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    北京大学量子力学ppt课件 第19讲.ppt

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    北京大学量子力学ppt课件 第19讲.ppt

    ,第 十九 讲 . 量子体系状态的表示 在几何学中,一个矢量可以用它在某个坐标架中的坐标来描述(现限于正交坐标) 显然,当坐标架给定后,如果有一组力学量 构成一力学量完全集其共同本征函数构成一正交,归一和完备组,并有封闭性,集合 是与 完全等价的 状态表示的定义:若力学量的完全集 的 共同本征函数组为 ,则 的 全体 ,被称为体系所处态 在表象 中的表示。,对于分立谱:则 在 表象中的表示, 可以用一单列矩阵表示 而归一化,对于连续谱:则 在表象 中的表示 ,它是 的函数,. Dirac符号介绍 一个态矢量可由一组数 表示,但在表示 (或计算) 时,其实已用到态矢量在 表象中的表示及 表象的共同本征矢的表示。,而 事实上,一个描述体系处的状态,并不需要依赖于某一表象,而仅在计算时,才在一个具体表象中进行。 Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态 . (1)量子态、Ket矢,Bra矢(Bracket),量子力学中的状态,可以看作某线性空间中的一个矢量 ,我们称为 Ket 矢以 表示。 为使它可代表不同 Ket 矢,则在这表示中给出特征标志符号。 如态矢量是 的本征矢,它的本征值为 , 则本征矢可表为 或 中心力场中能量的本征波函数,共轭空间态矢量可以以符号 来表示,称为Bra矢,如,(2)标积: A. 标积定义:矢量 和矢量 的标积为一数,它表示为,B基矢的正交、归一、完备和封闭性, 态矢量的表示 若力学量 形成一力学量完全集,其共同本征态为 ,它们被称为 N 表象的基矢,相应本征值为 。它们是正交、归一和完备的。 正交,归一,完备性: 对任一空间态矢量 ,可表为 称为态矢量 在N表象中的表示,封闭性: 在x表象中, 的表示即为,若 就是N表象的本征矢 ,那在自 身表象中的表示,N表象中的基矢在 表象中的表示即为 而 代表 表象中的基矢(本征值为 )在 N 表象中的表示 这样,在坐标表象中,本征函数组的封闭性就易于了解。,由本征矢 的封闭性: 即,而二个矢量的标积,(3)算符及其表示 A.算符的自然展开:在量子力学中,可观测力学量是以厄密算符表示,其本征方程为 则 或,称为算符 的自然展开。 B. 算符的表示 算符 是将一态矢量变为另一态矢量 设: 是一力学量完全集,其正交,归一,完备组基矢为 则,和 分别是态矢量 , 在表象 中的表示。 而 是将态矢量 表示变到态矢量 表示,所以它起到算符 同样的作用。 的全体称为算符在表象 中的矩阵表示。 显然,计算这一表示,其结果与在那一个表象中计算是无关的,为力学量 在表象 中的算符。 事实上,矩阵 描述了表象 中的本征态,即基矢 ,在算符 作用下,所得到,即 这表明, 表象中的基矢 在 作用下所产生的新的态矢量在表象 中的表示正是算符 在表象 中矩阵表示的第 列元素集合,于是,我们求算符 在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上,将所得展开系数形成的矩阵转置,即得 在该表象中的表示。,其系数矩阵为: 转置 这即为在表象 中的矩阵表示 显然,算符在其自身表象中的表示为,系数矩阵为, 转置同。所以是对角矩阵,而矩阵元为其本征值。,例: 给出方程 在 表象中的表示式, 由 ( 由 函数性质 ),并由此可推论,由于 是任意态,所以在 表象中, 算符的形式为,(4) 不可约张量算符的矩阵元计算简介 A.不可约张量算符的G. Racah定义 若 满足以下的对易关系其中 ,则称 为 秩不可约张量算符。,B.Wigner-Eckart定理 维格纳-埃伽定理:矩阵元 与投影量子数的关系完全包含在C-G系数中证:由则有 它是表示投影量子数的守恒规则。,由 得 (1),根据投影量子数守恒知,仅当矩阵元才不为零。 我们知 将算符,作用于方程两边,得 于是有,以 标积方程两边,得,与(1)式比较,可见 矩阵元随投影量子数的变化与C-G系数的变化规律是完全一样的。 于是有,C.一秩张量的投影定理证: 由于 为一秩不可约张量算符,所以,从而得 现求, 即同理有,从而有,6.3 表象变换:用Dirac符号给出表象变换特别方便。而且可以看出,在某表象中的表示是不因计算方式不同而不同。 (1) 同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态 在 表象中,其表示为,就是态 在表象 中的表示 在 表象中其表示为 于是,,是将态矢量在 表象中的表示,以 表象中的表示来表达的变换。 构成一矩阵形式,即 矩阵的矩阵元正是 表象基矢与 表象基矢的标积,其第 列,是 表象中第 个基矢在 表象中的表示。,因此, 是一个幺正算符。同一态矢量在不 同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。 (2)两表象的基矢之间关系, 基矢的变换是经 来实现,(3)力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系。 与态矢量一样,在不同表象中,力学量的矩 阵表示是不同的. 它们之间的关系也是幺正变换(即由幺正算符进行相似变换) 对于算符在表象中的矩阵表示为,即 总结: 表象 表象 . 对同一波函数在不同表象中表示 是通过一个幺正变换,相应矩阵的矩阵元为,. 基矢 III. 力学量,6.4平均值,本征方程和薛定谔方程的矩阵形、 式。 (1)平均值: A.力学量 在体系(处于态 )中的平均值 设: 构成力学量完全集,共同本征矢为 , 则,

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