用分析解法，但求解过程相当麻烦，结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至根本不能得到分析解，此时，解决问题最有效的方法是数值计算法，这种方法有许多优越性，特别是计算机的迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问题得到数值解。下面以无内热源的二维稳态热传导为例，说明数值计算法的应用。,23,(一)物体内部的结点温度方程 无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二维的拉普拉斯方程描述，即,根据上式求出的温度分布t=f(z，y)为一连续曲面，数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，从而求出温度分布。 如图7-1所示，将物体分割成若干个由x、y组成的小方格，分割线的交点称为结点，x及y的长度视对计算精度的要求选取，x或y越小，所得结果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就越大。,24,25,温度梯度可以写为,26,由此，可将式(7-22)近似地写成差分形式，即,令x=y，上式化为,(7-23),27,式(7-23)称为物体内部的结点温度分布方程，它表达任一结点(i，j)的温度ti,j与邻近四个结点温度之间的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部某结点的温度可用邻近四个结点温度的算术平均值表示。显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻的四个结点的温度按式(7-23)的形式联系起来，便可建立物体内部的结点温度方程组。,(二)物体边界上的结点温度方程 处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度就不能应用式(7-23)来表达，而要根据具体情况来建立。,28,简单的边界情况如图7-2(a)(d)所示，图7-2(a)为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时，均取垂直纸面的距离为单位长度。 1绝热边界,29,30,如图7-2(a)所示，对虚线包围的微元体作热量衡算,得,令x=y，则上式化为,2对流边界,如图7-2(b)所示，设周围流体主体温度为tb且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为h，亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量衡算，可得,31,令x=y，则上式化为,同理可求得图7-2(c)中对流边界上的外角结点(i,j)的结点温度方程为,及图 7-2(d)中对流边界上的内角结点(i,j)的结点温度方程为,32,(三)二维稳态温度场的结点温度方程组 式(7-23)、(7-24)表达了无内热源二维稳态温度场中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割线的交点统一编号，i=l，2，3，n，然后根据每个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温度场的结点温度方程组，即,33,式中， 和 (i,j=1，2，n)均为常数； (i=1，2，n)为未知温度，式(7-25)为线性方程组，共有n个方程,未知温度亦为n个，求解此方程组即可得出 的数值，于是整个温度场即可解出。,【例7-3】如附图所示，某一边长为1m的正方形物体，左侧面恒温为100，顶面恒温为500，其余两侧面暴露在对流环境中，环境温度为100。已知物体导热系数为l0(m)，物体与环境的对流传热系数为10 W/( )，试建立19各结点的温度方程组并求出各点的温度值。,求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法,迭代法 和高斯消去法等。,34,(1)建立结点温度方程组 由于内部和边界上的结点温度方程不同，今以内部结点1及边界上的结点3、9为代表建立各结点温度方程。 对于结点l，应用式(7-24a)，得,结点3为一般对流边界上的点，应用式(7-24b)得,35,36,代人数据，得,结点9为对流边界外角上的点，应用式(7-24c)得,代人数据，得,其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后得l9各点的结点温度方程组为,37,38,(2)各点的温度数值的计算结果 采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得(),39,第二节 不稳态热传导 物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳态导热。在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题，例如燃烧炉的点火升温过程和熄火降温过程、金属的熔化、淬火等热加工处理均为不稳态导热。此外有些稳态导热问题，在其初始阶段也常存在不稳态导热过程，如燃烧炉的点火阶段即是如此。 由于不稳态导热过程中的温度既与时间有关又与位置有关，故其求解要较稳态导热问题复杂得多。通常求解不稳态导热问题时，需应用热传导方程(7-1)、(7-2)或(7-3)，并需满足具体的初始条件及边界条件。通过求解满足这些定解条件的偏微分方程，求得温度分布随时间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。,40,初始条件是指在导热过程开始的瞬时，物体内部的温度分布情况。边界条件视具体情况一般可分为三类：第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布；第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通量；第三类边界条件是物体端面与周围流体介质进行热交换，端而处的导热速率等于端面与流体之间对流传热速率。 不稳态导热过程中的传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻，根据它们的相对大小不稳态导热过程可以分为三种情况，即忽略内部热阻、忽略表面热阻和两种热阻都不能忽略。,41,一、忽略内部热阻的不稳态导热与集总热容法 内部热阻可忽略的不稳态导热问题是一种最简单的不稳态导热问题，若固体的导热系数很大或内热阻很小，而环境流体与该固体表面之间的对流传热热阻又比较大时，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致。这种假设物体内部热阻与外部热阻相比，可忽略不计的一种分析方法称为集总热容法。 例如有一个热的金属小球，被浸泡在冷的油类或其他流体中(参见图7-3)，显然小球的温度分布除与其材质的导热系数有关外，还和小球表面与周围流体的对流传热系数有关。假定小球导热良好，其导热热阻比表面对流热阻小得多，则主要的温度梯度将产生于小球表面的流体层内，而小球本身的温度在任一瞬时,42,43,均可认为是均匀一致的。,设金属球的密度为 ，比热容为c，体积为V，表面积为A，初始温度均匀，为 ，环境流体的主体温度恒定，为 。流体与金属球表面的对流传热系数为h，且不随时间而变。又设在 时间内，金属球的温度变化为dt。根据热量衡算，整个金属球的放热速率应等于其表面与流体间的对流传热速率，即,初始条件为,44,式中，t为任一瞬时金属球表面的温度，由于金属球的内热阻可以忽略不计，故金属球各点的温度均为t0式中的“负”号表示球内的温度随时间而降低。由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，因此不存在边界条件。 令 ，则式(7-26)可化为,初始条件为,积分式(7-27)得,45,或,式(7-28)即为忽略物体内热阻情况下，物体温度与时间的定量关系式。 式(7-28)中右侧指数中的量还可以写成如下形式,式(7-29)右侧的两个数群都是无因次的，现在对该二数群的物理意义作进一步分析。,(7-28),46,第一个数群 称为毕渥数，记为Bi，即,由于毕渥数中的VA具有长度因次(以 表示)，故毕渥数的物理意义为,即毕渥数表示了物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。Bi值大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度，此时系统的传热不能采用集总热容法处理；反之Bi值小时，则表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热,(7-30),47,阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度较为均匀。研究表明，当Bi0.1时，系统的传热可采用集总热容法处理，此时用式(7-28)计算物体温度与时间的关系，其结果与实际比较，误差不超过5。因此，求解不稳态传热问题时，首先要计算Bi的值，视其是否小于0.1，以便确定该传热问题能否采用集总热容法处理。,第二个数群 称为“傅立叶数”，记为F0，即,傅立叶数的物理意义表示时间之比，即无因次时间。 将式(7-30)、(7-31)代入式(7-28)中，得,(7-31),48,【例7-4】 有一半径r0为25 mm的钢球，初始温度均匀，为700 K，突然将此球放入某流体介质中，介质的温度恒定，为400 K。假定钢球表面与流体之间的对流传热系数为h=11.36 w ，且不随温度而变。钢球的物性值为：导热系数k=43.3 w(mK)密度 ，比热容c=0.46 kJ(kgK)。试计算1小时后钢球的温度。,解：由于h值较小，k值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算Bi数。,49,50,故,故可用式(7-28)计算l小时后钢球的温度。,式中代人式(7-28)中，得即,51,二、忽略表面热阻的不稳态导热 忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比内热阻小的时候，即Bi0.1时，由于表面热阻可略，故表面温度 0 的所有时间内均为一个常数，其数值基本上等于环境温度。此类过程中以半无限大固体的不稳态导热和大平板的不稳态导热问题最为典型，现分述如下。 (一)半无限大固体的不稳态导热 如图7-4所示，有一半无限大固体，其左端平面位于yoz平面上，右端为无限。该物体可以是无限厚的平板或无限长的固体等。在导热开始时，物体的初始温度为t0，然后突然将左端面的温度变为ts，且维持不变。假设除物体的左右两端面外，其他表面均绝热。,52,53,由于右端面在无穷远处，故其温度在整个过程中均维持导热开始时的初始温度t0不变。,实际上遇到的物体不会是无限厚或无限长，但相当厚(如某些墙壁)或相当长的柱体(如长棒)可近似地视为无限厚或无限长的固体，此时，可将这类物体的导热问题视为只沿x方向进行的一维导热问题处理。 上述情况下的热传导方程可写为,初始条件和边界条件为,(7-33),54,上述定解问题可采用拉普拉斯变换法和合成变量法两种方法求解，本书仅介绍后一种求解方法。 合成变量法是求解偏微分方程常用的一种方法，适用于可将两个定解条件合并为一个定解条件的定解问题。此时通过引入包含两个原变量的新变量，而将原来的偏微分方程化为常微分方程，从而降低方程求解的难度。 为了将式(7-33)化为常微分方程，首先引入一个与位置、时间有关的新变量 ，令,于是可写出,(7-35),55,将式(7-35)和(7-36)代人式(7-33)中，得,或,(7-36),56,式(7-37)中的自变量仅有一个 ，于是可将该式写成常微分方程形式，即,由此可见，向原偏微分方程(7-33)引入一个新的自变量 后，便可将其化为容易求解的常微分方程(7-38)。 常微分方程(7-38)对应的初始条件和边界条件为,为求解上述定解问题，令,(7-38),57,将式(7-39)代人式(7-38)中，得,将式(7-40)分离变量并积分得,将上式积分得,58,式(7-42)中的C1、C2为积分常数，可根据定解条件(1)、(2)确定。将定解条件(2)代入式(7-42)中，得,故得,再将定解条件(1)和C2值代人式(7-42)中，得,故得,59,将Cl和C2值代人式(7-42)中，得,或,式(7-44)中的erf( )或erf( )称为高斯误差积分或误差函数，即,(7-44),60,erf( )与 的对应值可由附录B中查得，也可由有关数学于册查得。 式(7-44)即为半无限固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分布方程，式中 可视为在 瞬时物体某一位置x处的温度t与左端面温度ts之差与最大温度差之比。图7-5(a)是冷却过程的情况，物体的初始温度为t0，左端面突然降温至ts，故tst0，最大温度差为(ts-t0)，其中(ts-t)表示在 瞬时物体端面温度ts与某一位置x处的温度t之差。,61,62,当 时，表示物体某位置x处的温度已经冷却或加热到了左端面的温度ts，此时由式(7-44)知,由附录B中查得,由于x为一有限值，故有 ，即需要无限长时间物体各处(除左端面外)才能达到左端面的温度ts。但实际情况是，经过某一足够长的时间之后，t开始以渐近的方式趋近于ts。,63,下面应用温度分布方程和傅立叶定律计算半无限固体不稳态导热时的热流速率。 半无限大物体的初始温度为t0，当其左端面温度突然变为ts且维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可根据傅立叶定律计算。设左端面的面积为A，则瞬时的导热通量 为,式(7-45)中的偏导 可分别由式(7-43)和式(7-34)计算，即,(7-45),64,及,故,将上式代人式(7-45)中，得,65,将上式积分，得,式(7-46)即为不稳态导热过程中，瞬时通过x =0平面的热通量表达式。在0 时间内通过x =0平面的总热量Q0为,对于半无限固体不稳态导热实际应用的实例有：地面气温突然变化时土壤温度随之变化的问题；大建筑物表面温度变化时内部温度随之变化的问题；大块钢锭的热处理问题等等。,66,【例7-5】 有一块具有两平行端面的长铝板，除两端面外，铝板周围绝热，初始温度均匀，为200。突然将铝板的一个端面的温度降至70并维持不变。试求 (1)距降温面4cm处的温度降至120时所需的时间； (2)在上述时间范围内通过单位端面积的总热量。 已知铝板的导热系数为215 W(mK)， 导温系数 。 解：本题为半无限固体的冷却问题，可应用式(7-44)和(7-47)求解。由题设：t0=200，ts=70，x=0.04 m，t=120由式(7-44)，得,67,此情况下通过单位端面积的总热量可由式(7-47)计算，即,故,由附录中查得,即,故得,68,(二)两个端面均维持恒定温度的大平板的不稳态导热 具有两个平行端面的大平板中的导热问题，可视为一维导热问题处理。在此情况下，假定除垂直于平板两端面的方向外，其他侧面上所传导的热量均可忽略不计。例如侧面方向为无限大的扁平板或侧面虽不很大，但绝热良好的薄平板、短棒条等均属于此类。对这类导热问题，常见的边界条件有两类：一类是两个端面均维持恒定温度，属于第一类边界条件；另一类是两个端而与周围流体介质进行热交换，属于第三类边界条件。本节首先对平板两端面维持恒定的条件即第一类边界条件进行研究，至于具有第三类边界条件的导热问题，将在下一节讨论。,69,70,上面已经假定两个端面相互平行，设其间距为2L，平板的初始温度各处均匀为t0。现令两个端面的温度突然变为ts，且在整个导热过程中维持不变。 此类导热问题的热传导方程仍为式(7-33)。为了使该方程的求解过程简化，可取平板的一半进行研究。由于大平板的温度分布在中心面两附侧完全对称，故可将板的中心定为坐标原点，如图76所示。于足热传导方程及相应的初始条件和边界条件为,初始条件边界条件,71,边界条件 是由于平板内的温度分布沿中心面对称之故。 在满足上述初始条件及边界条件的情况下，可采用分离变量法求解热传导方程(7-33)。 为了使求解过程简化，首先将边界条件齐次化。为此，引人无因次温度 、无因次长度 及无因次时间(傅立叶数) 来分别代替温度t，长度x和时间 ，它们的定义分别为,72,将式(7-48)、(7-49)和(7-50)代人式(7-33)中，得,相应的定解条件变为,式(7-51)中的 和 为自变量，而 为函数。,式(7-51)为线性齐次偏微分方程，可采用分离变量法求解，为此将两个自变量的函数 ( ， )表示为两个函数X( )和Y( )的乘积，即,73,式(7-52)中的X( )仅为 的函数，与 无关；而Y( )仅为 的函数，与 无关，于是可写出如下两个方程，即,将上二式代人式(7-51)中，得,上式分离变量，得,74,式(7-53)中等号左侧的函数仅与 有关，而右侧的函数仅与 有关，故上式的左右两侧只有同时等于某一个常数时，该式才能成立，即,由数学分析可知，只有当上式中的常数小于零时，该式才可能有满足定界条件的非零解，故将该式的常数值设为( )，于是式(7-54)可以改写成如下两个常微分方程，即,分别对上两式求解，可得,75,将式(7-57)、(7-58)代入式(7-52)中，即可求 得 的解为,或,式中的A=C1C3，B=C2C3。 为特征值，A、B为积分常数，它们可以利用定解条件(1)、(2)、(3)确定。 首先应用边界条件(3)， ，为了利用此条件，可将式(7-59)对 求导数，即,(7-59),76,将边界条件(3)代入式(7-60)中，得,于是式(7-59)变为,由于 ,故,下而再将边条件(2),即 代入式(7-62)中,得,为了使式(7-51)有非零的特解，式(7-59)中的常数A和B不能同时为零，由于已经有A=0，故B0，则由式(7-63)可得,77,由式(7-64)可知，特征值 可以有无限多个，即,将式(7-65)中的 值代入式(7-62)中，得,式(7-66)为式(7-51)的一个特解，由于式(7-51)的线性齐次性，故其通解应为所有特解的线性组合，即,78,最后将初始条件(1)，即 代入上式，即可求出常数Bi，即,上式为一傅立叶级数，Bi为傅氏系数，由正交性原理可得,将上式积分得,解之得,79,将Bi值代人式(7-67)中，最后可得 的表达式为,或,式(7-71)即为式(7-33)的解，它同时满足定解条件(1)、(2)、(3)。该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布。应用上式可由给定的时间和位置定出 ，然后通过该式计算 ，最后即可得到给定时间和给定位置条件下的温度t值。,80,【例7-6】一块厚度为13 mm的钢板，其初始温度均匀，为35。现突然将其置于某介质中，使其两端温度骤然升至146，并维持此温度不变。试求钢板中心面温度上升至145时所经历的时间。已知钢的导温系数为 。 解：设平板中心面处的温度为tc，在该处，x=0或 ，故式(7-71)可化简为,依题意,故得,81,欲从上式解出 ，须先求解 。采用迭代法，作为第一次近似，仅取右侧级数的第一项，经计算得,故得,然后再验算级数中第二项以后的各项是否能够忽略不计。当F0=2.006时，级数为,由上式可以看出本题条件下该级数收敛很快，故仅取级数的第一项即可，上述计算结果正确。,82,三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时的 大平板的不稳态导热 上面讨论了两个端面温度均维持恒定时的大平板的不稳态导热问题，即第一类边界条件，本节讨论在工程实际中更为常见的两平板端面与周围介质有热交换时的不稳态导热问题。显然此类问题的边界条件属于第三类边界条件。 假定大平板的厚度为2L，其初始温度均匀为t0，然后突然将其置于主体温度为tb的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数h为已知。热流沿x方向，亦即沿垂直于两端面的方向进行流动。在此情况下的热传导方程仍为式(7-33)，即,83,84,初始条件和边界条件为,边界条件中的 为任一瞬时平板表面的温度，此温度随时间而变； 为流体介质的主体温度，假定为恒定值。采用分离变量法对上述热传导方程求解并使其满足定解条件(1)、(2)、(3)，结果为,85,式中， 为特征值，通过下式确定,通常将特征值 以 表示，即,将上式代人式(7-72)中，最后得温度分布方程为,式(7-75)表述了大平板两端面与周围介质有热交换时平板内部的温度随时间的变化规律，式中的 值通过式(7-73)和(7-74)确定。,(7-73),(7-74),(7-75),86,在工程实际中，应用式(7-75)计算t与x、 的关系相当麻烦，一般采用如图7-7所示的简易图算法。该图是将式(7-75)无因次化后绘制而成。图中的四个无因次数群为无因次温度,相对热阻,无因次时间,相对位置,87,上面四个无因次数群中各物理量的含义如下： 物体的初始温度； 周围流体介质的温度，为恒定值； 某一瞬时、某一位置处的温度； 物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数； 分别为物体的导热系数和导温系数；,平板的半厚度或由绝热面算起的厚度相当 于式(7-75)或图7-6中的 值； 菜一瞬时由平板中心面或绝热面至某点的距离。,88,图7-7适用于平板的一维导热计算。这种简易图算法也可以推广至圆柱体和球体。图7-8、图7-9分别为具有第三类边界条件的长圆柱体和球体不稳态导热的简易算图，在应用这些算图时，注意x1表示圆柱的半径或球体的半径，x为由柱体中心或球心到某点的径向距离，其他符号的含义与图7-7的相同。,图7-7、图7-8和图7-9的应用条件是物体内部无热源、一维不稳态导热，物体的初始温度均匀为t0，物体的导热系数k为常数，第三类边界条件，物体界面温度随时间而变，但流体介质的主体温度tb为恒定值。,89,90,91,92,【例7-7】一厚度为46.2 mm、温度为278 K的方块奶油由冷藏室移至298 K的环境中，奶油盛于容器中，除顶面与环境直接接触外，各侧面和底面均包在容器之内。设容器为绝热体。试计算5小时后奶油顶面、中心面及底面处的温度。 已知奶油的导热系数k、比热容c、密度 分别为0.197 w(mK),2300 J(kgK)，998 ，奶油表面与环境之间的对流传热系数h为8.52 。,解：本问题属于平板一维不稳态导热问题，可采用简易图算法求解。由于底面绝热故x1为奶油的厚度，即,93,对于顶面,由图7-7查得,即,故得,94,对于中心面,由图7-7查得,故得,对于底面,由图7-7查得,故得,95,四、多维不稳态导热 上面讨论不稳态导热的分析解时，仅局限于一维问题，但是在许多工程实际问题中，常遇到的是二维或三维不稳态导热。多维不稳态导热分析求解过程及结果非常复杂，在此不准备作详细讨沦。下面仅简单地讨论如何将一维分析解推广到二维和三维导热的问题。此种处理问题的方法称为牛曼法则。,图7-10中示出一平板，其z方向为无限大，x和y方向上的长度分别为2xl、2y1。物体的导热系数为k，初始温度均匀，为t0，现骤然将其置于主体温度为tb的流体介质中，物体各表面与介质间的对流传热系数为h。此情况的导热为二维(z，y方向)的不稳态导热，并属于第三类边界条件。,96,97,该物体在时间 、位置(x，y)处的无因次温度 (z，y， )，经过分析和推导，可以用下式表示，即,式(7-80)中的 、 分别为沿x和y方向进行一维不稳态导热时的无因次温度。上式表明，二维不稳态导热问题可化为两个一维不稳态导热问题处理，二维不稳态导热时的无因次温度可以用两个一维不稳态导热的无因次温度的乘积表示。而 或 则可由式(7-75)或图7-7计算。,98,上述原理亦可以推广到三维不稳态导热问题中。如图7-11所示的边长为2x1、2y1、2zl的长方体，它沿x、y 、 z三个方向进行不稳态导热时，任意位置(x，y，z)处，在某时刻 的温度可用下式表示，即,其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长圆柱体等适当组合而成。然后将物体的二维或三维导热问题化为两个或三个一维导热问题处理，而这些一维导热的解的乘积即为该物体多维导热问题的解。例如上面讨论的边长为2x1、2y1、2zl的长方体，即可视为各为2x1、2yl、2zl的大平板相互切割而成。故其无因次温度分布可根据式(7-81)求得。,99,100,101,又如图7-12所示的半径为rl，高度为2x1的短圆柱体，可视为由无限长的圆柱与无限大的平板垂直切割而成。在某时刻 ，某位置(x，r)处的温度可采用下式计算，即,式(7-80)、式(7-81)、式(7-82)中的一维不稳态导热的无因次温度， 可利用简易算图7-7查算,而 则可利用图7-8查算。,【例7-8】 直径为40 cm、长度为40 cm，的圆柱形铝棒，初始温度均匀，为200。将此铝棒置于温度为70的环境中，若圆柱体表面与环境介质之间的对流传热系数为h=535 ，试求10分钟后距一端面4 cm远、径向距离10 cm处的温度值。,102,已知铝的物性值为：导热系数k=215 w(mK)，导温系数。,解：此题为沿x和r方向的二维不稳态导热问题，短圆柱体内某点的瞬时温度可由式(7-82)求解，即 其中， 应用图77查算， 则应用图7-8查算。x方向,103,由图7-7查得,r方向,104,由图7-8查得,于是可得,即,故,105,五、一维不稳态导热的数值解 上面讨论的一些不稳态导热问题的分析解法，都是针对较简单的边界条件和初始条件而言的，但求解过程与结果表达式还是相当复杂的。对于非规则的边界条件或初始温度分布(环境温度、表面传热速率)不均匀的情形，应用分析解法就更加困难甚至不可能，但此时可通过数值法来求解。 不稳态导热的数值法可以列举图7-13所示的物体沿 x方向进行一维导热的简单例子说明之。 上述物体的初始温度为t0，然后将其左侧平面置于温度为tb的对流环境中，右侧平面绝热。描述此不稳态导热的微分方程仍为式(7-33)，即,106,107,为了采用数值法求解上述方程，可将该方程写成差分方程形式。为此，将物体分割成相距为 的若干等份，并参照第七章第一节中稳态导热数值解的处理方法，在物体内部任一平面i处附近，将式(7-33)中右侧的二阶导数化为下式，即,式中 ，为与点i相距 长度的左侧及右侧两点的温度。 又将式(7-33)左侧的导数写成差分形式为,式中 所选取的时间间隔； 某点i处在 瞬时和 ( )瞬时的温度,108,将式(7-83)、式(7-84)代人式(7-33)中，可得物体内部不稳态导热时的结点温度方程为,或,式(7-86)中的 和 为计算时所选用的距离间隔和时间间隔，其大小可以根据精度的要求确定。一般来说，精度要求愈高，则选取的 或 就越小，相应的所需的计算也就越大。为了使计算过程简化，可令,(7-86),109,将式(7-87)代入式(7-86)中即可得物体内部进行不稳态导热时的简化结点温度方程，即,式(7-88)表明，物体内部任意一点i处在( )瞬时的温度，等于与其相邻两点在 瞬时温度的算术平均值。计算时， 和 不能同时独立选取，而是根据精度的要求先选定其一，然后再应用式(7-87)决定另一个量的值。 物体左右两侧表面的结点温度方程，可通过热量衡算求出。,110,如图7-13所示，取平面1和平面2之间物体的一半(左侧剖面线范围)作为热量衡算的对象。在 时间内，进入控制体的热最减去由此控制体导出的热量应等于此控制体累积的热量。经由平面l进入的热量是以对流传热方式进入，故为 式中， h为对流传热系数；A为导热面积；tb为流体主体温度；t1为物体表面l的温度。,时间内，经由衡算范围的右侧平面(位于点1.5处的平面)移出的热量系以导热方式传出故为,111,物块在 时间内积累的热最为,式中， 和 分别表示衡算范围的物块中心面在 和 时刻的温度。由于这两个温度与平面1的两瞬时温度 和 相接近，亦即,于是由热量衡算可得如下的近似关系式，即,将 的关系代人卜式，经整理后，得,112,式(7-89)即为不稳态导热时对流边界的结点温度方程。 对于右侧为绝热边界的结点温度方程亦可采用类似方法求出。如图7-13所示，取平面(n-1)和平面n之间的半个物块(右侧剖面线范围)作为热量衡算的对象，同样，在 时间内进入控制体的热量减去由此范围移出的热量应等于此控制体累积的热最。进入的热最量通过虚线面 (位于n-0.5处的平面)以导热的方式进入的，即,由于边界面(n处的平面)绝热，故移出的热量为零。l累积的热量为,113,式中， 和 分别表示物块中心面在 和( )时刻的温度。由于这两个温度与平面n的瞬时温度 和 接近，即,将 的关系代人上式，经整理后得,故热量衡算式为,114,【例7-9】某厚度为0.305 m的固体平板，初始温度均匀为100。突然将其左侧面置于0的流体介质中。由于对流热阻很小，可认为 ，故固体左侧面的温度在传热过程中可维持0。物体的右侧面绝热。试应用数值法计算该物体经历0.6小时后的温度分布。已知物体的导温系数,式(7-90)即为不稳态导热时绝热边界的结点温度方程。由该式可以看出，绝热边界经历 时间之后的温度等于物体内距离边界面为 的面上未经历 时间以前的温度。,解：应用数值解法，将物体的厚度分为5等份，则,115,取,故,即时间间隔为0.1 h，则0.6 h内计算的时间次数为0.60.1=6(次) 当 =0时，平面2至平面6各面的温度均为100，即,由于左侧面与流体接触，故开始时它的温度不等于100，为了使计算精确度提高，可令该侧面温度t1为流体温度与物体初始温度的平均值，即,116,边界情况( 0)如下 已知左侧面(i=1)的温度在传热过程中维持0，即右侧面(i=6)绝热，由式(7-90)可知物体内部各点的温度可利用式(7-88)计算，即计算结果列于下表，其中最后一次计算所得的温度值为 =0.6 h时物体内部各平面的温度值。,117,118,第七章 热传导,本章讨论固体内部的导热问题，重点介绍热传导方程的求解方法，并结合实际情况，探讨导热理论在工程实际中的应用。,119,7.1 稳态热传导,一、无内热源的一维稳态热传导,二、有内热源的一维稳态热传导,三、二维稳态热传导（自学）,第七章 热传导,120,厚度为 b 的大平壁，一侧温度为t1，另一侧温度为t2，且t1 t2，沿平壁厚度方向（ x 方向）进行一维稳态导热。,示例,工业燃烧炉的炉壁传热； 居民住宅的墙壁传热。,1.单层平壁一维稳态热传导,一、无内热源的一维稳态热传导,121,导热微分方程的化简：,化简得,一、无内热源的一维稳态热传导,122,第类边界条件,一、无内热源的一维稳态热传导,123,边界条件分类：,第类B.C.：绝热边界，指壁面处热通量为零：,第类B.C.：恒温边界，指壁面温度已知，,第类B.C.：对流边界，指壁面处对流换热已知：,一、无内热源的一维稳态热传导,124,（1）温度分布方程