单相交流电路课件.ppt

单 相 交 流 电 路,电压、电流的大小和方向不随时间变化的，被称为直流电（DC），函数波形如图2.1所示。把电压、电流的大小和方向随时间按正弦规律变化的称为正弦交流电，简称交流电（AC），函数波形如图2.2所示。,图2.1,图2.2,本 章 内 容,1.1 交流电的基本概念2.2交流电的相量表示3.3 单一参数的交流电路,1.1 交流电的基本概念,一般把这些按正弦规律变化的电压和电流统称为正弦量。如图1-1所示，要确切描述一个正弦量，需要三个参数，电路中把它们称为频率、幅值和初相位，我们把这三个参数也统称为正弦交流电的三要素。,1.1 正弦交流电三要素,图1-1,（1） 频率、周期和角频率正弦量完成一个循环所需要的时间，称为周期，用T表示，单位为秒（s）。把每秒完成循环的次数，称为频率，用f表示，单位为赫（Hz）。根据定义可知，频率f与周期T的关系为 角频率是指正弦量在一秒内转动的弧度数，单位为弧度/秒（rad/s）。根据定义，有,【例1.1】我国的工业频率为50Hz,那么它的周期等于多少？角频率等于多少？【解】T=1/f=1/50=0.02s=2f=23.1450=314rad/s,(2) 幅值正弦量的时域函数能表示出它的瞬时值，电路中规定用小写字母表示，如电流、电压和电动势的瞬时值分别用i、u和e表示。我们把瞬时值中最大的数值称为最大值，也称幅值，用带有下标（m）的大写字母表示，如电流、电压和电动势的最大值分别用Im、Um和Em表示。,（3） 相位、初相位和相位差 例如，正弦交流电流可用三角函数式表示。即i=Imsint显然它的初始值为零，即：i (t=0) =0正弦交流电压也可用三角函数式表示，即：u=Umsin (t+)显然它的初始值不等于零,即u (t=0) =Umsin,为了与空间角相区别,把t+称为正弦量的相位,它是随时间变化的量,反映正弦量的变化进程。把t=0时的相位称为初相位，简称初相，它反映计时起点的正弦量的值。我们把两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差，称为相位差，用表示。对于上面两个正弦量，电压u和电流i的相位差为：=(t+u)-(t+i)=u-i,当0，如图2.4所示，电压的相位超前电流的相位，说明电压比电流先达到正的最大值；反过来说,电流滞后电压角。 当=0，如图2.5所示，说明电压与电流同时达到正的最大值，这种情况被称为同相。 当=，如图2.6所示，电压达到正的最大值时电流达到负的最大值，这种情况被称为反相。当=/2，如图2.7所示，电压比电流超前/2达到正的最大值，这种情况被称为正交。,图2.4,图2.5,图2.6,图2.7,1.2 正弦量的有效值,有效值是根据电流的热效应（即电能转化为热能）得出的。现将两个阻值相同的电阻分别通以交流电流i和直流电流I，如果在交流电的一个周期T内，两个电阻消耗的电能相等，即产生的热量相同，那么这个直流电流的数值就是这个交流电流的有效值。在直流电路中，电阻在一个周期时间内消耗的电能为WD=I2RT同样，在交流电路中，电阻在一个周期内消耗的电能为 ,根据定义，即两个电阻消耗的电能相同，有WD=WA所以有 假设i=Imsint,则有 如果电压和电动势是按正弦规律变化的，则同理可得,【例1.2】正弦交流电压和正弦交流电流的瞬时值表达式分别为：u=311sin(314t-60) Vi=2.828sin(314t+30) A试求u和i的最大值、有效值、频率、初相位及相位差。【解】电压的幅值Um=311V有效值 电流的幅值Im=2.828A ,有效值 它们的频率 初相位分别为u=-/3 i=/6相位差为=u-i=-/3-/6=-/2,2.2 交流电的相量表示,用代数形式表示时，有A=a+jb用三角形式表示时，有A=|A|(cos+jsin)用指数形式表示时，根据欧拉公式有A=|A|ej=|A|(cos+jsin)设有两复数分别为：A=a1+jb1 B=a2+jb2 ,2.2.1 复数的基础知识,则它们的相加、相减运算为：AB=(a1a2)+j(b1b2)复数的相加和相减运算也可以在复平面内用作图的方法，作图计算遵循平行四边形法则，如图2.8(a)、(b)所示。,图2.8,而复数的指数形式便于复数的乘除运算。设有两复数分别为：A=|A|ej1B=|B|ej2那么它们的乘除运算为：AB=|AB|ej(1+2)A/B=|A/B|ej(1-2),例题（一）：化下列复数为直角坐标形式。,例题（二 ）：化下列复数为极坐标形式。,2.2.2 正弦量的相量表示,假设有一正弦电压u=Umsin(t+u)另有一复数为 A(t)=Umej(t+u) =Umcos(t+u)+jUmsin(t+u)很显然 ,其复常数部分Ueju包含了正弦量的有效值和初相位，我们把这个复数称为正弦量的相量，则有 复数可以在复平面上用向量来表示。正弦量的相量也可以在复平面上表示，我们把这种表示相量的图称为相量图。如图2.9所示，图中左边为旋转相量，右边为正弦量的波形图。,图2.9,【例2.3】正弦电压和正弦电流分别为：u=311sin(t+90) Vi=14.1sint A(1) 试写出u、i的有效值、初相位及相位差；(2) 画出u、i的相量图。【解】(1) 电压和电流的有效值分别为U=311/1.414=220 V,I=14.1/1.414=10 A 初相位分别为u=/2,i=0相位差=u-i=/2(2) u和i的相量图如图2.10所示。 ,图2.10,【例2.4】有三个正弦电压，分别为：u1=311sint Vu2=311sin(t-120) Vu3=311sin(t+120) V(1) 试写出u1、u2、u3的有效值、初相位；(2) 画出u1、u2、u3的相量图；利用相量图求出它们的和u。【解】(1) 它们的有效值相同都为220V。初相位分别为1=0,2=-2/3,3=2/3 ,(2) 电压和电流的相量图如图2.11所示，在图中用平行四边形法则可以求出。用相量表示 用瞬时值表示u=u1+u2+u3=0,图2.11,求: (i1 + i2 ),(i1 - i2)。,解：由于i1 、i2的角频率相同，所以可用相量法计算。 i1 , i2对应的相量分别为：,而i= i1 +i2 对应的相量为：,2.3 单一参数的交流电路,只有电阻元件的电路称为纯电阻电路。如白炽灯、电热器等都可以近似为电阻性元件。（1） 电压与电流的关系图2.12为纯电阻元件的正弦交流电路，在电阻两端加正弦交流电压u=Umsint，电压和电流参考方向如图所示，则根据欧姆定律有 ,2.3.1 纯电阻电路,图2.12,综上所述，纯电阻电路中电压和电流有如下关系： 电阻不改变电路的频率，电阻的电压和电流的频率都与电源频率相同。 数值上，电压和电流的最大值、有效值、瞬时值符合欧姆定律。 相位上，电压和电流的相位差为0，即同相位。电阻两端的电压和电流的相量图和波形图分别如图2.13(a)、(b)所示。,图2.13,（2） 电功率计算 瞬时功率瞬间电压和电流的乘积，即瞬时功率，用小写字母p来表示，单位为瓦（W）或千瓦（kW）。那么p=ui=UmsintImsint=UI(1-cos2t) 波形如图2.14所示，从图中可以看出，瞬时功率p0。,图2.14, 平均功率平均功率是指电能在一个周期内的平均值，也称有功功率，用大写字母P来表示。即：由式（2.10）和欧姆定律可得 ,【例2.5】一个220V、100W的电熨斗接于220V、50Hz的电源上，试求：(1) 通过电熨斗的电流有效值I，如假设电源电压的初相位为30，写出电流的瞬时值表达式；(2) 若电熨斗平均每天使用半小时，每月消耗的电能为多少？（每月按30天计算）【解】(1)I=P/U=100/220=0.45A=2f=23.1450=314rad/s如电压初相位为30，那么电流的初相位也为30，所以有i=0.451.414sin314t+30(2) 每月消耗的电能W=Pt=0.10.530=1.5kWh,2.3.2 纯电感电路,只有电感元件的电路，称为纯电感电路，如荧光灯的镇流器，假设电阻为零，可以认为是纯电感线圈；理想变压器空载运行时，可以认为是纯电感电路。（1） 电压与电流的关系如图2.15所示，假设流过线圈的电流i=Imsint那么在线圈中将产生自感电动势eL=-Ldi/dt ,图2.15,由基尔霍夫电压定律可得令XL=L=2f L，称为感抗，单位为欧姆，那么Um=ImXL式（2.12）两边同除以1.414，可得U=IXL ,综上所述，可得： 纯电感元件不改变电路的频率，电感上的电压和电流的频率都与电源频率相同。 纯电感电路中，电压相位超前电流相位/2。 纯电感电路中，电压和电流的有效值和最大值符合欧姆定律；而它们的瞬时值是微分关系。电感两端电压和电流的相量图和波形图如图2.16(a)、(b) 所示。,图2.16,（2） 电路的功率 瞬时功率电感上的瞬时功率是指电感两端的电压瞬时值与通过它的电流瞬时值的乘积。即： 显然，瞬时功率是随时间按正弦规律变化的，而且其频率是电源频率的两倍；波形如图2.17所示。,图2.17, 有功功率由功率的波形图可以看出，在一个周期内横轴上方和下方的面积相等，即电感吸收和释放的能量相等，从而可知，有功功率为零。数学推导如下：, 无功功率无功功率是用来反映电感元件与外部电路能量互换规模的大小。无功功率的大小等于电感两端的电压有效值与通过其电流的有效值的乘积。用QL来表示，单位为乏（var）、千乏（kvar）。由无功功率的定义和欧姆定律，可得,（3） 电感的磁场能量由上所述，可知电感线圈不消耗能量，而是把吸收的能量转化为磁场能量存储起来，假设在开始时刻，电流为零，即i(t=0)=0A。用W表示电感的磁场能量，那么有,【例2.6】将一个12.75mH的电感线圈接于220V、50Hz电源上。（1）试求线圈的感抗、电流的有效值；如电源的初相位为零，写出电流的瞬时值表达式;画出电流和电压的相量图，计算电路的无功功率。(2) 如将电源的频率变为1000Hz，再求线圈的感抗和电流的有效值。【解】(1) XL=2fL=23.145012.7510-3=4I=U/XL=220/4=55A,因为电流初相位为零，由前面可知角频率为314rad/s,所以瞬时值表达式为i=551.414sin314t A相量图如图2.18所示。电路的无功功率QL=ULI=22055=12100var(2) 如将电源的频率变为1000Hz,那么XL=2fL=23.14100012.7510-3=80I=U/XL=220/80=2.75A,图2.18,2.3.3 纯电容电路,（1） 电容的基本知识电容是反映电容器存储电荷能力的物理量，用大写字母C表示。它的单位是法拉（F）。在电容器两端加电压为U的电源后，电容器两极板上便储存了等量异种电荷Q，如果电容器的电容为C，那么U、Q和C的关系为：,（2） 电容器的电压与电流的关系如图2.19所示为一纯电容电路，电压和电流的参考方向如图所示。假设加在电容器两端的正弦交流电压为：u=Umsint那么，电容器极板上的电量为:q=Cu=CUmsint,图2.19,根据电流的定义，通过电容的电流为：式中：Im=CUm令XC=1/C=2fC，XC称为容抗，单位为欧姆。Um=ImXC上式两端同除以1.414，可得U=IXC,综上所述，可得： 纯电容元件不改变电路的频率，电容上的电压和电流的频率都与电源频率相同。 纯电容电路中，电流相位超前电容器两端电压相位/2。 纯电容电路中，电流和电压的有效值和最大值符合欧姆定律；而它们的瞬时值是一种微分关系。电容两端电压和电流的相量图和波形图如图2.20(a)、(b)所示。,图2.20,（3） 电容的电功率 瞬时功率电容元件的瞬时功率是指电容器两端的电压与通过它的电流瞬时值的乘积。即： p=ui=UmsintImsin(t+/2) =UIsin2t显然，瞬时功率是随时间按正弦规律变化的，且其频率是电源频率的两倍；波形如图2.21所示。 ,图2.21, 有功功率由功率波形图可以看出，在一个周期内横轴上方和下方的面积相等，即电容吸收和释放的能量相等，从而可知，有功功率为零。数学推导如下：, 无功功率电容的无功功率是用来反映电容元件与外部电路能量互换规模的大小。无功功率的大小等于电容两端的电压的有效值与通过其电流的有效值的乘积。用QC来表示，单位为乏（var）、千乏（kvar）。由无功功率的定义和欧姆定律，可得,（4） 电容的电场能量由上所述，可知电容元件不消耗能量，而是把吸收的能量转化为电场能量存储起来，假设在开始时刻，电压为零，即u(t=0)=0 V。用W表示电容的电场能量，那么有,【例2.7】将一个636F的电容接于电压u=311sin(314t+30)电源上。(1) 试求电容的容抗，通过电容的电流的有效值，写出电流的瞬时值表达式，画出电流和电压的相量图，计算电路的无功功率。(2) 如将电源的频率变为500Hz，再求电容的容抗和电流的有效值。【解】(1) XC=1/(2fC) = 1/(23.145063610-6)=5 I=U/XC=311/(3.4145)=44A,因为电容的电流相位超前电压90,所以有i=443.414sin(314t+120) A相量图如图2.22所示。QC=UCI=22044=9680var(2) XC=1/(2fC)=1/(23.1450063610-6) =0.5I=UXC =311/(3.4140.5) =440A,图2.22,2.4 提高功率因数的意义和方法,（1） 总电压与电流的关系如图2.23所示，由于电阻R与电感L串联，电流相同。假设电流i=Imsint由欧姆定律，可得电阻上的电压为uR=iR=ImRsint由上节知识可知，电感上的电压uL=ImXLsin(t+/2),2.4.1 电阻与电感的串联电路,图2.23,根据基尔霍夫电压定律，总电压为：u=uR+uL=ImRsint+ImXLsin(t+/2) 三角函数计算非常繁琐，利用相量计算，所以有作相量图2.24，利用平行四边形法则，把电阻和电感的电压相量合成，便可得到总电压的相量，显然电压相量。,图2.24,由相量图可得 因为电阻和电感元件的电流和电压的有效值符合欧姆定律，所以有称为阻抗，单位为欧姆，显然阻抗Z、电阻R和阻抗XL也组成一个三角形，称为阻抗三角形，如图2.25所示。 ,图2.25,由数学分析和相量图2.24可知： 总电压的相位超前电流相位角 数值上，总电压和电流的最大值与有效值符合欧姆定律。,（2） 总电压和电阻、电感两端电压的关系 相位关系，总电压相位超前电阻电压角 电阻和电感两端电压与总电压的数值关系UR=UcosUL=Usin,（3） 功率关系 有功功率就是电阻的平均功率，即：P=UIcos=URI=I2R=UR2/R 无功功率就是电感的无功功率，即：Q=UIsin=ULI=I2XL=UL2/XL 视在功率是指电路总电压与总电流有效值的乘积，用大写字母S表示，单位为伏安（VA）或千伏安（kVA）。即：S=UI, 几个功率的关系，如图2.26所示，电路的有功功率、无功功率、视在功率也组成一个三角形，称为功率三角形，由图可见,图2.26,（4） 功率因数在电路中，有功功率与视在功率的比值称为功率因数，用cos表示，角称为功率因数角。结合前面知识有：,【例2.8】将3的电阻和12.75mH的电感串联接在220V、50Hz的电源上，试求：(1) 感抗XL、阻抗Z、电路的电流的有效值I、电感上的电压UL、电阻上的电压UR，这两个电压加起来是否等于总电压220V？(2) 电路的有功功率P、无功功率Q、视在功率S及功率因数。【解】(1)XL=2fL=23.145012.7510-3=4 =5,I=U/Z=220/5=44AUL=IXL=444=176VUR=IR=443=132VUR+UL=132+176=308VU(2) P=URI=13244=5808WQ=ULI=17644=7744varS=UI=22044=9680VAcos=R/Z=3/5=0.6,